2022年微积分习题之常微分方程 .pdf

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1、第八部分常微分方程第 1 页 共 16 页1 填空题 1微分方程0costanxxyy的通解为xCxycos)(。2过点)0,21(且满足关系式11arcsin2xyxy的曲线方程为21arcsinxxy。3微分方程03yyx的通解为221xCCy。4设)(),(),(321xyxyxy是线性微分方程)()()(xfyxbyxay的三个特解，且Cxyxyxyxy)()()()(1312，则该微分方程的通解为)()()()()(1132121xyxyxyCxyxyCy。5设xexyxy22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为xy3，则该微分方程的通解为xeCx

2、Cxy2123。6设出微分方程xexexyyyxx2cos32的一个特解形式)2sin2cos()(*xFxEeeDCxxBAxyxx。7微分方程xeyyy22的通解为)sincos1(21xCxCeyx。8微分方程xeyy24的通解为xxexCeCy222141。9函数xCxCy2sin2cos21满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04yy。10若连续函数)(xf满足关系式2ln)2()(20 xdttfxf，则)(xf2ln2xe。 选择题 11设曲线积分Lxydyxfydxexfcos)(sin)(与路径无关， 其中)(xf具有一阶连续导数，且0)0(f，则)(xf等于 (A)(21xx

3、ee。 (B) )(21xxee。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页第八部分常微分方程第 2 页 共 16 页2 (C) 1)(21xxee。 (D) )(211xxee。答 B 注： 根据题意，yexfyxfxcos)(cos)(，解得xxCeexf21)(。由0)0(f，得21C，所以)(21)(xxeexf，即选项 (B) 正确。12若函数xy2cos是微分方程0)(yxpy的一个特解，则该方程满足初始条件2)0(y的特解为 (A)22cos xy。 (B) 12cos xy。(C) xycos2。 (D)

4、xy2cos2。答 D 注： 根据解的结构，通解为xCy2cos，由2)0(y得2C。故选项 (D) 正确。其他选项经验证不满足方程或定解条件。13设函数)(),(21xyxy是微分方程0)(yxpy的两个不同特解，则该方程的通解为 (A)2211yCyCy。 (B) 21Cyyy。(C) )(211yyCyy。 (D) )(12yyCy。答 D 注： 因为)(),(21xyxy是微分方程0)(yxpy的两个不同特解，所以12yy是该方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为)(12yyCy，即选项 (D) 正确。另：根据通解定义， 选项 (A) 中有两个任意常数， 故其不对。当02y时， 选

5、项 (B) 不对。当12yy时，选项 (C) 不对。14已知函数)(xyy在任意点x处的增量)0(),(12yxoxxyy，则)1 (y等于 (A)2。 (B)。 (C)4e。 (D) 4e。答 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页第八部分常微分方程第 3 页 共 16 页3 注： 根据微分定义及微分与导数的关系得21xyy，解得Cxyarctanln，由)0(y，得lnC，所以41arctan)1(eey。因此选项 (D) 正确。15设函数)(xfy是微分方程042yyy的一个解。若0)(,0)(00 xfxf

6、，则函数)(xf在点0 x (A) 取到极大值。 (B) 取到极小值。(C) 某个邻域内单调增加。 (D) 某个邻域内单调减少。答 A 注： 因为0)(0 xf，0)(4)(00 xfxf，所以选项 (A) 正确。16. 设21, yy是二阶常系数线性齐次方程0qyypy的两个特解，21,CC是两个任意常数，则下列命题中正确的是 （A）2211yCyC一定是微分方程的通解。（B）2211yCyC不可能是微分方程的通解。（C）2211yCyC是微分方程的解。（D）2211yCyC不是微分方程的解。答 C 注： 根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当21, yy线性相关时，选项（A）错误

7、 , 当21, yy线性无关时，选项（B）错误。17. 微分方程1xeyy的一个特解应具有形式 (A)baex。 (B)baxex。(C) bxaex。 (D) bxaxex。答 B 注： 相应齐次方程的特征根为1, 1，所以xeyy的一个特解形式为xaxe，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页第八部分常微分方程第 4 页 共 16 页4 1yy的一个特解形式为b。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为baxex，即选项(B) 正确。其他选项经检验不满足方程。18. 具有特解xxxeyxeyey3,2,321的三阶线性

8、常系数齐次微分方程是 (A)0yyyy。 (B) 0yyyy。(C) 06116yyyy。 (D) 022yyyy。答 B 注 ： 根 据 题 意 ，1, 1是 特 征 方 程 的 两 个 根 ， 且1是 重 根 ， 所 以 特 征 方 程 为01)1)(1(232。 故所求微分方程为0yyyy， 即选项 (B)正确。19. 设xyeyx21,是三阶线性常系数齐次微分方程0cyybyay的两个特解，则cba,的值为 (A)0,1,1cba。 (B)0,1,1cba。(C)0,0, 1cba。 (D)0,0, 1cba。答 C 注 ： 根 据 题 意 ，0,1是 特 征 方 程 的 两 个 根

9、， 且0是 重 根 ， 所 以 特 征 方 程 为0) 1(232。故原微分方程应为0yy，所以0,0, 1cba即选项(C) 正确。20. 设二阶线性常系数齐次微分方程0yyby的每一个解)(xy都在区间),0(上有界，则实数b的取值范围是 (A)0b。 (B)0b。 (C)4b。 (D)4b。答 A 注： 因为当2b时，xbbxbbeCeCxy24224122)(，所以，当042b时，要想使)(xy在区间), 0(上有界，只需要04,0422bbbb，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页第八部分常微分方程第 5

10、 页 共 16 页5 2b。当042b时，要想使)(xy在区间),0(上有界，只需要42bb与42bb的实部大于等于零，即20b。当2b时，xxxeCeCxy21)(在区间),0(上有界。 当2b时，xxxeCeCxy21)()0(2221CC在区间),0(上无界。综上所述，当且仅当0b时，方程0yyby的每一个解)(xy都在区间),0(上有界，即选项(A) 正确。 解答题 21求微分方程01122xyyyx的通解。解： 方程两端同乘以dxyx1122，得xdxxydyy11022，此方程是一个变量分离方程，其通解为)2(1122CCxy。22求微分方程dydxxyxx1sin的通解。解： 这

11、是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程dydxxy10，得其通解为xCylnln，即xCy。令xxCy)(，代入原方程，得xxxxCxxCxCxsin)()()(22，解得CxxCcos)(。所以原方程的通解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页第八部分常微分方程第 6 页 共 16 页6 )cos(1Cxxy。注： 本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得yxxedxcexxcxdxxdx(sin)(cos)111。23求解微分方程xdyydxyedyy2。解： 将y看成自变量，x看成是的y函数，

12、则原方程是关于未知函数xx y( )的一阶线性微分方程yyeyxdydx，此方程通解为ydyyydyyyeCydyeyeCex11，其中C是任意常数。 24求微分方程22yxyyx满足初始条件1)1 (y的特解。解： 将原方程变形，得xyxyy2，这是一个齐次型方程。令xuy，代入上式，得uuux22，分离变量，得xdxuudu22，积分，得22Cxuu，即22Cxyxy。因为1)1 (y，所以1C。于是所求特解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页第八部分常微分方程第 7 页 共 16 页7 212xxy。25设x

13、ey施微分方程xyxpyx)(的一个解， 求此微分方程满足条件0)2(lny的特解。解： 将xey代入原方程，得xexpxexx)(，解出xxexpx)(。所以原方程为xyxxeyxx)(，解其对应的齐次方程，得xexCey。所以原方程的通解为xexxCeey。由0)2(lny，得21eC。故所求特解为21xexxeey。26求微分方程xyxxyy1412的通解。解： 将原方程化为yxyxxy142，这是一个伯努利方程。令yz，则原方程化为2122xzxxdxdz。这是一个一阶线性微分方程，解得)1ln()(1(4122xCxz，所以原微分方程的通解为精选学习资料 - - - - - - -

14、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页第八部分常微分方程第 8 页 共 16 页8 2zy222)1ln()(1(161xCxz。27求微分方程0)1()1(dyyxedxeyxyx的通解。解： 将y看成自变量，则)(yxx是y的函数。由于原方程是齐次型方程，令yxyu)(，原微分方程化为1uueueuy，这是一个变量可分离的方程，解得Cueyu)(。所以原方程的通解为Cxyeyx。另解：令),(,1),(yxQeyxPyx)1(yxeyx， 则xyxQeyxyyxPyx),(),(2，所以，在0y时，原方程为全微分方程。令),()1, 0()1()1 (),

15、(yxyxyxdyyxedxeyxu，由于此曲线积分与路径无关，所以),(yxu就是全微分式dyyxedxeyxyx)1()1 (的一个原函数，且。1)1(1)1()01()1()1(),(010),()1, 0(xyeeyxydxedyyedyyxedxeyxuyxyxxyxyyyxyxyx所以原方程的通解为Cxyeyx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页第八部分常微分方程第 9 页 共 16 页9 28设为实数，求微分方程0yy的通解。解： 此方程的特征方程为02，所以，（ 1） 当0时 ， 特 征 方 程 有

16、 一 对 复 根i， 方 程 有 两 个 线 性 无 关解xx sin,cos。因此微分方程的通解为),(sincos2121RCCxCxCy。（2）当0时，特征方程有一个二重根0。方程有两个线性无关解x, 1, 于是微分方程的通解为xCCy21。（ 3）当0时，特征方程有两个单重实根。方程有两个线性无关解eexx,，所以微分方程的通解为),(2121RCCeCeCyxx。29求微分方程122xyy的通解。解 将方程写作xexyy02)12(。因为0是特征方程02的单根，所以原方程一个特解形式为cxbxaxxy23*)(，将此解代入原方程，得12)2()62(322xbcxabax，比较两端同

17、次项的系数，有12, 062,23bcaba。解上述方程组，得5, 2,32cba。从而得到原方程的一个特解xxxxy5232)(23*。又因为相应齐次方程0yy的通解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页第八部分常微分方程第 10 页 共 16 页10 xeCCy21。所以原方程的通解为xeCCy21xxx523223。另解： 方程122xyy两端积分，得1332Cxxyy，这是一个一阶线性微分方程，其通解为。xxxeCCxxxeCCdxeCxxCeyxxxx523255232)32(2321232113230求解

18、微分方程xxeyyy42。解： 因为1是特征方程0122的重根，所以原方程的一个待定特解为xebaxxy)(2*，将此解代入原方程，得xxxeebax4)26(。比较两端系数，得0,32ba。于是得到原方程的一个特解xexy3*32。又因为相应齐次方程的通解是xexCCy)(21。因此原方程的通解为xexCCy)(21xex332。31求微分方程xxyycos的通解。解： 原方程所对应齐次方程的通解为xCxCysincos21。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页第八部分常微分方程第 11 页 共 16 页11 设

19、非齐次方程xyy的一个特解为BAxy1，代入次方程，得0, 1BA。所以xy1。设非齐次方程xyycos的一个特解为xDxxExysincos2，代入方程，得21, 0DE。所以xxysin212。因为21yy为原方程的一个特解，所以原方程的通解为xCxCysincos21xxxsin21。32求解微分方程yyyyyln)(22。解： 因为原微分方程不显含自变量x，所以这是一个可降阶微分方程。令)()(xyyu，则uuxyyuxy)()()(。原方程变为yyuuyuln22。再令)()(2yuyp，则有yypypln22，这是一个一阶线性微分方程，求得)ln(22yCyp。所以)ln(22yC

20、yu，故)ln(22yCyy。这是个变量可分离微分方程，解得12lnlnlnCxyCy，这就是原微分方程的通解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页第八部分常微分方程第 12 页 共 16 页12 注： 方程yyuuyuln22是一个伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。33求解微分方程)5(33xeyyyyx。解： 微分方程033yyyy的特征方程为013323，1是其三重特征根。所以该齐次方程的通解为)(2321xCxCCeyx。令原微分方程的一个特解形式为xebaxxy)(3*，代入原微分方程，并整理得5

21、624xbax，所以65,241ba。因此原微分方程的一个特解为xexxy)541(63*，故所求通解为)(2321xCxCCeyxxexx)541(63。34求解微分方程2xyyx。解： 令)()(xyxu，则原方程化为xuxu1，这是个一阶线性微分方程，解得)(1xCxu。因此)(1xCxy，所以原微分方程的通解为22132213312131CxCxCxCxy，其中21, CC是任意常数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页第八部分常微分方程第 13 页 共 16 页13 另解：令xxyxp)()(，则原方程化

22、为1p，所以1Cxp。由)(1Cxxxpy得221331CxCxy。35求解微分方程xxyyxyxln2232。解： 原方称为二阶欧拉方程。令tex，得dtdydtydyxdtdyyx222,。所以原微分方程化为teydtdydtydt 32223，其中t是自变量。这是一个二阶线性常系数非齐次方程，解得ttteteCeCy3221)23(21。所以原微分方程的通解为)23(ln213221xxxCxCy，其中21, CC是任意常数。36求解定解问题0)0(, 1)0(0)(22yyyxy。解： 令)()(xyxu，则原方程化为022xuu，这是个变量可分离微分方程，解得Cxu21，或0u，根据

23、0)0()0(yu，得0u。由0)()(xuxy，得1Cy。因为1)0(y，所以11C，故原定解问题的解为1y。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页第八部分常微分方程第 14 页 共 16 页14 注： 在求解变量可分离微分方程022xuu时，容易丢掉解0u，从而得不到原定解问题的解。37已知函数），在 0)(xf上可导，1)0(f，且满足等式0)(11)()(0 xdttfxxfxf，求)(xf，并证明)0(1)(xxfex。解： 根据条件，得0)()()()(1(0 xdttfxfxfx，因为），在 0)(xf

24、上可导，由上式，知），在 0)(xf上二阶导数存在，所以0)()111()(xfxxf，这是)(xf满足的一个一阶线性齐次方程，解得1)(xCexfx，由于1)0()0(ff，所以1C，故1)(xexfx。当0 x时 ， 因 为01)(xexfx， 所 以1)0()(fxf。 又0 x时 ，011)(xxeexeexfxxxx，所以0)0()(0efexfx。故)0(1)(xxfex。注：证明不等式时， 只需要知道导数的符号及函数在某点上的值，并不要求一定知道函数的表达式。38设p xq x( ), ( )为连续函数 , 证明方程)()(xqyxpy的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点

25、。证： 记)(1xyy为方程)()(xqyxpy的一条积分曲线， 则 方程)()(xqyxpy的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页第八部分常微分方程第 15 页 共 16 页15 任一条积分曲线可记为)(1xCyy。曲线)(1xyy在点)(,(010 xyx的切线方程为)()(00101xxxyxyy，曲线)(1xCyy在点)(,(010 xCyx的切线方程为)()(00101xxxyCxCyy。求解方程组)()()()(0010100101xxxyCxCyyxxxyxyy，得0,)()(01010yxyxyxx

26、。所以，任一条积分曲线)(1xCyy与积分曲线)(1xyy在横坐标为0 x的点处的切线相交于与C无关的点)0,)()(01010 xyxyx，即方程)()(xqyxpy的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点。39设)(xp在),0上连续非负，证明微分方程0)(yxpy的任意非零解满足0)(limxyx的充要条件是广义积分0)(dxxp发散。证： 设)(xy是方程0)(yxpy的任一解，则xdttpeCxy0)(0)(，其中0C是非零常数。所以0lim)(lim0)(0 xdttpxxeCxyxxdttp0)(lim，即0)(limxyx的充要条件是广义积分0)(dxxp发散。40设0a，

27、函数)(xf在),0上连续有界，证明微分方程)(xfayy的解在),0上有界。证： 因为原方程的通解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页第八部分常微分方程第 16 页 共 16 页16 )()(0 xataxdtetfCexy，满足定解条件00)(yxy的解为)()(00 xataxdtetfyexy。记)(xf在),0上的界为M，则当0 x时，有，aMyeaMydteMeydtetfyexyaxxataxxatax000000)1()()(即)(xy在),0上有界。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页