2022年高考数列解题技巧归纳总结 .pdf

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1、高考数列解题技巧归纳总结- 1 - 高考数列解题技巧归纳总结知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()nnnnnnmpqnnnnaq naaa qaad naandnn nSaanadaaaamnpq两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()nnnnmpqaa qaqqqqSna qa aa amnpq等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想

2、证明分期付款数列的应用其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1) 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数）例 1、已知 an 满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。解an+1-an=2 为常数an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列an=1+2（n-1 ）即 an=2n-1

3、 例 2、已知na满足112nnaa，而12a，求na=？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 2 - （2）递推式为 an+1=an+f（n）例 3、已知na中112a，12141nnaan，求na.解：由已知可知) 12)(12(11nnaann)121121(21nn令 n=1， 2，（n-1 ） ，代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）

4、2434)1211(211nnnaan说明只要和 f （1）+f （2）+f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （n）以 n=1，2，（n-1 ）代入，可得n-1 个等式累加而求an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（p，q 为常数）例 4、na中，11a，对于 n1（nN）有132nnaa，求na. 解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列 an+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为a2-a1=（31+2）-1=4 an+1-an=43n-1an+1=3an+2 3an+2-an=43

5、n-1 即 an=23n-1-1 解法二： 上法得 an+1-an是公比为 3 的等比数列， 于是有： a2-a1=4， a3-a2=4 3， a4-a3=4 32， ，an-an-1=4 3n-2，把 n-1 个等式累加得：an=23n-1-1 (4) 递推式为 an+1=p an+q n （p，q 为常数）)(3211nnnnbbbb由上题的解法，得：nnb)32(23nnnnnba)31(2)21(32 (5) 递推式为21nnnapaqa思路：设21nnnapaqa, 可以变形为：211()nnnnaaaa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

6、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 3 - 想于是 an+1- an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求na。(6) 递推式为 Sn与 an的关系式关系；（2）试用 n表示 an。)2121()(1211nnnnnnaaSS11121nnnnaaannnaa21211上式两边同乘以2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则2nan 是公差为 2 的等差数列。2nan= 2+ （n-1 ） 2=2n 2数列求和问题的方法（1） 、应用公式法等差、等比数列可

7、直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。135 (2n-1)=n2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 4 - 【例 8】求数列 1， （3+5） ， （7+9+10） ， （ 13+15+17+19） ，前 n 项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n 项中，共有1+2+n=)1(21nn个奇数，最后一个奇数为：1+21n(n+1)-12=n2

8、+n-1 因此所求数列的前n 项的和为（2） 、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 （n2-1 ）+ 2 （n2-22）+3 （n2-32）+n（n2-n2）解 S=n2（1+2+3+n）- （13+23+33+n3）（3） 、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：12363nnnnnSCCnCL解0120363nnnnnnSCCCnC?L Sn=3n2n-1 （4） 、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘

9、以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、求数列 1，3x，5x2, ,(2n-1)xn-1前 n 项的和解设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 5 - (2)x=0时，Sn=1(3) 当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以x 得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn， -，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-

10、1-(2n-1)xn(5) 裂项法：把通项公式整理成两项( 式多项 ) 差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例 12、求和11111 53 75 9(21)(23)nn?L注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】等差数列 an的首项 a10，前 n 项的和为 Sn，若 Sl=Sk（l k）问 n 为何值时Sn最大？此函数以n 为自变量的二次函数。a10 Sl=Sk（l k）， d0 故此二次

11、函数的图像开口向下 f （l ）=f （k）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 6 - 2方程思想【例 14】设等比数列 an前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知q1。如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0 与等比数列不符。 q1 整理得 q3（2q6-q3-1 ）=0

12、 q0 此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2（1+q3+q6）， 2q6+q3=03换元思想【例 15】已知 a，b，c 是不为 1 的正数， x，y，zR+，且求证： a，b，c 顺次成等比数列。证明依题意令ax=by=cz=k x=1ogak，y=logbk，z=logck b2=ac a，b，c 成等比数列（ a，b，c 均不为 0）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

13、 - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 7 - 错位相减法1. 设数列)0(S, 1,1ccaSnannn是以且数列项和为的前为公比的等比数列 . （1）求数列na的通项公式；（2）求naaa242. 2、等差数列为则中，593,19,7aaaan（）. A、13 B、12 C、11 D、10 3、已知等比数列na中，nT表示前 n 项的积，若5T1，则（） . A、1a1 B、3a1 C、4a1 D、5a1 4. 已知数列na满足1a1 ，na113nna（2n）. 求32,aa；求na. 5. 已知等差数列na的首项为 24，公差

14、为2，则当 n= _时，该数列的前n 项和nS取得最大值。6. 在等差数列na中，首项10,a公差0d，若1237kaaaaaL，则kA21B22C23D247. 已知正项等差数列na的前n项和为nS，若312S，且1232,1a aa成等比数列 . （）求na的通项公式；（）记3nnnab的前n项和为nT，求nT. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 8 - 8. 在数列na中，41,

15、4111nnaaa已知，*)(log3241Nnabnn.（1）求数列na的通项公式；（2）求证：数列nb是等差数列；（3）设数列nnnnbacc满足，求nc的前n项和nS. 9已知数列nb前n项和nnSn21232. 数列na满足)2(34nanb)(Nn，数列nc满足nnnbac。（1）求数列na和数列nb的通项公式；（2）求数列nc的前n项和nT；10. 设nS为数列na的前n项和，对任意的nN*，都有1nnSmmam(为常数，且0)m（1）求证：数列na是等比数列； （2）设数列na的公比mfq，数列nb满足1112,nnba bf b(2n，nN*)，求数列nb的通项公式； （3）在

16、满足（ 2）的条件下，求数列12nnb的前n项和nT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 9 - 答案1、解：（1）数列1,)0(11aSccSn且为公比的等比数列是以111nnnccsS 3 分)221ncSnn（)2()1(2211nccccSSannnnnn6 分NnnCcnann且,2,)1(1, 12 8 分（2）由（ 1）知,2642,naaaa是以2a为首项， C2为公比的等

17、比数列，11 分111)1)(1(222242cccccaaannn 14 分2.,226197693aaa2313366ddaaa得由11a5选 C 3、，所以11353543215aaaaaaaT选 B 4、 （ 1）解：（1）解 : 11a，4132a，134323a 4 分(2) 证明：已知)2(311naannn得)()(211nnnnnaaaaa112)(aaa 8 分2133nn13213n 12 分当1n时，121311a213nna 14 分5. 由已知得：24(1)( 2)262nann?，由*1026201213,02420nnannnNan，所以 n=12 或 13 7

18、.解： （）312S，即12312aaa，2312a， 所以24a， -2分又12a，2a，31a成等比数列，22132(1)aaa，即22222() (1)aadad，-4分解得，3d或4d（舍去），121aad，故32nan；-7分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 10 - （） 法 1：321(32)333nnnnnanbn，231111147(32)3333nnTnL，13得，

19、2341111111147(35)(32)333333nnnTnnL得，234121111113333(32)3333333nnnTnL2111111(1)115111333(32)(32)133623313nnnnnn2511321565144323443nnnnnnT -14 分法 2：1321123333nnnnnnanbn，设231111112343333nnAnL，则234111111234333333nnAnL，得，2312111111333333nnnAnL1113313()1322313nnnnn9931()4423nnAn，11(1)993115651332()(1)1442

20、3344313nnnnnnnTAn -14 分8. 解： （1）411nnaa数列na是首项为41，公比为41的等比数列，*)()41(Nnann. 2 分（2）2log341nnab3分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 11 - 232)41(log341nbnn. 4 分11b，公差3d数列nb是首项11b，公差3d的等差数列 . 5 分（3）由（ 1）知，*)(23,)41(N

21、nnbannn*)( ,)41()23(Nnncnn. 6 分,)41()23()41)53()41(7)41(4411132nnnnnS于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141nnnnnS10 分两式相减得132)41()23()41()41()41(34143nnnnS.)41()23(211nn12 分*)()41(3812321NnnSnn. 14 分9. 解： （1）由已知和得，当2n时，23)1(21)1(23()2123(221nnnnnSSbnnn 2 分又21311b，符合上式。故数列nb的通项公式23nbn。 3 分又)2(34nanb，

22、nnbnna)41(4432)23(3)2(，故数列na的通项公式为nna)41(，5 分（2）nnnnnbac)41()23(，nnnS)41()23()41(7)41(441132，1432)41()23()41() 53()41(7)41(4)41(141nnnnnS， -得1432)41()23()41()41()41()41(34143nnnnS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总

23、结- 12 - 112)41()23(411)41(1 )41(341nnn1)41()23(21nn，1)41(381232nnnS。10 分10. 解： （1）证明：当1n时，1111aSmma，解得11a1 分当2n时，11nnnnnaSSmama2 分即11nnm amam为常数，且0m，11nnamam2n 3 分数列na是首项为1，公比为1mm的等比数列4 分（2）解：由（ 1）得，mfq1mm，1122ba5 分1111nnnnbbfbb， 6 分1111nnbb，即1111nnbb2n7 分nb1是首项为12，公差为 1 的等差数列8 分11211122nnnb，即221nbn

24、（*nN） 9 分（3）解：由（ 2）知221nbn，则12221nnnnb 10 分所以2341123122222nnnnnTbbbbbL，即nT1231212325223221nnnnL， 11 分则2341221 2325223221nnnTnnL， 12 分得13412212 222nnnTnL，13 分故3111212221222361 2nnnnTnn14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数

25、列解题技巧归纳总结- 13 - 用放缩法处理数列和不等问题一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例 1正数数列na的前n项的和nS，满足12nnaS，试求：（1）数列na的通项公式；（2）设11nnnaab，数列nb的前n项的和为nB，求证：21nB解： （1）由已知得2)1(4nnaS，2n时，211) 1(4nnaS，作差得：1212224nnnnnaaaaa，所以0)2)(11nnnnaaaa，又因为na为正数数列，所以21nnaa，即na是公差为2 的等差数列，由1211aS，得11a，所以12nan（2）)121121(21) 12)(12(111nnnnaabnnn，所以2

26、1)12(2121)1211215131311(21nnnBn真题演练1：(06 全国 1 卷理科 22 题) 设数列na的前n项的和 ,14122333nnnSa，1,2,3,ng gg（）求首项1a与通项na； （）设2nnnTS，1,2,3,ngg g，证明：132niiT. 解: ( ) 由 Sn=43an132n+1+23, n=1,2,3， , 得 a1=S1= 43a1134+23所以 a1=2再由有 Sn1=43an1132n+23, n=2,3，4, 将和相减得: an=SnSn1= 43(anan1) 13(2n+12n),n=2,3, 整理得 : an+2n=4(an1+

27、2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n 是首项为a1+2=4, 公比为 4的等比数列 , 即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而 an=4n2n, n=1,2,3, , ( )将 an=4n2n代入得 Sn= 43(4n2n) 132n+1 + 23 = 13(2n+11)(2n+12) = 23(2n+11)(2n1) Tn= 2nSn = 322n (2n+11)(2n1) = 32(12n112n+11) 所以 , 1niiT= 321(ni12i112i+11) = 32(12111121n) 1）化简得：1122( 1)nnnaa2) 1(2)

28、1(11nnnnaa,32)1( 232)1(11nnnnaa故数列 32) 1(nna是以321a为首项 , 公比为2的等比数列 . 故1)2)(31(32)1(nnna222( 1) 3nnna数列 na的通项公式为：222( 1) 3nnna. 观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=2324511131112 21212( 1)mmmaaaLL，如果我们把上式中的分母中的1去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1 与 1 交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121，43432121

29、121121，因此，可将1212保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m进行分类讨论， （1）当m为偶数)4(m时，maaa11154)11()11(11654mmaaaaa)212121(2321243m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 17 - )211(4123214m832187（ 2）当m是奇数)4(m时，1m为偶数，8711111111165454mmma

30、aaaaaaa所以对任意整数4m，有maaa1115487。本题的关键是并项后进行适当的放缩。3. （07 武汉市模拟）定义数列如下：Nnaaaannn, 1, 2211求证：（1）对于Nn恒有nnaa1成立；（2）当Nnn且2，有11211aaaaannn成立；（3）11112112006212006aaa分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由121nnnaaa得：) 1(11nnnaaa)1(111nnnaaa)1(1112aaa以上各式两边分别相乘得：)1(111211aaaaaannn，又21a11211aaaaannn（3）要证不等式11112112006212006aaa，可先设法

31、求和：200621111aaa，再进行适当的放缩。)1(11nnnaaannnaaa111111111111nnnaaa200621111aaa)1111()1111()1111(200720063221aaaaaa111120071aa20062111aaa1又2006200612006212aaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高考数列解题技巧归纳总结- 18 - 200620062121111aaa原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -