2022年圆锥曲线复习讲义双曲线 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载圆锥曲线复习讲义（2）双曲线一复习目标：1正确理解双曲线的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出双曲线的标准方程；2掌握双曲线的几何性质，能利用双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程；3掌握直线与双曲线位置关系的判定方法，能解决直线与双曲线相交的有关问题. 二基础训练：1实半轴为2 3，且与双曲线141622yx有公共焦点的双曲线的方程为181222yx. 2焦点在x轴上的双曲线过点(42,3)P，且(0,5)Q与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为221169xy. 3过点(5,0)A且与圆B：36)5(22yx外切的圆的圆心轨迹方程是116922yx（x3）

2、. 4方程11122kykx表示双曲线，则k的取值范围是（ A ）（A）-1k1 （B） k 0 （C）k0 （D）k 1 或 k -1 5已知双曲线192522yx上有一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为（ D ）（A）2 （B）22 （C）7 或 17 （D）2 或 22 6. 椭圆1222ymx(1)m与双曲线1222ynx(0)n有公共焦点1F，2F，P是两曲线的交点，则21PFF的面积 = . 1PF+2PF=2m 1PF=m+n 解:不妨设点P在第一象限1PF-2PF=2n 解得2PF=m-n 21PF+22PF=)(222nm=22222)2()(2) 11(2c

3、ccnm=221FF，21PFF=2. 又1122nm,222nm，12PF FS=211PF2PF=21)(22nm=1. 7经过点(3, 2)，且一条渐近线的倾斜角为6的双曲线方程是1322xy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页优秀学习资料欢迎下载AOBPHxyx0ydPLF12F三例题分析：例 1直线1ykx与双曲线224936xy有两个交点，求实数k的取值范围 . 解： y=kx1 消去 y，得 (4 9k2)x2+18kx 45=0 4x2 9y2=36 49k20 由条件得：=(18k)24( 45)

4、(4 9k2) 0 k 的取值范围是522 225()(,)(,)333 333k. 反思 : 解题过程中 , =(18k)24 ( 45)(4 9k2) 0, 应提取 36 后再解 , 而不能直接死算. 例 2已知双曲线22125144xy的左右焦点分别为1F、2F，左准线为l，能否在双曲线的左支上找到一点P， 使1|PF是P到l的距离d与2|PF的比例中项？解： c2=a2+b2=25+144=169, c=13 e=513ac. 假设双曲线左支上有一点P，使得 |PF1|2=d|PF2| 则513|112edPFPFPF又 |PF2|-|PF1|=2a=10 解得 |PF1|=425 |

5、PF2|=465|PF1|+|PF2|=245而|F1F2|=2c=26 ，从而 |PF1|+|PF2| |F1F2| 这与 |PF1|+|PF2| |F1F2| 矛盾，符合条件的P点不存在 . 反思 : 本题也可以联立方程组消元后, 用法求解 . 例 3. 已知双曲线的焦点在x轴上，且过点(1,0)A和( 1,0)B，P是双曲线上异于A、B的任一点，如果APB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.解:设 P（0 x，0y） ， PH AB ，由对称性知，H（0 x，-0y）1110000 xyxy，12020yx. 设双曲线的方程为12222byax，将 A（1，0）代入得a=1，故双

6、曲线方程为1222byx，将 P点坐标代入，得122020byx，1122020byy，即22020byy恒成立，2b=1，所求双曲线方程为122yx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页优秀学习资料欢迎下载四课后作业：1若椭圆14222ayx与双曲线12222yax有相同的焦点，则实数a . 提示 :4-2a=2a+2，a=1. 2平面内有两个定点1F、2F和一动点M，设命题甲：12|MFMF是定值；命题乙：点M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）

7、既不充分也不必要条件提示 : |MF1|-|MF2|=2a（定值），必须是 2a|F1F2| 时点 M的轨迹才是双曲线，选（B）. 3如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列，则离心率e为（）（A）34（B）710（C）1320（D）35提示 : 由bac2，222bac，得4)(222acac，35ac，选（ D）. 4已知双曲线1422myx，离心率(1,2)e，则m的取值范围是（）（A） （-12,0 ）（B） （- ,0 ）（C） （-3,0 ）（D） （ -60,-12 ）提示 : a2=4， b2=-m, mc4，由 124m 2, 解得 m (-12,0)， 选（A） . 5

8、以230 xy为渐近线，且经过点(1,2)的双曲线方程是_. 提示 : 设双曲线方程为4x2-9y2=k, 将点 (1,2) 代入得， k=-32 ，所求方程是4x2-9y2+32=0. 6 以椭圆1162022yx的长轴的端点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是 . 提示由题意，20 ac，21620 ca，所求的方程为116422yx. 7双曲线的离心率2e，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是。提示由2ac，即 c=2a，得3acac，故所求的比为3：1.8双曲线14491622yx的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上，且1264PFPF，求21PFF的面积 . 解:

9、已知双曲线方程可化为116922yx，则 a=3，b=4，c=5. 由双曲线的定义知，21PFPF=6，又21FF=2c=10，所以在21PFF中，由余弦定理，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页优秀学习资料欢迎下载OxyAFB212212221212cosPFPFFFPFPFPFF212122122122)(PFPFPFPFFFPFPF =2112812810036. 因此，12PFFS=316sin212121PFFPFPF. 9如图，OA是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为焦点，且30BAO，)336(21AB

10、FS，求该双曲线的方程. 解:由题意知，bcba2,3，20)32(21)32(241)(41150sin21bbbbaccAFABSABF，)336(21)32(212b， b2=3，从而 a2=9， 故所求方程为13922yx. 10. 直线l：5710 xy与以坐标轴为对称轴的双曲线C交于A、B两点， 点(5,14)P与A、B构成以AB为斜边的等腰直角三角形，求双曲线C的方程 . 解 : A 、B为以 P为圆心 |PA| 为半径的圆与l的交点 . P到l的距离7475|114755|22d， |PA|=3722d，圆的方程为（x-5 ）2+(y-14)2=148. 5x-7y-1=0 x=3 x=17 由得 (x-5)2+(y-14)2=148 y=2 y=12 所以 A （3，2） ，B（17，12） . 设所求双曲线方程为mx2+ny2=1（mn 0） ，将 A、B两点坐标代入方程求得m=1,n=-2，所求双曲线方程为x2-2y2=1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页