函数的单调性知识点与题型归纳 .pdf

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1、高考明方向1. 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2. 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 备考知考情1. 函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值， 利用函数单调性比较数的大小， 以及解不等式等客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用2. 题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理 名师一号 P15 注意：研究函数单调性必须 先求函数的定义域，函数的单调区间是 定义域的子集单调区间 不能并 ！知识点一函数的单调性1. 单调函数的定义名师资料总结 - - -精品资

2、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2.单调性、单调区间的定义若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数 ，则称函数 f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f(x)的单调区间 .注意：1、 名师一号 P16 问题探究问题 1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中 x1，x2具有任意性 ，不能是规定的特定值(2)函数的 单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式 ：设任意 x1，x2a，b且 x10

3、? f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0? f(x)在a，b上是减函数2、 名师一号 P16 问题探究问题 2 单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“ ” 联结，也不能用 “ 或” 联结知识点二单调性的 证明 方法： 定义法及导数法名师一号 P16 高频考点例 1 规律方法(1) 定义法 : 利用定义证明函数单调性的一般步骤是：任取 x1、x2D，且 x10，则f(x)在区间 D 内为增函数；如果f (x)0，则1fx为减(增)函数，fx为增 (减)函数3互为反函数的两个函数有相同的单调性

4、4yfg(x)是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则其复合函数 fg(x)为增函数；若 f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数 fg(x)为减函数简称” 同增异减 ”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反函数单调性的应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 名师一号 P17 特色专题(1)求某些函数的值域或最值(2)比较函数值或

5、自变量值的大小(3)解、证不等式(4)求参数的取值范围或值(5)作函数图象二、例题分析：（一)函数单调性的判断与证明例 1. （1） 名师一号 P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确(1)函数 f(x)2x1 在( ，) 上是增函数 () (2)函数 f(x)1x在其定义域上是减函数() (3)已知 f(x)x，g(x)2x，则 yf(x)g(x)在定义域上是增函数 () 答案： 例 1. （2） 名师一号 P16 高频考点例 1（1）(2014 北京卷 )下列函数中，在区间 (0，) 上为增函数的是() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

6、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - Ayx1 By(x1)2Cy2xDylog0.5(x1) 答案： A. 例 2. （1） 名师一号 P16 高频考点例 1（2）判断函数 f(x)axx1在(1，) 上的单调性，并证明法一：定义法设 1x1x2，则 f(x1)f(x2)ax1x11ax2x21ax1x2ax2x1x1x2ax1x2x1x2 1x1x2，x1x20，x210. 当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 yf(x)在(1，) 上单调递增名师资料总结 - -

7、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 同理当 a0，即 f(x1)f(x2)，函数 yf(x)在(1，) 上单调递减法二：导数法注意： 名师一号 P17 高频考点例 1 规律方法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断 (或证明 )函数单调性的一般步骤为：取值作差变形判号定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、 配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例 1.

8、名师一号 P16 高频考点例 2（1）求函数 yx|1x|的单调增区间；yx|1x|1，x1 ，2x1，x0.则 x3. 函数 ylog13(x24x3)的定义域为( ，1)(3，) 又 ux24x3 的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3 在( ，1)上是减函数，在(3，) 上是增函数而函数 ylog13u 在(0，) 上是减函数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - ylog13(x24x3)的单调递减区

9、间为 (3，) ，单调递增区间为 ( ，1)注意： 名师一号 P17 高频考点例 2 规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间例 2.（2）( 补充 )21122log4logyxx答案：增区间：1,4；减区间：10,4练习:222loglogyxx答案：增区间：2,；减区间：0, 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

10、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - （三）利用单调性解（证）不等式及比较大小例 1. （1） 名师一号 P17 特色专题典例(1) 已知函数 f(x)log2x11x，若 x1(1,2)，x2(2，) ，则() Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0 Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 【规范解答】函数 f(x)log2x11x在(1，) 上为增函数，且 f(2)0，当 x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即 f(x1)0. 例 1. （2） 名师

11、一号 P17 特色专题典例(2) 已知函数 f(x)x24x3，x0 ，x22x3，x0，则不等式f(a24)f(3a)的解集为 () A(2,6) B(1,4) C(1,4) D(3,5) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 【规范解答】 作出函数 f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在 R 上是单调递减的由f(a24)f(3a)，可得 a243a，整理得 a23a40，即(a1)(a4)0，解得 1a4，

12、所以不等式的解集为 (1,4)注意: 本例分段函数的单调区间可以并!（四）已知单调性求参数的值或取值范围例 1.(1) 名师一号 P17 特色专题 典例(3) 已 知函 数2,211,22xax xfxx满 足对 任意 的 实数x1 x2，都有1212()()0f xf xxx成立，则实数 a 的取值范围为() A( ，2) B. ，138C( ，2 D.138，2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 【规范解答】

13、 函数 f(x)是 R 上的减函数，于是有a20，a1221，由此解得 a138，即实数 a 的取值范围是 ，138. 例 2.(1)（补充） 如果函数 f(x)ax22x3 在区间( ，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是 _答案14，0 解析(1)当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上单调递增，故在 ( ，4)上单调递增；(2)当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为直线x1a，因为 f(x)在( ，4)上单调递增，所以 a0，且1a4 ，解得14 a0，则由 f (x)0 得 x 2a，当 x2a时，f (x)0， f(x)单调增，当2ax2a时，f(x)单调减，f(x)的单

14、调减区间为 (2a，2a)，从而2a2，a2. 变式： 若 f(x)x36ax 在区间 (2,2)单调递减，则 a 的取值范围是？点评 f(x)的单调递减区间是 (2,2) 和 f(x)在(2，2)上单调递减是不同的， 应加以区分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 本例亦可用 x 2 是方程 f (x)3x26a0 的两根解得 a2. 例 2.(3) （补充）若函数)2, 3()(log)(321在axxxf上单

15、调递减，则实数a的取值范围是（）A9，12 B4，12 C4，27 D9，27 答案： A 温故知新 P23 第 9 题若函数212log3fxxaxa在区间2,上单调递减，则实数a的取值范围是计时双基练 P217 基础 7 计时双基练 P217 基础 8、10 8、设函数12axfxxa在区间2,上是增函数 , 那么a的取值范围是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 答案: 1,10、设函数xfxxaxa（2）若

16、0a且fx在区间1,内单调递减 , 求a的取值范围 . 答案: 1,（五）抽象函数的单调性例 1.（补充） 已知 f(x)为 R 上的减函数，那么满足f(|1x|)f(1)的实数 x 的取值范围是 ( )A(1,1) B(0,1) C(1,0)(0,1) D(， 1)(1， ) 答案： C 解析：因为 f(x)为减函数，f(|1x|)1， 则|x|1且 x0 ，即 x(1,0)(0,1)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - -

17、 - - 练习：( )yf x是定义在1,1上的增函数，解不等式2(1)(1)fxfx答案：0,1温故知新 P12 第 8 题注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例 2. 计时双基练 P216 培优 4 函数( )f x的定义域为0,，且对一切0,0 xy都有()( )xff xfyy，当1x时，有( )0f x。（1） 求(1)f的值；（2） 判断( )f x的单调性并加以证明；（3） 若(4)2f，求( )f x在1,16上的值域 .答案: 单调增 ;0,4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

18、名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 注意： 有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习: 计时双基练 P218 培优 4 函数( )f x的定义域为0,，且对一切,x yR都有( )()f xfyf xy，当0 x时，有2( )0,13f xf. (1) 求证: ( )f x在R上是减函数；(2) 求( )f x在3,3上的最大值与最小值 . 答案:2; 2课后作业一、计时双基练 P217 基础 1-10 课本 P16-17 变式思考 1、2；二、计时双基练 P217 基础 11、培优 1-4 课本 P18对应训练 1、2、3

19、 预习 第二章第四节函数的奇偶性与周期性补充：练习 1：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 函数 f(x)x3a，x0 且 a1) 是 R 上的减函数，则a 的取值范围是 () A(0,1) B13，1) C(0，13 D(0，23 分析： f(x)在 R 上为减函数，故f(x)ax(x0)为减函数，可知 0a1，又由 f(x)在 R 上为减函数可知， f(x)在 x0时的值恒大于 f(x)在 x0 时的值，从而

20、 3a1. 解析： f(x)在 R 上单调递减，0a1，3a1.13a1. 答案： B 练习 2：已知 f(x)3a x4a x1，又由 f(x)在(，1)上单增，3a0， a3，又由于 f(x)在 R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(，1上的最大值 35a 要小于等于 f(x)在1，)上的最小值0，才能保证单调区间的要求， 35a0，即 a35，由可得 1a3. 解法 2：令 a分别等于35、0、1，即可排除 A、B、C，故选 D. 点评 f(x)在 R 上是增函数，a的取值不仅要保证 f(x)在(，1)上和1，)上都是增函数，还要保证x11，x21 时，有 f(x1)f(x2

21、)练习 3：若函数f(x)2x2lnx 在其定义域内的一个子区名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - 间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 () A1， ) B1，32) C1,2) D32，2) 答案B 解析因为 f(x)定义域为 (0，)，f (x)4x1x，由 f (x)0，得 x12. 据题意，k112k1k10，解得 1k32，选 B. 练习 4: 已知函数322312yxaxx(1) 若

22、函 数 在R上 是 单调 增 函 数， 则a的 取 值 范 围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 是. 解析:若函数在R上是单调增函数()0Rx fx因为26612yxax开口方向向上，所以0,即236420,a即2 22 2a时条件成立；（2）已知函数322312yxaxx，若函数的单调递减区间是1,2，则a的值是. 解析:若函数的单调递减区间是1,2(1,2)( )0 x fx26612yxax所以1,2是方

23、程266120 xax的两个实数根 ,由韦达定理，12,3aa(3)若函数在2,)上是单调增函数，则a的取值范围是. 解析:若函数在2,)上是单调增函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2,( )0 x fx分类讨论： 当,0即236420,a即2 22 2a条件成立； 当02 22 22423(2)0aaaaaf或，即32 2a或2 2a条件成立；综上，3a条件成立，3a为所求 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -