2022年小班辅导教案-初中数学-等腰三角形教师版 2.pdf

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1、板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题等腰三角形1 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形3 等腰三角形的性质：( 1) 两腰相等( 2) 两底角相等( 3) “ 三线合一 ” ，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合( 4) 是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴线段

2、的垂直平分线：性质定理： 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理： 与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合4 等腰三角形的判定：( 1) 有两条边相等的三角形是等腰三角形( 2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形5 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60 6 等边三角形的判定：( 1) 三条边都相等的三角形是等边三角形( 2) 三个角都相等的三角形是等边三角形知识点睛中考要求第十四讲等腰三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

3、 -第 1 页，共 11 页( 3) 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形7 等腰直角三角形的性质：顶角等于90 ，底角等于45 ，两直角边相等等腰直角三角形的判定：( 1) 顶角为 90 的等腰三角形( 2) 底角为 45 的等腰三角形板块一、等腰三角形的认识【例 1】 下列两个命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果一个等腰三角形有一个内角是60 ，那么这个等腰三角形一定是等边三角形则以下结论正确的是( ) A只有命题正确B只有命题正确C命题、都正确D命题、都不正确【解析】 C【例 2】 如图，在ABC中， ADBC 于D请你再添加一个条件，就可以确定ABC 是等腰三角形你添加

4、的条件是重点： 探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助难点： 等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质性质特点很容易混淆，而且他们在用法和讨论上很有考究，只能在练习中加以训练重、难点例题精讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页DCBA【解析】BDDC 或AD平分BAC 或BC 【例3】( 2006 年扬州中考 ) 如图，在ABC中，D、E分别是 AC 、AB上的点，BD与 CE 交于点 O ，给出下列四个条

5、件：EBODOC ；BEOCDO ； BECD ； OBOC ( 1) 上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形 ( 用序号写出所有情况) ；( 2) 选择第小题中的一种情形，证明ABC是等腰三角形OEDCBA【解析】 ( 1) ，四种情况可判定ABC是等腰三角形( 2) 下面以两个条件证明ABC是等腰三角形EBODOC ， BECD ，BEOCDO ，EOBDOC ， OBOC ，OBCOCB EBCDCB ，ABC是等腰三角形【例4】如图，点 O 是等边ABC 内一点，110AOB，BOC将BOC绕点 C 按顺时针方向旋转19060 得ADC，连接 OD ，则COD是等边三角形；

6、当为多少度时，AOD是等腰三角形？ODCBA【解析】 分三种情况讨论：要使AOAD ，需AODADO 190AOD，60ADO ，19060 125 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页要使 OAOD ，需OADADO 180()50OADAODADO ，6050 110 要使 ODAD ，需OADAOD 19050 140 综上所述：当的度数为 125 或 110 或140 时，ABC是等腰三角形【例5】( 2007 福建晋江中考) 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DEa，则下列说法正确的个数有(

7、) DC 平分BDE； BC 长为 (22)a； BC D 是等腰三角形； CED 的周长等于BC 的长A 1 个；B2 个；C3 个；D4 个【解析】 由图可知ABDEBD，ADDEa，DBE 45 又C ABC 45 ， DC 2a ， BC 2AC 22aa (22)a CED 的周长又 CDE C DE ，45DC E，22.5DBEBDC BCC D ， BC D 是等腰三角形故正确【例6】如图， ABAC ，BD， CD 分别平分ABC ，ACB 问：图中有几个等腰三角形？过D点作EF BC ，如图，交AB于E，交 AC 于F，图中又增加了几个等腰三角形？如图， 若将题中的ABC

8、改为不等边三角形，其他条件不变， 图中有几个等腰三角形？线段EF与BE、 CF 有什么关系？如图，BD平分ABC ，CD 平分外角ACG DE BC 交AB于E，交 AC 于F线段EF与BE、 CF 有什么关系？如图，BD、 CD 为外角CBM 、BCN 的平分线，DE BC 交AB延长线于E，交 AC延长线于F，线段EF与BE、 CF 有什么关系？CBAEDCBAECDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页(1)CDBA(5)(4)(3)(2)MDDDCCCBBBAAAABCDEEEEFFFFGNN【解析】 图

9、中有两个等腰三角形：ABC 、BCD图中又增加了三个等腰三角形：AEF、BED、CFD图中有两个等腰三角形：BED、CFD ，由于EDBE， DFCF ， EFEDFDBECF ，故 EFBECF图所示中仍有两个等腰三角形BED、CDF从而DEBE， CFDF ，又 EFEDDFBECF ，故 EFBECF如图所示与类似，EFBECF板块二、等腰三角形的性质【例7】( 2008 乌鲁木齐 ) 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和 6cm ，则它的周长为( ) A 9cm 12cm 15cm 12cm 或 15cm【解析】【例8】已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是(

10、)A 4.8cmB 9.6cmC 2.4cmD 1.2cm【解析】 B【例9】( 2008 沈阳 ) 若等腰三角形中有一个角等于50 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A 50 80 65 或 50 50 或 80【解析】【巩固】 ( 2007 重庆中考 ) 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1: 4 ，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A 20B120C 20 或 120D 36【解析】 当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为1: 4:4，此时顶角为20 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页当顶角

11、为钝角时，内角的度数之比为1:1: 4 ，此时顶角为120 故选 C 【例 10】( 2007 四川自贡中考) 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25 ，则该三角形的一个底角为( ) A 32.5B 57.5C 65 或 57.5D 32.5 或 57.5【解析】 C【例 11】( 2006 自贡 ) 从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的( ) A两腰长的和周长一半周长一腰长与底边长的和【解析】 A【例 12】( 2000 年常州市中考题) 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9 和 12 两部分，求腰长和底长【解析】 设这个三角形

12、的腰长为x，底长为y，则12292xxxy，解得85xy，或92122xxxy，解得69xy，而 8，8，5 和 6，6，9 均能组成等腰三角形注意等腰三角形中的分类讨论【巩固】等腰三角形的周长是50，一腰上的中线分得两个三角形的周长是32 和 22，求腰长【解析】 设这个三角形的腰长为x，底长为y，一腰上的中线为(3222) 5022-，根据题意可得：2502222xyxy或2503222xyxy，解得20 x或1133【例 13】( 05 年青岛中考题) 已知等腰三角形的周长为12，腰长为x，求x的取值范围【解析】122xxx ，且 1220 x，解得 36x【例 14】已知等腰三角形的周

13、长为16，三边长为整数，求底边长【解析】 设腰长为x，则 48x，则5x， 6 ， 7 ，底边分别为6，4，2【巩固】已知等腰三角形的周长为20，三边长为整数，求底边长【解析】 设腰长为x，202xxx ，且 2020 x，解得 510 x，则腰长为6、7、8、9，对应的底边长为 8、6、4、2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页【例 15】等腰三角形中一角是另一角的2 倍，求各内角的度数【解析】 ( 1) 若底角是顶角的2 倍，设顶角为，则 22180 ，36 ， 272三角形三内角依次是72 ， 72 ， 36

14、( 2)若顶角是一底角的2 倍，设底角为，则2180 ，45 ， 290 ，三角形三内角依次是45 ， 45 ， 90 【例 16】已知BD是等腰ABC 一腰上的高，且50ABD，求ABC 三个内角的度数【解析】 若ABC 为钝角三角形时，A为顶角时，三内角大小为140，20，20；若ABC 为钝角三角形时，A为底角时，三内角大小为100，40，40；若ABC 为锐角三角形时，A为顶角，三内角大小为40，70， 70【例 17】在ABC 中， ABAC ， BCBDEDEA 求AEDCBA【解析】 设Ax ，则2BEDx ，3BDCx，32DBCxxx ，在BDC 中，可得33180 xxx，

15、180()7x【巩固】在ABC 中， ABAC ， BCBD ，ADEDEB求AEDCBA【解析】 设Ax ，则1802ADEx ，12EDBx ，13180(1802 )22BDCxxx ，18019022xACBx ，在DBC 中，319022xx ，解得45x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页【例 18】( 2000 年威海市中考试题) 等腰三角形的顶角90 ，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形，求ABCD【解析】 由题意，画出图形如图所示，这里90BAC，ABD和ADC 都是等腰三角形AB

16、AC ， ADCD ，ABBD，BCDAC ，2BDABADC设Cx ，则DACBx ，2BADxABC 中，180BACBC3180 xxx，36x，3108x【例 19】ABC 的两边AB和 AC 的垂直平分线分别交BC 于D、E，若150BACDAE，求BAC EDCBA【解析】 根据题意可得：BBAD，CCAE则BACBADCAEDAEBCDAE即180150BACBACBAC ，解得110BAC【例 20】( 河南省数学竞赛) 如图，在ABC 中，BC ，D在 BC 上，50BAD，在 AC 上取一点E，使得ADEAED，求EDC 的度数ABCDE【解析】 由题设BC ，ADEAED

17、，及三角形外角定理，即EDCCAED ，有1802DAEAED18022EDCC而 180250CDAE250(18022)CEDCC180502EDC故 250EDC，即25EDC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页【例 21】( 2001 年龙岩市、 宁德市中考试题) 如图所示， 已知ABC 中，D、E为 BC 边上的点， 且ADAE，BDEC ，求证：ABAC 【解析】 作AFDE于F，ADAE，DFEF又 BDEC ， BFFC ， ABACABCDEABCDEF考察垂直平分线的性质【例 22】如图， ABC

18、 为等边三角形， 延长 BC 到D， 又延长BA到E， 使AEBD， 连接,CE DE ， 求证：CDE为等腰三角形EDCBAFEDCBA【解析】 延长BD到F，使得 DFBC ，连接EFABC 为等边三角形，60 ,BABBC 又,AEBDBEABAEBCBDFDBDFB BEF为等边三角形60 ,BFBEFE BEC FED， CEDE 【例 23】如图， 在ABC 中，B，C 为锐角，,MND 分别为边AB、 AC 、 BC 上的点， 满足 AMAN ，BDDC ，且BDMCDN 求证：ABAC ABCDMNEFNMDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

19、- - - - - - -第 9 页，共 11 页【解析】 分析若BDMCDN，则问题迎刃而解直接证明困难，可考虑反证法解 若 DMDN ，则在DM上取一点E，使 DNDE ，连接BE交 AC 于F，连接 EN 在BED与CND 中， BDDC ，BDECDN ， DEDN ，故BDECDN于是有EBDNCD ， BENC 所以 FBFC ，从而BENCFBFC，故 ENBC从而有ENFACB 但另一方面，由于DMDN ，知ABCFBCACB ，所以11(180)()22ANMBACABCACB1()2ACBACBACB 从而ENFMNAACB 矛盾故假设不成立若 DMDN ，同法可证假设不成

20、立综上所述 DMDN ，于是由BDMCDN知DBMDCN ，从而 ABAC 说明：在某些平面几何问题的证明中，反证法也是常用的方法【习题 1】( 2007 双柏中考 ) 等腰三角形的两边长分别为4 和 9，则第三边长为【解析】 当腰长为 9 时，三边长为4、9、 9；当腰长为4 时，三边长为4、4、 9 ，不符合三角形的三边关系，故腰长为9【习题 2】( 1997 年北京市竞赛题) 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和 21cm两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( ) A17cmB 5cmC 17cm 或 5cmD无法确定【解析】 设腰长为a，底边长为b ，此题可分为两类

21、，112212122aabaab或121211222aabaab，第一类无解；第二类解为145ab，故选B【习题 3】已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，求x的取值范围【解析】202xxx，且 2020 x， 解得 510 x【习题 4】( 2001 年江苏中考题) 如下图所示，ABC 中，BC ，D在 BC 上，50BAD，AEAD，求EDC 的度数家庭作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页50EDCBA【解析】 设B，ADE则C，AED，由外角定理得，50ADC，即50EDC，则50EDC 又EDC，50EDCEDC ， 250EDC，25EDC【备选 1】ABC 的一个内角的大小是040，且AB，那么C 的外角的大小是( ) A 140B 80 或 100C100 或 140D80 或 140【解析】 D【备选 2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12 和 15 两部分，求腰长和底长【解析】 设这个三角形的腰长为x，底长为y，则152122xxxy，解得107xy，或122152xxxy，解得89xy，而 10，10， 7和 8， 8，9 均能组成等腰三角形月测备选精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页