2022年圆锥曲线大题题型归纳 .pdf

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1、. 圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；2 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1“常规求值”问题需要找等式，“求范围

2、”问题需要找不等式；2“是否存在”问题 当作存在 去求，若不存在则计算时自然会无解；3证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法 ，才能使计算具有可行性 ，关键是积累“转化”的经验；6大多数问题只要忠实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知 F1，F2为椭圆2100 x+264y=1 的两个焦点，P 在椭圆上，且F1 P

3、F2=60 ，则 F1 PF2的面积为多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 点评： 常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。变式 1-1已知12,F F分别是双曲线223575xy的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且12F PF=120，求12F PF的面积。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

4、 - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 变式 1-2 （ 2011?孝感模拟） 已知 F1，F2为椭圆2221100 xyb(0b10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点（1）求 |PF1|?|PF2|的最大值；（2）若 F1PF2=60 且 F1PF2的面积为64 33，求 b 的值题型二过定点、定值问题例 2、（2007 秋?青羊区校级期中）如图，抛物线S的顶点在原点O，焦点在x 轴上， ABC 三个顶点都在抛物线上，且 ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线方程为4x+y-20=0 ，（）求抛物线的方程；（）是否存在定点M，使过 M

5、 的动直线与抛物线S交于 P、Q 两点，且0OP OQuuu r uuu r，证明你的结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。变式 2-1 （2012 秋?香坊区校级期中）已知抛物线y2=2px （p0）的焦点为F，过 F 且斜率为3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

6、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 直线与抛物线在x轴上方的交点为M， 过 M 作 y 轴的垂线，垂足为 N， O 为坐标原点，若四边形OFMN 的面积为4 3（1）求抛物线的方程；（2）若 P，Q 是抛物线上异于原点O 的两动点，且以线段PQ 为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ 过定点，并指出定点坐标例 3、（2014 秋?市中区校级月考）已知椭圆C：22221xyab（ab0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形（I）求椭圆的方程；

7、（ ） 过 点Q （ -1 ， 0 ） 的 直 线l交 椭 圆 于A ， B两 点 ， 交 直 线x=-4于 点E ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 判断+是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - -

8、 - - . 点评： 证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明变 式3-1 （ 2012秋 ?沙 坪 坝 区 校 级 月 考 ） 已 知 椭 圆22221xyab(a b 0)的 离 心 率 为焦距为 2（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于P，Q 两点， C，D 为椭圆上位于直线PQ 异侧的两个动点，满足CPQ=DPQ，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出此定值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

9、理 - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 例 4、过抛物线24yax（a0）的焦点 F 作任意一条直线分别交抛物线于A、B 两点，如果AOB（O 为原点）的面积是S，求证：2SAB为定值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

10、 - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 变式 4-1 （2014?天津校级二模） 设椭圆 C：22221xyab（ab0）的一个顶点与抛物线C：x2=43y的焦点重合， F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=12且过椭圆右焦点F2的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l，使得若存在， 求出直线 l 的方程； 若不存在，说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，

11、共 23 页 - - - - - - - - - . （3）若 AB是椭圆 C 经过原点 O 的弦，MN AB，求证：为定值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 题型三“是否存在”问题例 5、（2012 秋?昔阳县校级月考）已知定点A（-2 ，-4 ），过点 A 作倾斜角为45的直线l，交抛物线y2=2px （p0）于 B、 C两点，且 |BC|=210（）求抛物线的方程；（）在（）中的抛物线上是否存在点D，使

12、得 |DB|=|DC| 成立？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由变 式 5-1（2013 ?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点（2，1） （）求抛物线的标准方程；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - . （）是否存在直线l：y=kx+t ，与圆 x2+（y+1 ）2=1 相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当 MON 为钝角时，有 SMON=48 成立？若存在，求出直

13、线的方程，若不存在，说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 变式 5-2 （2010?北京） 在平面直角坐标系xOy 中，点 B 与点 A（-1 ，1）关于原点O 对称， P是动点，且直线AP 与 BP的斜率之积等于13（）求动点P 的轨迹方程；（）设直线AP 和 BP分别与直线x=3 交于点 M，N，问：是否存在点P使得 PAB与 PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由名师资料

14、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 题 型四最 值 问题例 6、（ 2012?洛阳模拟） 在平面直角坐标系中xOy 中， O 为坐标原点， A（-2 ，0）， B（2，0），点 P为动点，且直线 AP 与直线 BP的斜率之积为34（1）求动点P的轨迹 C 的方程；（2）过点 D（1，0）的直线 l 交轨迹 C 于不同的两点M，N，MON 的面积是否存在最大值？若存在，求出 MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存

15、在，请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 点评： 最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。变 式 6-1 （2015?高安市校级一模）已知方向向量为（1，3 ）的直线 l 过点（ 0，-23）和椭圆 C：22221xyab（a b0）的右焦点，且椭圆的离心率为12（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点P（-8 ，

16、0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F 为椭圆 C 的左焦点，求三角形ABF面积的最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 变 式 6-2（2014?蚌埠三模） 在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆C：2214xy的上、下顶点分别为A、B，点 P在椭圆 C 上且异于点A、B，直线 AP、BP 与直线 l：y=-2 分别交于点M、N；（）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证： k1?k2为定值；（

17、）求线段MN 长的最小值；（）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 题 型 五求 参 数 的 取 值 范 围例 7、 （2012 春?荔湾区校级期中）如图，已知椭圆22221xyab=1 （ab0）的离心率为32，且经过点M（2，1）平行于OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为m（m0）， l 与椭圆有A、B 两个不同的交点（）求椭圆的方程；（）求

18、 m 的取值范围；（）求证：直线MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 变 式 7-1 （2006 秋?宁波期末） 已知动圆过定点P（0， 1），且与定直线y=-1 相切（1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点Q（0，-1 ）且以为方向向量的直线l 与轨迹 M 相交于 A、B 两点若 APB 为钝角，求直线l 斜率的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

19、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 变式 7-2 （2014?苍南县校级模拟）已知抛物线C：y2=4x 焦点为 F，过 F 的直线交抛物线C 于 A，B 两点， l1、l2分别过点A、B 且与抛物线C 相切， P为 l1、 l2

20、的交点（1）求证：动点P 在一条定直线上，并求此直线方程；（2）设 C、D 为直线 l1、l2与直线 x=4 的交点， PCD 面积为 S1， PAB 面积为 S2，求12SS的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 23 页 - - - - - - - - - . 小结名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 23 页 -

21、 - - - - - - - - . 解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：一设直线与方程； （提醒 ：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与 x=mmy+n的区别）二设交点坐标； （提醒 :之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒： 抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：“以弦AB 为直径的圆过点0”OAOB121KK?（提醒： 需讨论

22、K 是否存在）0OAOB?uu u ruuu r12120 x xy y“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0 问题”1212x xy y0；“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（120KK或12KK） ；“共线问题”（如：AQQBuuu ru uu r数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如： A、O、B 三点共线直线 OA 与 OB 斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒 ：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；七则细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 23 页 - - - - - - - - -