2022年2022年离散课后习题答案 .pdf
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1、运关运关nn第十章部分课后习题参考答案4判断下列集合对所给的二元运算是否封闭:(1) 整数集合 Z 和普通的减法运算。封闭 ,不满足交换律和结合律,无零元和单位元(2) 非零整数集合普通的除法运算。 不封闭(3) 全体nn 实矩阵集合(R)和矩阵加法及乘法运算,其中n 2。封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律;加法单位元是零矩阵,无零元;乘法单位元是单位矩阵,零元是零矩阵;(4)全体 nn 实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算,其中n 2。不封闭(5)正实数集合和算,其中运算定义为:不封闭因为 1 11 1 1 11R(6)n于普通的加法和乘法运算。封闭,均满足交换律,结合律,乘法
2、对加法满足分配律加法单位元是 0,无零元;乘法无单位元(1),零元 是0;1单位元是 1n(7)A = a1, a2, , a n 算定义如下:封闭 不满足交换律,满足结合律,(8)S = 于普通的加法和乘法运算。封闭均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律(9)S = 0,1,S 是关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭,乘法封闭;乘法满足交换律,结合律(10)S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭,乘法封闭,乘法满足交换律,结合律5对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律,结合律,分配律。见上题1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
3、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 分7设 * 为Z 上的二元运算, x yZ,X * Y = min ( x,y ), 即x和y之中较小的数 . (1) 求4 *6,7 *3。4,3(2)* 在Z上是否适合交换律,结合律,和幂等律?满足交换律,结合律,和幂等律(3) 求*运算的单位元,零元及Z 中所有可逆元素的逆元。单位元无,零元 1, 所有元素无逆元8SQQ为有理数集, *为S上的二元运算,a,b, S 有Q* = (1)*运算在 S上是否可交换,可结合?是否为幂等的?不可交换: *= *
4、可结合: (*)*=*=*(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的(2)*运算是否有单位元,零元?如果有请指出,并求 S中所有可逆元素的逆元 。设是单位元,S ,*= *=则=,解的 =,即为单位。设 是零元,S ,*= *=则=,无解。即无零元。S,设 是它的逆元 *= *=a=1/x,b=-y/x所以当 x0 时,, x1y1 ,y xx10令S=a,b,S 上有四个运算: *,别有表 10.8 确定。2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - -
5、 - - - - - - - 为y y ( ( 11(a) (b) (c) (d) (1) 这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律?(a) 交换律,结合律,幂等律都满足,零元为 a,没有单位元;(b)满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元aa, bb(c)满足交换律 ,不满足幂等律 ,不满足结合律ab b) a ab, ab b) (a b) b(a b) ba ba没有单位元 , 没有零元(d) 不满足交换律,满足结合律和幂等律没有单位元 , 没有零元(2) 求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16设V= N,+ , , 其 中+ , 分别代表普通加
6、法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成 V的子代数,为什么?(1)S1=是(2)S2=不是 加法不封闭(3)S3 = -1 ,0,1 不是,加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8. 设S=0,1,2,3,模4乘法,即 x,y S, xy=(xy)mod 4 问S,是否构成群?为什么?解:(1) x,y S, x =(xy)mod 4S, 是S上的代数运算。(2) x,y,z S,设xy=4k+r 0 r3 (x)z =(xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4=(4kz+rz)mod 4=(4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎
7、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - ( y ( x 1 (3) 同理xyz) =(xyz)mod 4 所以, (x)z = xyz) ,结合律成立。xS, (x 1)=(1 )=x, ,所以 1是单位元。(4) 111, 313, 0和2没有逆元所 以, S,不构成群9. 设Z为整数集合,在 Z上定义二元运算。如下: x,y Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群?为什么?解:(1) x,y Z, xoy= x+y-2Z ,o 是Z上的代数
8、运算。(2) x,y,z Z, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz),结合律成立。(3) 设e 是单位元,xZ, xo e= ox=x, 即x+ - 2=ee+x-2=x, e=2e(4) xZ , 设x的逆元是 y, xoy= yox= e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以,1xy4 x所以Z,o构成群10 10 10 10 11. 设G = , , , ,证明 G 关于矩阵乘法构成一个群00101 01解:(1)x,y G, 易知xyG,乘法是 Z上的代数运算。(2) 矩阵乘法满足结合律(3) 设100
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