2022年大一高数期末考试题 .pdf

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1、一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1.)(0),sin(cos)(处 有则 在设xxxxxf. （A）(0)2f（B）(0)1f（C）(0)0f（D）()fx不可导 . 2.）时（，则当，设133)(11)(3xxxxxx. （A）( )( )xx与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）( )( )xx与是等价无穷小；（C）( )x是比( )x高阶的无穷小；（D）( )x是比( )x高阶的无穷小 .3.若( )()( )02xFxtx f t dt， 其 中( )fx在 区 间 上( 1,1)二 阶 可 导 且()0fx，则（）.（A）函数( )F x必在

2、0 x处取得极大值；（B）函数( )F x必在0 x处取得极小值；（C）函数( )F x在0 x处没有极值，但点(0,(0)F为曲线( )yF x的拐点；（D） 函数( )F x在0 x处没有极值，点(0,(0)F也不是曲线( )yF x的拐点。4.)()(,)(2)()(10 xfdttfxxfxf则是连续函数，且设（A）22x（B）222x（C）1x（D）2x. 二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5.xxxsin20)31(lim. 6.,)(cos的一个原函数是已知xfxxxxxxfdcos)(则. 7.lim(coscoscos)22221Lnnnnnn. 8

3、.21212211arcsindxxxx. 三、解答题（本大题有5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9.设函数( )yy x由方程sin()1xyexy确定，求()yx以及(0)y. 10.d)1(177xxxx求11. 求， 设132)(1020)(dxxfxxxxxexfx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 45 页 - - - - - - - - - 12.设函数)(xf连续，10()()g xfxt dt， 且0( )limxf xAx，A为常数

4、. 求( )g x并讨论( )g x在0 x处的连续性 . 13.求微分方程2lnxyyxx满足1(1)9y的解. 四、 解答题（本大题 10 分）14.已知上半平面内一曲线)0()(xxyy，过点( , )01，且曲线上任一点M xy(,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10 分）15.过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及 x 轴围成平面图形 D. (1)求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4

5、分，共 8 分）16.设 函 数)(xf在0,1上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的 , 0 1q，100()()qfx d xqfx dx. 17.设函数)(xf在, 0上连续， 且0)(0 xdxf，0cos)(0dxxxf.证明：在,0内至少存在两个不同的点21,，使.0)()(21ff（提示：设xdxxfxF0)()(）一、单项选择题 (本大题有 4小题 , 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16分）5.6e. 6.cxx2)cos(21.7. 2. 8.3. 三、解答题（本大题有5

6、 小题，每小题 8 分，共 40 分）9.解：方程两边求导(1)cos()()0 xyeyxyxyycos()()cos()xyxyeyxyyxexxy0,0 xy，(0)1y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 45 页 - - - - - - - - - 10. 解：767uxx dxdu1(1)112()7(1)71ududuuuuu原式1(ln | 2ln |1|)7uuc7712ln |ln |1|77xxC11. 解：1012330( )2xf x

7、dxxedxxx dx01230()1(1)xxdexdx00232cos(1sin)xxxeedx 令3214e12. 解：由(0)0f，知(0)0g。100()()()xxtufu dug xfxt dtx(0)x02( )( )()(0)xxfxf u dugxxx0200( )( )A(0)limlim22xxxf u duf xgxx0200( )( )lim( )lim22xxxxfxf u duAAg xAx，( )gx在0 x处连续。13. 解：2lndyyxdxx22(ln)dxdxxxyeexdxC211ln39xxxCx1(1),09yC，11ln39yxxx四、 解答题

8、（本大题10分）14. 解：由已知且02dxyyxy，将此方程关于x求导得yyy2特征方程：022rr解出特征根：. 2, 121rr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 45 页 - - - - - - - - - 其通解为xxeCeCy221代入初始条件yy( )( )001，得31,3221CC故所求曲线方程为：xxeey23132五、解答题（本大题10 分）15. 解： （1） 根据题意，先设切点为)ln,(00 xx， 切线方程：)(1ln000 xx

9、xxy由于切线过原点，解出ex0，从而切线方程为：xey1则平面图形面积10121)(edyeyeAy（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则2131eV曲线xyln与 x 轴及直线 x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为 V2 1022)(dyeeVyD 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221eeVVV六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4 分，共 12 分）16. 证明：100( )( )qf x d xqf x dx100( )( )( )qqqf x d xqf x d xf x dx10(1)( )( )qqqf x

10、d xqf x dx12120,1()()12(1)()(1)()0qqffqqfqqf故有：100()()qfxd xqfx dx证毕。17.证： 构造辅助函数：xdttfxFx0,)()(0。 其满足在,0上连续，在),0(上可导。)()(xfxF，且0)()0(FF由题设，有0000)(sincos)()(coscos)(0|dxxFxxxFxxdFxdxxf，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 45 页 - - - - - - - - - 有00sin

11、)(xdxxF，由积分中值定理，存在),0(，使0sin)(F即0)(F综上可知),0(,0)()()0(FFF.在区间, , ,0上分别应用罗尔定理，知存在),0(1和),(2，使0)(1F及0)(2F，即0)()(21ff. 高等数学 I 解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）( 本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16分) 1.当0 xx时，,xx都是无穷小，则当0 xx时（D ）不一定是无穷小. (A) xx(B) xx22(C) )()(1lnxx(D) )()(2xx2.极限axaxax1sinsinlim的值是（C ）. （A）

12、1 （B） e（C）aecot（D）aetan3.001sin)(2xaxxexxfax在0 x处连续，则 a=（D ）. （A） 1 （B） 0 （C） e（D）14.设)(xf在点xa处可导，那么hhafhafh)2()(lim0（A ）. （A）)(3af（B）)(2af(C) )(af（D）)(31af二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5.极限)0(ln)ln(lim0axaaxx的值是a1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，

13、共 45 页 - - - - - - - - - 6.由xxyeyx2cosln确定函数y( x)，则导函数yxxeyexyxxyxyln2sin2. 7.直线 l 过点M ( , , )12 3且与两平面xyzxyz20 2356,都平行，则直线 l 的方程为131211zyx. 8.求函数2)4ln(2xxy的单调递增区间为（，0）和（ 1，+）.三、解答题（本大题有 4 小题，每小题8 分，共 32 分）9.计算极限10(1)limxxxex. 解：11ln(1) 12000(1)1ln(1)limlimlim2xxxxxxxeexxeeexxx10.已知：| 3av，|26bv，30a

14、 bvv，求|abvv。解：1312cos1sin,135cos2baba，72ba11.设)(xf在a，b上连续， 且,)()()(baxdttftxxFxa，试求出)(xF。解：xaxadtttfdttfxxF)()()(xaxadttfxxfxxfdttfxF)()()()()()()(xfxF12.求3cos.sinxxdxx解：23cos1sinsin2xxdxxdxx2221111sinsinsincot2222xxxdxxxxC四、解答题（ 本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）13.求23221xxdx.令1xt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

15、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 45 页 - - - - - - - - - 212322)1(1111dtttt原式dtt121232arcsint1232614.求函数212xxy的极值与拐点 .解：函数的定义域（，+ ）22)1()1)(1(2xxxy322)1()3(4xxxy令0y得x 1 = 1, x 2 = -10)1(yx 1 = 1 是极大值点，0) 1(yx 2 = -1 是极小值点极大值1)1 (y，极小值1) 1(y令0y得x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = -3x (-,

16、-3) (-3,0) (0, 3) (3,+) y+ + 故拐点（ -3，-23） ， （ 0，0） （3，23）15.求由曲线43xy与23xxy所围成的平面图形的面积 .解:,xxxxxx3232431240 x xxxxx()(),.620602123Sxxxdxxxxdx()()326023024334()()xxxxxx4236023402163233231645213471316.设抛物线24xy上有两点( 1,3)A，(3, 5)B，在弧A B 上，求一点( , )P x y使ABP的面积最大 .解：AByxABPABxyxxxABP连线方程：点 到的距离的面积2104 5215

17、235132()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 45 页 - - - - - - - - - S xxxxx( )()124 523522322当SxxxSx( )( )4410当时取得极大值也是最大值SxxS x( )( )401此时所求点为，y313()另解：由于的底一定 故只要高最大而过点的抛物线的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使解得所求点为ABCABCABC xxfxxxC,(),(),( , )0020004253312113六、证明题（

18、本大题 4 分）17.设0 x，试证xxex1)1(2.证明：设0),1()1()(2xxxexfx1)21 ()(2xexfx，xxexf24)(，0)(, 0 xfx，因此)(xf在（0，+）内递减。在（ 0， +）内，)(,0)0()(xffxf在（0，+）内递减，在（ 0， +）内，),0()(fxf即0)1()1(2xxex亦即当x0 时，xxex1)1 (2。高等数学 I A 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4 小题 , 每小题 4 分, 共 16 分) 18.函数0,sin10,2tan1,1)1ln()(xxxxxxxxxf

19、的全体连续点的集合是（）(A) (-,+) (B) (-,1) (1,+ ) (C) (-,0) (0, +) (D) (-,0) (0,1) (1,+ ) 19.设0)11(lim2baxxxx，则常数 a,b 的值所组成的数组（a,b）为（）（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1）20.设在 0，1上)(xf二阶可导且0)(xf，则（）（A）)0()1 ()1()0(ffff(B) 1()0()1()0(ffff名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

20、- - - - 第 8 页，共 45 页 - - - - - - - - - (C) )0()1 ()0()1 (ffff（D）)0() 1()0()1(ffff21.,1cossin2224dxxxxM2243)cos(sindxxxN22432)cossin(dxxxxP则（）（A）M N P（B）P N M（C）P M N （D）N M 0,故驻点为极小值点。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 38 页，共 45 页 - - - - - - - - - 5设 f (

21、x) = x lnx 在 x0处可导，且 f (x0)=2,则 f (x0)= 。解：.)(,2)(,1ln)(000exfexxfxxf于是有知由, 10lim.620 xfxfx设则 f(x)在 x=0 取得（填极大值或极小值） 。解：是极大值点。由极值定义知的某邻域内有即在有由极限的保号性有0,0000,00, 10lim220 xfxfxfxfxfxfxfxfx二、0,0011)(xxxxxf函数是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。解：当 x0 及 x0 F(1)= f(1)-1=0-12)，并求nnxlim。证：21111111215021511)1 ,0()(012.0)()

22、1 , 0(21)1 (,1)0( 1 , 01)(000212111121121xxxnxxxxxxxxxxxxxxxfxnxffnnffxxxxxfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn解出取极限两边由方程有有极限，设极限故由极限存在准则知其因此是单调下降数列，而知由上有唯一实根。单调增加，故在知函数又使点定理知至少有一点由闭区间上连续函数零知函数在端点异号。由上连续。其在设七七（10 分）确定常数 a、b,使极限404cos2cos1limxxbxax存在，并求出其值。解：要使极限存在， 分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有 1a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为

23、无穷小，有a+4b=0 解出： a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为 8/3 八八（10分）设 f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可微，且 f (a) = f (b) =0,证明：对cfcfbacR，使得,。证明： 构造函数 F(x)=e- x f (x) 则 F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可微 F (a) = F (b) =0 由罗尔定理xfexfexFcFbacRxx而，使得,0,即有cfcfbacR，使得,证毕。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 45 页，共 45 页 - - - - - - - - -