2022年复变函数期末试卷及答案sfaewdgv .pdf

《2022年复变函数期末试卷及答案sfaewdgv .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年复变函数期末试卷及答案sfaewdgv .pdf（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、题 号一二三四五六七八总 分得 分评 阅 人1下列复数中， 位于 第三象限的复数 是（）A. 12i B. 12i C. 12i D. 12i 2下列等式中， 不成立的等式是 （）4.34arctan3Ai 的主辐角为. arg( 3 )arg()Bii2.rg( 34 )2arg( 34 )C aii2.|D z zz3下列命题中，正确 的是（）A. 1z表示圆的 内部 B. Re( )0z表示上 半平面C. 0arg4z表示角 形区域D. Im( )0z表示上半平面4关于0limzzzz下列命题正确 的是（）A.0B. 不存在 C.1D. 15下列函数中， 在整 个复平面上解析 的函数是（

2、）.zA ze2sin.1zBz. tanzCze. sinzDze6在复平面上， 下列 命题中，正确的 是（）A. cosz是有 界函 数 B. 22LnzLnz.cossinizC eziz2.|Dzz7在下列复数中 ，使 得3zei成立的是（）.ln 223iA zi.ln 423iB zi.ln 226C zi.ln 426Dzi8已知31zi，则下列正确 的是（）312.2iA ze364.2iB ze7312.2iC ze63.2iD ze精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页9积分| | 342zdzz的

3、值为（）A. 8 iB.2 C. 2 iD. 4 i10 设C为正向圆周|4z, 则10()zCedzzi等于（）A. 110! B. 210!iC. 29!iD. 29!i11 以下 关于级数的命题 不正确的是（）A.级数0327nni是绝 对收敛的B. 级数212(1 )nnin n是收 敛的C. 在收敛圆内， 幂级数绝对收敛 D.在收敛圆 周上，条件收敛12 0z是函数(1 cos )zezz的（）A. 可去奇点 B. 一级极点 C.二级 极点D. 三级极点13 1(2)z z在点z处的留数 为（）A. 0 . 1B C. 12D. 1214 设C为正向圆周1| z, 则积分sinzce

4、 dzz等于（）A2B2i C0D215 已知( ) ()Ff tF，则 下列命题正确的 是（）A. 2(2)( )jf teFFB. 21( )(2)jef tFFC. (2 )2(2)ftFFD. 2( )(2)jtef tFF二 、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16. 设121,13zi zi，求12zz_. 17. 已知22( )()()f zbxyxi axyy在复平 面上可导，则ab_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页18. 设函数)( zf=0coszttdt，则)( zf等于_.

5、 19. 幂极数nn2n 1(2)zn的收 敛半径为_. 20. 设3z，则映射在01zi处的旋 转角为_，伸缩率为_. 20. 设函数2( )sinfttt， 则( )ft的 拉氏变换等于_. 三、 计算题 （本大题共4小题，每题7分， 共28分）21 设C为从原点到34i的直线段 ，计算积分()2CIxyxyi dz22. 设2( )coszef zzzi. (1) 求)(zf的解析区域 ， （2）求).(zf24 已知22( , )4u x yxyx， 求一解析函数( )( , )( ,)f zu x yiv x y， 并使(0)3f。23. 将函数1( )(1)(2)f zzz在点0z

6、处展开 为洛朗级数. 25. 计算2| | 3(1) ()(4)zdzzziz. 四 、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25. 计算201.54 cosd26. 求分式线性 映射( )f z，使 上半平面映射为单 位圆内部并满足条 件(2 )0fi，arg(0)1f. 27. 求函数2,10( ),010,tf ttt其它的傅氏变换。28 用拉氏变换求解方程( )( ),(0)1.ty ty tey其中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页复 变函数与积分变换期末试卷答案一 、选择题1B. 2. C. 3. A

7、4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 9.B 10.D 11.B 12.D 13.C 14.A 15.B 二 、填空题16 cossin66zi, 17. 1, 18. 3(1)zzzee, 19. 1, 20. 13(31)4i三 、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）21 设C为从原点到23i的直线段 ，计算积分(2 )CIxyixy dz解 ：设曲线C的参数 方程为:(23 )01.Czi tt120(2 )(266)(23 )CIxyixy dzttt ii dt1223100( 46)(23 )(23 )( 22)|tt ii dtitt i102 . i22.

8、设2( )cos4zef zzz. (1) 求)(zf的 解析区域， （2）求).(zf解 ：(1) 由方程240z得2z， 故)(zf的解析区域为2,2C. (2)222(42 )( )sin .(4)zezzfzzz23. 将函数1( )(1)(2)f zzz在点0z处展开 为泰勒级数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页解 ：11111( )(1)(2)(2)(1)(1)2(1)2f zzzzzzz100001222nnnnnnnnnzzzz| 1.z24. 将函数112( )(1)zef zz在圆环0|1|

9、z内展开 成洛朗级数. 解 ：ze的泰勒 展式为0!nznzen，故11ze的罗朗 展式为11011!nznzen，所 以11222001111( ).(1)(1)!(1)nznnnezf zzznn z四 、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25 已知22( , )2u z yxyx， 求一解 析函数( )( , )( , )fzu x yiv x y， 并使(0)2fi。解 ：由柯西黎曼方程得2 ,vuyxy所以0( , )2( )2( ).xv x yyd x C yx y C y2( )22,vuxCyxyx所以0( )( )2.yC yC ydx Cy C所 以( , )22.v

10、 x yx yy C从 而2( )2(22).f zxyxxyy Ci又(0)2.fCii所以2.C所以2( )2(222).f zxyxxyyi26. 计算2| | 2(1) (1)(3)zdzzzz. 解 ：由柯西积分定理得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页原 式2112|1|1|2211(1)(3)(1) (3)(1)(1)zzzzzzdzdzzz21111(1)(3)(1) (3)zzzzzz2212211.(1) (3)1616zzzz27. 求函数1,10( )1,010,tf tt其它的傅 氏变换。解

11、 ：0110( )( )i ti titFf t edtedtedt011011ititiieeeeiiii24cos.i28 求函数( )cos3f tt的拉氏变换解 ：33000( )( )cos32ititstststeeF sf t edtetdtedt(3)( 3)001122is tis tedtedt2111.2339ssisis精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页湖南科技学院二八年下学期期末考试数学与应用数学专业20XX 年级 复变函数论试题考试类型：闭卷试卷类型： B 卷考试时量： 120 分钟一、

12、判断题（每小题2分，共 20分）1、 若函数 f (z)在 z0可导，则 f (z)在 z0解析。（）2、 如果 z0是 f (z)和 g (z)的一个奇点， 则 z0是 f (z)+ g (z)的一个奇点。（）3、 有界整函数必在整个复平面为常数。（）4、 如果( ,)u x y和( ,)v x y可导，则),(),()(yxivyxuzf也可导。（）5、 若( )f z在 z0处满足柯西 -黎曼条件， 则( )f z在 z0解析。（）6、 cos z 与 sin z 在复平面内有界。（）7、 每一个幂级数在它的收敛圆内和收敛圆上都收敛。（）8、 若 z0是)(zf的 m 阶零点， 则 z0

13、是)(1zf的 m 阶极点。（）9 、若z是函数)(zf的可去奇点，则0)(Rezfsz。( ) 10、存在一个在零点解析的函数)(zf使1()02fn且11(),1,2,.2121fnnn。（）二 、填空题（每小题3 分，共 24 分）1、设)sin(cosirz，则1_z。2 、 函 数zw1将z平 面 上 的 曲 线1)1(22yx变 成w平 面 上 的 曲线。3、若nnzlim，则nzzznn.lim21_。题 号总分统分人得 分阅卷人复查人精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页4 、设222( )(2)(1s

14、in(),f zxxyixyzxiyC，则0lim( )zf z_5、级数nnnz0)1(2的收敛半径为。6、设zzzf1sin)(2，则)(zf在0z处的留数为_。7、设a为函数)(zf的 n 阶零点，则_)()(Rezfzfsaz。8、若C是单位圆周，n 是自然数，则cos_Czzdz。三、计算下列积分（每小题6 分，共 24 分）1、dzzzzzz22)1(122、dzzzezz12cos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页3、dzzzz255)1)(3(14、20cos35d四、解答题（每小题8 分，共 24

15、分）1、设xyyxu22，验证 u 是调和函数，并求解析函数ivuzf)(，使之iif1)(。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页2、求)1)(2(1)(2zzzf在21z的洛朗级数。3 、 求 一 线 性 变 换 ， 它 把 单 位 圆1z保 形 变 换 成 圆11， 并 且 分 别 将1231,zzi zi变为1230,2,1i。五、证明题（共 8 分）设)(zg在逐段光滑闭曲线C 的内部除有一个一阶极点外解析，并在C 上解析，且1)(zg，试证：)1()(aazg在 C 内部只有一个根。湖南科技学院二九年上学期

16、期末考试精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页信息与计算科学专业20XX 年级 复变函数论试题考试类型：闭卷试卷类型： A 卷考试时量：120 分钟一、填空题（每空3 分，共 30 分）1 设实数,x y满足(36 )(59 )67i xi yi，则x13，y1。2 函数1z将z平面上的曲线3yx变成平面上的曲线方程为3vu。3 设z平面上的解析函数2222( )(),f zxaxybyi cxdxyy其中,x y a b c d为实数，则2,1,1,2abcd。4 若nnninnz)11(12，则nzzlim_。5

17、 设3223( )33f zxx yixyy i，则( )fz6 级数02( 1) nnnnz的收敛半径为13R。7 设:1Cz，则积分2056Cdzzz。8 设a为周线C内部的一点，则Cdzza9 设a为函数)(zf的 n 阶极点，则( )Re_( )z afzsfz。10 设2( )(1)(1)zf zzz，则1Re( )zsf z二、判断题（每小题2 分，共 20分）1、若函数f (z)在 z0解析，则f (z)在 z0的某个邻域内可导。（）2、如果 z0是 f (z)和 g (z)的一个奇点，则z0是 f (z)+ g (z)的一个奇点。（X）题 号一二三四五总分统分人得 分阅卷人复查

18、人精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页3、函数vxy是函数uxy的共轭调和函数。（X）、存在一个在零点解析的函数( )f z使1()021fn且1()1,1,2,.2fnn。 （X）、设函数( ),( )f zg z分别以za为m阶极点和n阶极点， 则za为( )( )f zg z的mn阶极点。(X ）6、函数1( )sec1f zz在1z的去心邻域内能展开为洛朗级数。（ X）7、设( )cosf zz，则在任何圆周zr上都有点z，使cos1z。（ ）8、每一个幂级数都收敛于一个解析函数。（X）9、若幂级数0(2)

19、nnnaz在0z收敛，则在3z绝对收敛。（ ）10、每一个在0z连续的函数一定可以在0z的邻域内展开成泰勒级数。（X）三、计算题（共 42 分）1、求1(21)(2)zzdzzz（分）2、求552(3)(1)zdzzz（分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页3、求21(1)zzz在1z内的洛朗级数（6 分）4、2032cossind（分）5、 已知3223( , )632u x yxx yxyy， 求解析函数( )f zuiv， 使合条件(0)0f。（8 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页6、求将上半z平面Im0z保形变换成单位圆1的线性变换( )L z，使合条件( )0,( )0L iL i（分）四、证明题（8 分）若( )fz在周线C内部除有一个一阶极点外解析，且连续到C，在C上( )1f z。证明：( )(1)f za a在C内部恰好有一个根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页