理论声学答案 .pdf

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1、1 习题 1.1衰减因子511010/ 0.0010.5220.1mRsm衰减模量212mmsR力学品质因素530530.1*1000*10/101010*10/10mmmmmKQRR共振频率222200111100.51.581.5922220.1KHzHzm习题 1.3002Kfm增加质量m，0002Kffmm可得00001fmffm，20000002m ffmfff，22200000042mfffKfff习题 1.4 有一动圈传声器，当作质点系统处理，测得振膜固有频率600Hz，质量 0.8 克，求弹性系数和力顺。20211370Kfm(牛顿/米)，力顺518.8 10CK(米/牛顿，秒

2、2/千克 )习题 1.5 简单振子的固有频率是100Hz，在频率为 300Hz 的外力作用下振动，求振动的质量抗和弹性抗之比。22201mmmmCC习题 1.6 标准重物质量1m，0.1l，弹簧弹性系数10mgKgl，g地球重力加速度石块质量1221982.52Kmkg 弹簧伸长150l mm ，111m gKl，22211111110.05 21.97KlKlglmKm/s2习题 1.7 质点系统受幅度调制的振荡力tthfsin)sin1(1，1，求振动。11sincoscos2hfttt12112211113211exp()sinexp2cos2exp2cos2iittxmiRKhitht

3、xmiRKhithtxmiRK名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - 2 习 题1.8有 下 列 形 式 的 作 用 力 作 用 于 简 单 振 子 上 ， 求 振 动 位 移 。1,()21, ()(1)2aaFkTtkTfFkTtkT.2,1,0,1,2,.k122, 1,0,1,2,112aaFkTtkTfkFkTtkT把外力展开为傅利叶级数0122cossinnnnnntntfabTT0010TafdtT，02

4、2cos0TnntafdtTT00 22sin4TnanntbfdtFTTnn偶奇1,3,5.1,3,5.441212sinexpaannFiFntintfnTnT221,3,5.212exp2anTFintxnTn ZT习题 1.9 直接证明错误！未找到引用源。0000000expexpexpsinexp()2ti titti titdttti t dti0000000expexp12ti tittititiiiii0001112iiiii0000012iiiiiiiii2201i22012i名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

5、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - 3 习题 1.10 画出图示弹簧并联系统的导纳型类比线路图，求出系统的等效弹性系数。2mKC并习题 1.11 图示隔振系统的弹簧置于阻尼材料中，力阻1mR，画出系统的导纳型类比线路图，分析1mR的作用。恒流源1112mmmVVVVFi CGVFimVG得到：1121122111111mmmmmmmmmmViRKiCGVmiRRKimGiCG习题 1.12 一弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质点组成简单振子。质点同时受到向下的重力。分析质点的振动和能量的转换。22d xmmgKx

6、dt，22d xKxgdtm，特解0mgxK，0 x弹簧受力为零通解0cosmgxatK，平衡位置mgxK，简谐振动速度00sinvat动能：2210011sin22Emvm at弹簧势能：222011cos22mgEKxK atK22001coscos22mgK atmgatK名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - 4 重力势能：30cosmgEmgxmg atK20cosmgmgatK。0 x取为平衡位置，Mgxx

7、K通解0cosaxxt速度00sinavxt，动能：2210011sin22Emvm at弹簧势能：22011cos22mgmgEKxK atKK22001coscos22mgK atmgatK重力势能：30cosEmgxmgat习题 1.13 火车以速度0v运动，车上有一简单振子，弹簧与火车运动方向平行，一端固定在火车上，另一端连接的质点沿火车运动方向振动。分析质点的振动和能量转换的规律。见课本第二章习题 2.1 图中 3 个相同的质点和4 个相同的弹簧组成的一维的耦合共振系统。求其共振频率和模式，验证模式的正交性。02Km1112221233332=0 00 mxKxKxxmxKxxKxx

8、mxKxKxx22200222200022200/ 20/2/ 200/ 210，模式是11021，2,3012/ 2，模式是11221名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - 5 正交：质量相同11112100221，11112100221，11112120221习题 2.2图 2.1 中两个质点和三个弹簧组成一维振动系统，如果两个质点的质量相同，三个弹簧的弹性系数相同。两个质点分别受力1expfit和2expfit，

9、验证用简正坐标解的结果和非齐次方程组的结果一致。2122202XmKKXkmK13Km，模式是11，2Km，模式是11211212221222mXKXKXfmXKXKXf两式相加和相减112212AXXAXX211121mAKAffQ，2221223mAKAffQ112QAmK，2223QAmK1211222123QQXAAmKmK22121222323mKffmKffmKmK21122223mfKfKfmKmK1221222123QQXAAmKmK22121222323mKffmKffmKmK22122223mfKfKfmKmK名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

10、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - 6 用解非齐次方程的方法解2121212222mKXKXfKXmKXf12221121222222322fKfmKmfKfKfXmKmKmKKKmK21222122222222322mKfKfmfKfKfXmKmKmKKKmK习题 2.3 写出习题 2.1 的振动系统的投影矩阵。如果在中间的质点上有稳态的作用力，求系统的振动，分析各个模式的贡献。归一化模式是11021m，11221m。11110110002101TPXXm，212112224

11、121P，312112224121P1102( )22( )2110000jjnnjjjjFFPmPmXH F2(2)22(3)222224422FFmm习题 2.4 用质量归一化的方法分析图2.1 的振动系统。1200TmmmN N，1200mmN，1122m Xm XYNX2111KNINYNF，1112112222212ccccKKKmmmm fKKKm fmm mIY习题 2.5 图中机器11K m工作时产生单频振动， 为了降低通过弹簧1K对地基的作用， 机器上方加装一质点弹簧系统22K m，画出类比图，并分析加装系统的理想参数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

12、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - 7 并联 电路各支路电流与电导成正比，希望1C上的电 流小，2C支路 的电阻抗应该小，2210i Cim，2221m C习题 2.6图中的质点被两个相同的弹簧固定，平衡的时候弹簧中的张力是T，质点可以在三维空间中运动，位移很小，分析其振动。质点位置xyz，平衡位置是原点，弹簧原长0l平衡位置处弹簧长度0TllK，K弹性系数固定点的坐标,0,0l质点位移后弹簧长度2221,2lxlyz保留一阶小量22221,22 lll xxyzlx质

13、点在x方向的受力102012xllxK llK llll12xK llK x质点在y方向的受力102001222ryyyTK llK llK llyK yllll质点在z方向的受力1020122rzzTK llKllzK zlll2xKK，2rTKl运动方程000 xrrmxK xmyK ymzK z三个方程是解耦的，就是简正坐标频率方程2220 xrmKmK12xKKmm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - 8 x

14、方向的振动，振动与张力T无关232rKTmml，简并，yz平面内的椭圆振动，yz平面内的任意方向都可以作为简正方向。运动122expexpexpxAityBitzCit习题 2.7*如果习题 2.1 中的三个质点运动时还受到方向与速度相反，大小与速度成正比的阻力，分析系统的阻尼振动性质和受迫振动性质。1111212221232333323=mmmmxR xKxKxxfmxR xK xxKxxfmxR xKxKxxf2111121222212322333323=mmmmXiR XKXKXXFmXiR XKXXKXXFmXiR XKXKXXFmiRmm，022mKKiRmm222002222000

15、22200/ 20/ 2/ 200/ 210，112mKiRm，21120mmiRK2,302,3212 /212/ 2mKiRm，22,32,32 12/ 20mmiRK习题 2.8*图 2.8 所示的振动系统，两个质点可以在三维空间中运动，分析其振动模式。习题 3.1 有一质量为 1 克，长度为1 米的细弦以 1 牛顿的张力张紧，两端固定，求弦的自由振动的基频；当弦以基频振动，中点位置的位移振幅为10 毫米，求振动的总能量；距一端0.25 米处的速度振幅是多少？模式的概念lctlxAucossin8.1510512001.0/12/2lTlcfHz 2222410.012.471044TE

16、AlJ lctlxfAvsinsin2, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - 9 0.25m 处振速振幅70.04sin201.0fm/S 习题 3.2 长为l的弦两端固定，在距一端0 x处敲击弦，使其产生00 xxv的初速度，求解弦的振动位移，分解为各个模式的和，求各个模式的能量。给定了初始条件分析自由振动1sincossinmmmlctmblctmalxmu，0ma100sinmmlxmlcmbxxv，lxmv

17、cmbm00sin2100sinsinsin2mlctmlxmlxmcmvu根据能量守恒定律外力做功等于初始时刻弦的动能lmmllxmlvdxlxmlxmlvdxxvE010220210002sinsinsin2210,21模式m：lctmlxmlxmcmvumsinsinsin200动能llctmlxmlvdxlctmlxmlxmlv020220200cossincossinsin221势能lldxlctmlxmlxmclvTdxxuT020002sincossin22121lctmlxmlv20220sinsin模式m能量lxmlvEm0220sin，得到1mmEE习题 3.3 有一长度为

18、1 米，截面积24m101的铝棒 ( 密度 2700kg/m3) ，两端自由。求棒作纵振动时的基频和位移振幅最小的位置。如果在棒的一端负载着0.054kg 的重物，求基频和位移振幅最小的位置。基频3101052.222700/1085. 62/2ElcfHz，kl基频振动coscosxctuAll振幅cosAkx，最小为零2xl，2lx，中点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - 10 00Ux，2UlmU lzcx，

19、cosUxkx2 .102700054.0tan4Mmklkl，65. 2kl, 31013.2252065.2265.2lcfHz 零点满足2kx，59.065.222lkxm 习题 3.4 位于0 xl的弦，两端固定，作横振动。若初始时刻的位移为0233laxxula lxx，速度为00v，用模式展开和达朗贝尔解两种方法求振动位移随时间的变化。12,cossinnnn ctn xu x talll，012sinnnn xuxall000/ 322sin2sinsinlllnnnnauxx dxaxx dxa lxx dxlllll223 2sin3llann2216,sincossin3n

20、lann ctn xu x tnll0( )ux，01()2uxct，01()2uxct，012()2ulxct，012()2ulxct，014()2ulxct01()2uxct，012()2ulxct，012()2ulxct，014()2ulxct，014()2ulxct习题 3.522222tcuxu，0),0(tu，tiFxtluSE0exp),()exp(cossin000tixkbxkAu，ck00名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 -

21、- - - - - - - - 11 )exp(sincos0000tixklkESkFu,)exp(tan000tilkESkFlu低频，保留一项)exp(0tiESFllu，lESlutiFK)exp(0条件：020.3lk l，20l，20cfl习题 3.6 12expexp 0expexpUAikxBikxxxUUAikxBikxxxl, (3.106), (3.107), 00mUzikZ Ux, ,mUlzikZ U lx12UxUx, 12UxUxTTFxx22expexp20exp2mmmmzZikxzZiklxi UFzZzZi kl2expexp21exp2mikxrikl

22、xFzZri klmmzZrzZ习题 3.7 1sinuAkx，2sinuBk xl2lx1222lluusinsin22klklABAB或sin02kl2121222lllTuTumuxx2cossin22klklTkABmA（）sin02kl，2kln，AB，2sinuAkx，偶数阶模式（）2cossin222klmklTkAAtan22klkllm，比较 (3.157) 习题 3.8*Txg名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - -

23、- - - - - 12 (3.160) 2( )( )0dU xdT xxU xdxdx,20dU xdgxUxdxdx, 2220d UdUUxdxdxg,00dUdx,224gyx,2xyg,22ddy ddddxdx dydygy dygx22222222222222ddddddxgy dygy dygydygydy220d UdUUdyydy零阶贝塞尔方程002xUJyJg020lJg，2nnlg，2nngl，00nJ，0nnxUJln：2.4048,5.5201，8.6537，11.7915, 14.9309 0UJx习题 4.1 利用极坐标和直角坐标的转换关系由22222yx证明

24、2222rr rrr。cosxr，sinyr，22rxy，1tanyxcosrx，sinry，sinxr，cosyr，cossinsincosrr，1rcosxr，sinxr，sinyr，cosyrcossinsincosrr，rsincosxrr，cossinyrrcossinrxy，sincosrrxy22sincosxxrr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - 13 22222sinsincos sinsin

25、coscosx rrrrxrr22cossinyyrr22222coscoscos sinsincossiny rrrryrr222222sincos1cossinsincoxyxyrrrrxy222222111rrrrrrrrr习 题5.2根 据 哈 密 顿 原 理 和 变 分 法 由 膜 的 能 量 密度.222() 2TVEEEucu推 导 膜 的 运 动 方 程.22222uuuxyc。2222TVuEEEcut22112222ttTVtStSuSdtdS EEdtdScut21222222ttSuuudtdScctxy取极值欧拉方程21, , , ,ttSuuuSdtdSFt x y

26、 utxy取极值的充要条件0FFFFuuutxyutxy得到2222222200uuucctxy习题 5.3 矩形薄膜的长宽比是1:2，求前 5 个共振频率与基频的比值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - 14 ba2，2222,422nmacbnamcfnm，54221, 1,nmffnm26.1581 , 11,2ff，61.15131 , 11, 3ff，84.15171 ,12, 1ff，0.25201

27、, 12,2ff1,1(1.00)1,2(1.80)1,3(2.72)1,4( )1,52,1(1.26)2,2(2.00)2,3()2,42,53,1(1.61)3,2()3,33,4.4,1(2.00)4,2.，72. 25371 , 13, 1ff，注意选取合适的模式习题 5.4 圆形膜的共振频率acmnnm,，基频002Tfa，002.405最大的张力4maxmax1.2 10TThN/m 最高的频率572405.22405. 2maxmaxmaxhhTaTafkHz 习题 4.5 已知周围固定的圆膜以基频振动，中心点的振幅是A，求振动的能量。（提示：利用 (4.88) 。 ）0000

28、0expUAJitc，0000ca，002.4050000000000coscosctuAJtAJcaa(4.10)动能22222200000000 00sin2aactuddAcJdaaaa2222000000sin2TctAJa，总能量222200002.452TAJTA习题 4.6 周围固定的圆膜受到介质的阻尼力mR u，分析圆膜的振动。222muuTR uu名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - 15 222

29、20mUUTiR UU22220UUk U22miRkT，2miRkcc，2miRck，expexpexp()2mR titickt习题 4.7*内外半径分别是a和b的圆环膜的边界固定，求固有频率方程。如果内半径受到与膜垂直的均匀的简谐力，求膜的位移。cosmmUAJkBYkm自由振动0mmAJkaBYka0mmAJkbBYkb频率方程：0mmmmJka YkbYka Jkb受迫振动：00u aTk AJkaBYka11k AJkaBYkaF000AJkbBYkb1011000FYkaYkbAJkaYkakJkbYkb，1011000JkaFJkbBJkaYkakJkbYkb00001010F

30、Ykb JkJkb YkUk Jka YkbYka Jkb习题 5.1 复习声波方程的推导。基本假设基本方程，线性化0v0pv20pc，02000,1ssSKdpcd不可压缩流体sK，0c，v，速度无散，声压调和20p名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - 16 一维的解,p x t，220px，00pptf t x，xvf，xvf t。声波expexpexp1expi kxtikxitikxit0011expexp

31、xvi kxtitcc习题 5.2如果介质中有体力分布，作用在单位体积上的体力为zyxF,，求声波方程。分析体力是重力的情况。体力, ,Vx y z dxdydzfF运动方程dxdydzFdxxpdydztvdxdydzxx0Fvpt0波动方程F22022tcpp重力zF?gzcpgzgzg20F估计重力的影响t，kz，因此2022220pgczgkgpcct，这个数一般很小，频率很低时才有作用对于空气如果1gc，相当于0.0052gfcHz 习题 5.3 设夏天的气温比冬天高40 C，如果大气密度近似认为不变，求这样的温差下同样声压的声波声强变化的百分比和声强级差。理想气体绝热过程声速200

32、0pc，理想气体平衡状态方程0p VNkT，N分子数，T绝对温度，231.3810k波尔兹曼常数00pNkTm，0cTzcpgtcpp2022022名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - 17 声强20012epIcT，声强变化2113002607260TTT合2110log(/)0.3IIdB 习题 5.4 220.0059340lTcS 620.026010340lTcS 3340410224010c Tl习 题

33、5.5 空 间 中 有 两 个 传 播 方 向 相 同 的 平 面 波111expxpPitc和222expxpPitc，求总声场的能量密度、能流密度和它们的平均值。能量问题，先求实部12ppp111222coscosxxPtPtcc，0 xpvc能量密度2220220022vppcc2222111222201coscosxxPtPtccc1211222coscosxxP Pttcc平均能量密度22122012PPc波印廷矢量x方向20 xppvc习题 5.6 20C 空气中一平面声波，声压级为74dB，求有效声压、平均声能量密度与声强。如果水中一个平面声波有同样的质点振动速度幅度，求声强。1

34、 .01010220/745ep帕8222100 .74153441 .0cpe焦耳 / 米3 522104 .24151.0cpIe瓦/ 米2 2acvpvI3612121057.34151048. 1ccII，22106. 8I瓦/米2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - 18 习题 5. 上题中空气中的平面声波垂直入射到界面上，界面的声压反射系数是0.4 ，求介质中的声压和声强。21210.4pzzrzz，

35、2212121211.4pzzztzzzz，14.0ep帕2122122121410.84az zzztzzzz，5100.2I瓦/ 米2 习题 5.8 验证平面声波斜入射到平面界面发生反射和透射时的能量守恒关系。2121rnnpinnpzzrpzz，2212tnpinnpztpzz入射角小于临界角，反射波和透射波都是平面波入射波声强22111cosiiinppIzz反射波声强2222111121cosrinnrnnppzzIzzzz透射波声强2222222212costintnnnppzIzzzz211coscoscostriIII全反射，反射系数的模为1。反射波强度等于入射波的强度，反射角

36、等于入射角。透射波是不均匀波，法向能流为零。 习题 5.9 推导错误！未找到引用源。理论声学Theoretical Acoustics 1. 推导球坐标系中介质的运动方程、连续性方程，进而推导波动方程。单 元 的 三 边 垂 直 ， 尺 度 ：dr，rd，sinrd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - 19 标量函数p的 梯度 ，沿着坐标轴方向的导数, , ,p rrp rprr, ,p rp rprr，, , ,

37、sinsinp rp rprr?sinpppprrrr，运动方程ptv矢量函数v的散度，各个坐标面流出量的总和与体积的比22sinsinsinrrrrrrr vv rrv rrrrrrrsinsinsinsinsinvrrvrrvrrrrsinsinvrrvrrvrrrr22sinsinsinrr vvvrrrrv，连续性方程0tv222222211sin1sinsinrrrrrrr声波方程22222222211sin11sinsinpppprrrrrrrct2. 对于脉动球源，在满足10kr的条件下，使球源半径比原来增加一倍，表面振速与频率不变， 辐射声压增加多少分贝？如果在10kr的条件下

38、球源半径增加一倍，表面振速与频率不变，辐射声压增加多少分贝？rtkriApexp，0000exp11ikrikrcrVA低频， kr0很小200rVA，声压与20r成正比，0r增加一倍，声压增加到四倍名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - 20 124log20log20101210ppdB 高频， kr0很大00crVA，声压与0r成正比，62log20log20101210ppdB 3dB，6dB，10dB，20

39、dB的意义3. 演讲者辐射的声功率是10-3W，如果人耳听音时感到满意的最小声压是0.1Pa，求无限空间中听众的最大距离。cprpvrW22244，8.142pcWrm 741021 .0log20510dB 4. 求两个强度相等、相距l、相位差2/的点声源的远场辐射声压。22114/ex p4/ex prii k rArii k rAp2s i n2s i n22222, 1lrrllrrr4/sin2/2sinexpkkrikrAp指向性42sinsin2sincos4/sin22/2sinklklkk5. 半径为5mm 的脉动球源向空中辐射100Hz 的声波，球源表面振速幅度为0.008

40、m/s，求辐射功率。如果有这样相同的两个球，相距0.15m，求辐射的总功率。如果两个球的振动反相，求辐射的总功率。85.12cfkm-1，0092.00kr，28.0kl10220000220002105.3222krVccrVcAWW 相同的两个球98.0sinklkl，功率是92.3sin12klkl倍，即91037.1W 反相小球120220221098.82332cAklcAklWW 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - -

41、- - - - 21 6. 如右图所示，将火车看作有限长声源，火车首尾与观察点连线（对于垂线0r）的夹角分别为1和2，证明12022 rcWpe，这里W是单位长度的火车发出的声功率。22004 R pWc，2024cWdxdEpR222111121222000001tanxxxxxxdxdxxRrrrrxr刚性地面 2 倍7. 设一半径为a的圆形声源， 总输出声功率W平均分布在圆面上，但是各点的相位是无规的且不相干，求声源中心轴上平均平方声压随距离的变化规律。22222222212200lnln2azazazzdzaaEPzdR dRRRzz8. 已知一半径为a的带障板的活塞声源表面的振速分布为2021VVa，求远场分布, 分析主瓣的性质。2200200exp1expsincos2aikrPiVdikdrar200020exp1sinaikriVJkdra1220000exp1sinikria VJkadr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - -