2022年待定系数法分解因式 .pdf

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1、第 1 页 共 8 页待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用

2、待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。例 1 分解因式思路 1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出 m, n, 的值。解法 1 因为所以可设比较系数，得由、解得把代入式也成立。思路 2 前面同思路1，然后给x,y 取特殊值，求出m,n 的值。解法 2 因为所以可设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页第 2 页 共 8 页因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y 都成立，那么无妨令得令得解、得或把它们分别代入恒等式检验，得说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代

3、入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。例 2 分解因式思路本题是关于x 的四次多项式， 可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。解设由恒等式性质有：由、解得代入中，式成立。说明若设原式由待定系数法解题知关于a 与 b 的方程组无解，故设原式例 3在关于x 的二次三项式中，当时，其值为0； 当时，其值为0； 当时，其值为10，求这个二次三项式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页第 3 页 共 8 页思路 1 先设出关于x 的二

4、次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。解法 1 设关于x 的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路 2 根据已知时， 其值 0 这一条件可设二次三项式为然后再求出a 的值。解法 2 由已知条件知当时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为把代入上式，得解得故所求的二次三项式为即说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。例 4已知多项式的系数都是整数。若是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。证明：设（ m,

5、n,r都是整数）。比较系数，得因为是奇数，则与 d 都为奇数，那么mr 也是奇数，由奇数的性质得出m,r 也都是奇数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页第 4 页 共 8 页在式中令，得由是奇数，得是奇数。而m为奇数，故是偶数，所以是偶数。这样的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。例 5已知能被整除，求证：思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。证明：设展开，比较系数，得由、，得，代入、得：，例

6、6若 a 是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。思路：因为质数只能分解为1 和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a 的值。进而解决问题。解：由待定系数法可解得由于 a 是自然数，且是一个质数，解得当时，不是质数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页第 5 页 共 8 页当时，是质数。=11 . 培优训练A级 1、分解因式_. 2、若多项式能被整除，则n=_. 3、二次三项式当时其值为-3 ， 当时其值为2， 当时其值为5 ，这个二次三项式是_. 4、 m, n 是什么数时，多项

7、式能被整除？B级 5、多项式能分解为两个一次因式的积，则k=_. 6、若多项式能被整除，则_. 7、若多项式当2 时的值均为0，则当x=_ 时，多项式的值也是0。 8、求证：不能分解为两个一次因式的积。参考答案或提示：1.提示：设原式比较两边系数，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页第 6 页 共 8 页由、解得将代入式成立。原式2、 -4 。提示：设原式=比较系数，得由、解得代入得3、提示：设二次三项式为把已知条件代入，得解得所求二次三项式为4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

8、- - - - - -第 6 页，共 8 页第 7 页 共 8 页设比较系数，得解得当 m=-11， n=4 已知多项式能被整除。5.-2 提示：设原式. 比较系数，得解得6.-7 提示：设原式比较系数，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页第 8 页 共 8 页解得7.3. 提示：设原式比较系数，得解得 c=3. 当 x=3 时，多项式的值也是0. 8. 设原式且展开后比较系数，得1514312mnnmnm由、得代入， 再由、 得将上述入得.而这与矛盾，即方程组无解。故命题得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页