2022年高数一试题及答案 .pdf

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1、 高等数学 (一) 复习资料一、选择题1. 若23lim53xxxkx，则 k（）A. 3 B.4 C.5 D.62. 若21lim21xxkx，则 k（）A. 1 B.2 C.3 D.43. 曲线3sin1xyex在点（ 0，2）处的切线方程为 ( ) A.22yx B.22yx C.23yx D.23yx4. 曲线3sin1xyex在点（ 0，2）处的法线方程为 ( ) A.122yx B.122yx C.132yx D.132yx5. 211limsinxxx( ) A. 0 B.3 C.4 D.56. 设函数0( )(1)(2)xf xttdt，则(3)f=（）A 1 B 2 C 3

2、D 47. 求函数43242yxx的拐点有（）个。A 1 B 2 C 4 D 0 8. 当x时，下列函数中有极限的是（） 。A. sin xB. 1xeC. 211xxD. arctanx9. 已知(3)=2f，0(3)(3)lim2hfhfh( ) 。 A.32B. 32C. 1 D. -1 10. 设42( )=35f xxx,则(0)f为( )f x在区间 2,2上的（） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -

3、 A. 极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数( )fx在1,2上可导，且( )0,(1)0,(2)0,fxff则( )f x在(1,2)内( ) A.至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定12. ( )( )f xxfx dx( ).A.( )f xCB. ( )fxCC. ( )xf xCD. 2( )fxC13. 已知22(ln)yfx，则y( C ) A.2222(ln)(ln)fxfxxB. 24(ln)fxx C. 224(ln)(ln)fxfxx D. 222(ln)( )fxfxx14.( )df x=( B) A.( )fx

4、C B.( )f x C.( )fx D.( )f xC15. 2ln xdxx( D ) A.2 lnxxC B.ln xCx C.2ln xC D.2ln xC16. 211limlnxxx( ) A. 2 B.3 C.4 D.517. 设函数0( )(1)(2)xf xttdt，则( 2)f=（）A 1 B 0 C 2 D 218. 曲线3yx的拐点坐标是 ( ) A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3) 19. 已知(ln)yfx，则y( A ) A.(ln )fxx B.(ln)fx C.(ln)fx D.(ln )fxx20. ( )d df x( A) A

5、.( )dfx B.( )f x C.( )dfx D.( )fxC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 21. ln xdx( A ) A.lnxxxC B.ln xxC C.ln xx D. ln x二、求积分（每题8 分，共 80 分）1求cossinxxdx2. 求343ln xdxx3. 求arctan xdx4. 求3exdx5. 求2356xdxxx6. 求定积分8301dxx7. 计算20cosxxd

6、x8. 求2128dxxx9. 求312dxx11. 求2212xxedx12. 求2333xx dx13. 求21lnexdxx14.求23xx dx三、解答题1. 若21lim 316xxaxx, 求a2.讨论函数321( )2333f xxxx的单调性并求其单调区间名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3. 求函数22( )2xxf xx的间断点并确定其类型4. 设2sin,.xyxyxey求5. 求35(1)

7、2(3)xxyx的导数6. 求由方程cossinxatybt确定的导数xy. 7. 函数1,0( )1,0tan ,0 xexf xxx x在0 x处是否连续？8. 函数1,0( )1,0tan ,0 xexf xxx x在0 x处是否可导？9.求抛物线2yx与直线yx所围成图形D的面积A. 10.计算由抛物线22yx与直线4yx围成的图形D的面积A. 11. 设y是由方程sinyyyxe确定的函数，求y12. 求证：ln1,1xxx13. 设y是由方程1yyxe确定的函数，求y14.讨论函数32( )29123f xxxx的单调性并求其单调区间15. 求证：21,xex16. 求函数3(1)

8、( )xxf xxx的间断点并确定其类型五、解方程1. 求方程0)(22dyxyxdxy的通解 . 2.求方程20yyy的通解.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3. 求方程22yyyx的一个特解 . 4. 求方程3595xyyyxe的通解 . 高数一复习资料参考答案一、选择题1-5： DABAA 6-10：DBCDD 11-15： BCCBD 16-21：ABAAAA 二、求积分1求cossinxxdx解：33

9、222cossinsin(sin)sinsin33xxdxxdxxCxC2. 求343ln xdxx解：13343ln(43ln)(ln)xdxxdxx131(43ln)(43ln)3xdx431(43ln)4xC3. 求arctan xdx解：设arctanux，dvdx，即vx，则a r c t a na r c t a n( a r cx d xxxx dx2arctan1xxxdxx21arctanln(1)2xxxC4. 求3exdx解：332222ee 33e3 e3 e 23 e6exttttttxtdxt dttdtttdttt dt223 e6 e6 e3 e6 e6ettt

10、tttttdtttC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 33233e (22)xxxC5. 求2356xdxxx解：由上述可知23565623xxxxx，所以2356()5623xdxdxxxxx115623dxdxxx5ln26ln3xxC6. 求定积分8301dxx解：令3xt，即3xt，则23dxt dt，且当0 x时，0t；当8x时，2t，于是282223000313ln(1)3ln 3121dxt dtt

11、tttx7. 计算20cosxxdx解：令2ux，cosdvxdx，则2duxdx，sinvx，于是22200000cossin(sin )2 sin2sinxxdxx dxxxxxdxxxdx再用分部积分公式，得20000cos2cos2 ( cos )cosxxdxxdxxxxdx002 ( cos )sin2xxx8. 求2128dxxx解：221113(1)(1)ln28(1)963(1)xdxd xCxxxx12ln64xCx9. 求312dxx解：令32ux，则32xu，23dxu du，从而有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

12、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 22331131112dxuududuuux213 (1)3(ln 1)12uuduuuCu11. 求2212xxedx解：2222222411112xxxxedxedxeee12. 求2333xx dx解：32333322333(3)(3)3xx dxx dxxC13. 求21lnexdxx解：22111ln111ln(ln )lnln333eeexdxxdxxex14.求23xx dx解：33222222211 2133(3)(3)(3)22 33xx dxx

13、dxxCxC三、解答题1. 若21lim 316xxaxx, 求a解：因为2222913131xaxxxaxxxaxx，所以9a否则极限不存在。2.讨论函数321( )2333f xxxx的单调性并求其单调区间解：2( )43fxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 由2( )430fxxx得121,3xx所以( )f x在区间(,1)上单调增，在区间(1,3)上单调减，在区间(3,)上单调增。3. 求函数22(

14、 )2xxf xx的间断点并确定其类型解：函数无定义的点为2x，是唯一的间断点。因2lim( )3xf x知2x是可去间断点。4. 设2sin,.xyxyxey求解：22cos()xyyxy yxeyy, 故()cos(2)xyxyy eyxyxye5. 求35(1)2(3)xxyx的导数解：对原式两边取对数得：1ln3ln(1)ln(2)5ln(3),2yxxx于是3115,1223yyxxx故35(1)23115.1223(3)xxyxxxx6. 求由方程cossinxatybt确定的导数xy. 解: 22( )cos.( )sinxy tbtbxyx tatay7. 函数1,0( )1,

15、0tan ,0 xexf xxx x在0 x处是否连续？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解：100lim( )lim0 xxxf xe00lim( )lim tan0 xxf xx故在0 x处不连续。8. 函数1,0( )1,0tan ,0 xexf xxx x在0 x处是否可导？解：因为100( )(0)1limlimxxxf xfexx所以在0 x处不可导。9.求抛物线2yx与直线yx所围成图形D的面积A.

16、 解: 求解方程组2yxyx得直线与抛物线的交点为00 xy，11xy，见图 6-9，所以该图形 在 直线0 x与x=1 之间 ，2yx为 图 形的 下边 界 ，yx为 图形 的 上边 界， 故11312200011236xAxxdxx. 10.计算由抛物线22yx与直线4yx围成的图形D的面积A. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解：求解方程组224yxyx得抛物线与直线的交点(2,2)和(8,4)，见图 6

17、-10，下面分两种方法求解 . 方法 1 图形D夹在水平线2y与4y之间，其左边界22yx，右边界4xy，故4223422441 8226yyyAyd yy. 方法 2 图形D夹在直线0 x与8x之间，上边界为2yx，而下边界是由两条曲线2yx与4yx分段构成的，所以需要将图形D分成两个小区域1D，2D，故28022(2 )24Axxdxxxdx232022 23x832222241832xxx. 11. 设y是由方程sinyyyxe确定的函数，求y解：两边对x求导得cosyyyyyexe y整理得1cosyyeyyxe12. 求证：ln1,1xxx证明：令( )(1)lnf xxx因为11(

18、 )10 xfxxx所以( )0f x，1x。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13. 设y是由方程1yyxe确定的函数，求y解：两边对x求导得yyyexe y整理得1yyeyxe14.讨论函数32( )29123f xxxx的单调性并求其单调区间解：2( )61812fxxx由2( )618120fxxx得121,2xx所以( )f x在区间(,1)上单调增，在区间(1,2)上单调减，在区间(2,)上单调增。

19、15. 求证：21xex证：令( )21xf xex因为( )20 xfxe得ln 2x，又因为(ln 2)22ln 210f所以( )0f x。16. 求函数3(1)( )xxf xxx的间断点并确定其类型解：由分母30 xx得间断点0,1xx。因0lim( )1xf x知0 x是可去间断点；因21111lim( )lim12xxxf xx知1x也是可去间断点因21111lim( )lim12xxxf xx知1x也是可去间断点四、解方程1. 求方程0)(22dyxyxdxy的通解 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

20、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解原方程可化为22xxyydxdy，上式右边分子分母同除2x得1)(2xyxydxdy，此为齐次方程，因而令xyu，则dxduxudxdy代入上式得12uudxduxu，分离变量得duuuxdx1，两边积分得Cuuxlnlnln，从而有uexcu，用xyu回代即得原方程的通解xyCey. 2.20yyy解：原方程可化为：()0dyydx积分得：1yyc4 分即21dycdx积分得212yc xc8 分3. 求方程22yyyx的一个特解 . 解由于方程中10q且22( )P xx，故可

21、设特解为2yAxBxC, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 则2,2yAxB yA. 代入原方程有22( 4)(22)AxAB xABCx. 比较两边同次幂的系数得140220AABABC，解得1,4,6ABC, 所以，所求的特解为246yxx. 4. 求方程3595xyyyxe的通解 . 解分两步求解 . （ 1）求对应齐次方程的通解. 对应齐次方程590yyy, 特征方程为2690rr, 解得123rr.

22、于是得到齐次方程590yyy的通解为312()xYCC x e. （ 2）求原方程的一个特解因为3是特征方程的重根,( )5nPxx是一次式，所以可设23(),xyxAxB e求导得3323( 33)2,xyeA xAB xB x3329( 189 )(612 )2,xyeAxAB xAB xB代入原方程并约去3xe得625AxBx, 比较等式两边的系数得65,20AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解得560AB. 从而得原方程的一个特解3356xyx e. 于是原方程的通解为33215()6xyyYxC xC e. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -