2022年必修5第二章第1节正弦定理与余弦定理 .pdf

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1、年级高二学科数学版本北师大版理内容标题必修 5 第二章第 1节 正弦定理与余弦定理编稿老师胡居化【本讲教育信息 】一. 教学内容：必修 5 正弦定理、余弦定理二、教学目标1熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。2在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。三、知识要点分析1、正弦定理的有关知识设ABC的,ABC所对的边是a，b，c，外接圆半径是R正弦定理：2sinsinsinabcRABC，由正弦定理得i2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABCii:sin:s

2、in: sina b cABC。正弦定理应用： 1已知一边和两角求其余的边和角。2已知两边和其中一边对角求其余边角。其解的情况不唯一。A 为锐角A 为直角或钝角关系式a=bsinA bsinAab 解的个数一解两解一解一解2、三角形的面积公式11,(2aaSa hha是 边上高）ha是 a 边上的高2111Ssinsinsin222abCbcAacB=。31(),(2Sabcrr是内切圆半径）3、余弦定理的有关知识。设A, B, CABC的三个角所对的边是 a,b,c余弦定理：22222222cos)2(1cos)cos2bcabcbcAbcbcAAbca（22222222cos()2(1co

3、s)cos2acbbacacBacacBBac精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页22222222cos()2(1cos)cos2abccababCababCCab余弦定理应用： 1已知三边求角， 2已知两边及其夹角求其余的边和角。【典型例题】考点一：利用正弦定理、余弦定理求三角形的边和角例 1、在03,2,45cABCabB中，已知，求 A,C和B=45，求 A，C和。【思路分析】 此题是已知三角形的两边及一边的对角解三角形问题，可用正弦定理求解，但要先判定 ABC是否有解？有几解？也可用余弦定理求解。解法一：B=4

4、5且 ba， ABC有两解解法二：由余弦定理得：222222cos23232bacacBcc2610cc故626222cc或A=60A=120 【说明】 本例的特点是已知两边和其中的一边对角解三角形的问题，三角形不固定需要讨论解的个数，充分表达了分类讨论的数学思想。考点二：利用正弦定理、余弦定理求角或边等变量的取值范围问题例 2、在 ABC中，角 A， B，C 所对的边分别是a， b，c 1假设 cosA=13，3a，求 bc 的最大值。2假设三边a，b，c 成等比数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页求证 B60

5、. 【思路分析】1由 cosA=13，3a及余弦定理得到b，c 的关系。 利用不等式可证。2由 a， b，c 成等比数列及余弦定理可得cosB12即得证。解： 122222212cos233bcaAbcabcbc，222()02bcbcbc23944bca，故当 b=c 时， bc 的最大值是94。2由 a， b，c 成等比数列得：2bac，而222,()02acacac， a=c时等号成立又60B,B0故。例 3、已知三角形ABC 的外接圆的直径是1， A,B,C 依次成等差数列，且角A， B，C 所对的边分别是a，b，c，求22ac的取值范围。【思路分析】由三内角成等差数列得B=60 ，故

6、可设 A=6060C,，然后把22ac表示成关于的三角函数，转化为求三角函数的值域问题。解 ： 由 角A ， B ， C成 等 差 数 列 得 ： 2 B= A+ C ， 即 B=60 ， 故 设60C,60A由正弦定理得：a=2RsinA=sinA ，c=2RsinC=sinC 22221cos21cos2sinsin22ACacAC11(cos 2cos2)2AC12cos21120212060602cos211)2120cos()2120cos(211223342ac考点三：三角形面积公式的应用例 4、在 ABC中，角A， B，C 所对的边分别是a， b，c，三角形的面积是S，求证：()

7、()()Sp papbpc， 海伦公式【思路分析】利用余弦定理求出cosA，再求 sinA，利用三角形的面积公式S=Asinbc21，然后化简即可。解：222cos,2bcaAbc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页22222222222sin1cos1()(1)(1)222bcabcabcaAAbcbcbc22222222222() 2()()()2222bcbcabcbcaabcbcabcbcbcbc1()()()()2abc acb bca abcbc，把1()2pabc代入此式得：12sin(22 )(22 )

8、(22 )2()()()2Apcpbpapp papbpcbcbc故 S=12bcsinA=()()()p papbpc例 5、已知三角形的三内角A，B，C 依次成等差数列，又知最大角和最小角的正切值是方程232xx3(1)x的两个根，三角形的面积是33，求这个三角形的三个角和三条边。【思路分析】根据三内角成等差数列可知：B=60，由此可知A， C 是最小角，最大角。由 tanA，tanC 是方程的两根可求A， C. 然后根据三角形的面积和正弦定理或余弦定理可求得三边。解： 由已知： B=60， tanA ，tanC 是方程232xx3(1)x的两根，且 A BC，故 tanA=1 ，tanC

9、=2375C,45A. 由1sin33:4(31)2abCac得到- 1由正弦定理(31)sinsinacacAC由正弦定理得：得到：- 21 2两式联立解得：2(31),2ac再由正弦定理或余弦定理可求得：3 26b考点四：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状。例 6、在三角形ABC 中，假设22tantanbAaB成立，判断三角形ABC 的形状。【思路分析】 方法一 由已知可以利用正弦定理或余弦定理把角转换成边。再根据边的关系判断。方法二利用正弦定理或余弦定理把边转换成角，再根据角的关系判断。解： 方法一：由已知得：2222tansincostancossinbBBAbABAaa- *由

10、正弦定理或余弦定理*可化为：222222222222222222bcabbbcabbcacbaacbaaac故2222422224a ba caa bb cb22222()()0abcab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页即：222ababc或，因此三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形。方法二由正弦定理把已知条件化为：2222sincossinsincossinsinsincos0sincossinABAAABBABBABsinsin(sincossincos)0sinsin(sin 2sin 2 )0ABAABB

11、ABABsin 2sin 22222B90ABABAABAB或或2A=2B 或 2A=90BABAB2或故三角形 ABC 是等腰三角形或直角三角形。例 7、在 ABC中，sinsinsincoscosBCABC，判断三角形的形状。【思路分析】 利用正、余弦定理把角转换成边或利用正弦倍角、和差化积公式， 得到角的关系，根据角的关系再来判断。解：由正、余弦定理得：222222222222()()()2()22acbabcabcb acbc abcbc bcacab233222()()()abcbcbc bcabc，即三角形ABC 是直角三角形。另解：由已知得：2sincoscosA2222sinc

12、os2sincos22222coscossin222BCBCAAAABCBCA201sin9022AAA=90，即三角形ABC 是直角三角形。【本讲涉及的数学思想、方法】：本讲主要讲述正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用。在解题过程中充分表达了等价转换的数学思想如边角的转换和分类讨论的数学思想三角形的解的个数讨论 ，函数与方程的数学思想正弦定理余弦定理视为方程处理问题等在解题中的应用。预习导学案(三角形中的几何计算及实际应用举例) 一、预习前知：1. 在直角三角形中，两锐角的关系是什么？三边之间有何关系？边和角之间有何关系？2. 在等边三角形中：三角的关系是什么？三边有何关系？3. 在任意的三

13、角形中：1三边有何关系？2假设边大，则边所对的角大，反之成立吗？3反映三角形的边角等量关系的两个重要的定理是和。二、预习导学精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页探究反思探究反思的任务：三角形中的几何计算及实际应用。1. 已知三角形的两边和其夹角用余弦定理，求第三边，写出余弦定理的三个表达式【反思】1已知三角形的三边能求出三个角吗？2给出三角形的三边能判断出三角形是钝角三角形，是锐角三角形，是直角三角形吗？2. 已知三角形的两边和其中一边的对角或已知三角形的两个角和任意一边用正弦定理【反思】在使用正弦定理解三角形时，在哪

14、一种情况下解是不唯一的？3. 在利用正弦定理或余弦定理等相关知识解决实际问题时一：要掌握几种角1俯角，2仰角，3方位角二：根据已知条件画出图形已有图形无需画三：在图形中要找出相应的边和角，便于正确的使用正弦定理或余弦定理，建立三角函数模型解决问题。4. 三角形的面积公式有哪些？写出5 个5. 三角形有六个元素：三条边，三个角，在已知条件中，要求出三角形的三条边和三个角，这一过程称为解三角形【反思】请总结一下你可以用哪些定理和公式来求出三角形的三条边和三个角。【模拟试题】答题时间： 60 分钟一、选择题1、在 ABC中， a=8， B=60， C=75，则 b=A. 24B. 34C. 64D.

15、 4322、在 ABC中，04 3,2 3,120bcAa, 则 A=120, 则 a=,221,6,2216D,2 156 3ABC或 ，*3 、在 ABC中，假设2sinsincos,2ABC则三角形 ABC 是A、直角三角形B、等边三角形C、直角或等腰三角形D、等腰三角形*4 、设三角形ABC 三边 a，b，c 的关系是22202230aabcabc，则最大角是A、60B、120C、 90D、45*5 、 在 三 角 形AOB中 ， O是 坐 标 原 点 ， 2cos ， 2sin ，(5cos,5sin),5,OBOA OB则 SAOB=5 33 3,3,53,22ABCD*6 、在三

16、角形ABC 中， BC=3 ，,3A则三角形ABC 的周长是,43sin()3,43sin()3,6sin()3,6sin()33636ABBBCBDB*7 、 在三角形 ABC 中，03,1,30 ,ABACB且则三角形 ABC 的面积是B=30， 则三角形ABC 的面积是 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页33333A,3D,24242BC,或或*8 、在三角形ABC 中，假设act ,120c, abc且，则A、3tB、2tC、3tD、3t2*9 、在三角形ABC 中，假设AB=1 ，BC=2，则 C 的范围是

17、A、6C0B、2C0C、2C6D、2C3*10 、 在三角形ABC 中， a，b，c 是角 A，B，C 的对边，且cos2B+cosB+cosA-C =1，则有A、a，b，c 成等比数列， B 、a，b，c 成等差数列C、a，c，b 成等比数列， D 、a，c，b 成等差数列二、填空题*11、在三角形ABC 中，222222222sin 2sin 2sin 2CbccaabABabc=_。*12 、 在三角形ABC 中， A=60 ， b=1， SABC0A=60 ,1,3,sinsinsinABCabcbSABC则=_. 13、在三角形ABC 中，4442222(),abccab已知则角 C

18、=- 14、 已知方程2( cos)cos0 xbA xaB的两根之积等于两根之和，且a,b 是两边且 a,b 是三角形ABC 的两边，A,B分别是三角形 ABC 两边所对的角，则ABC 的形状是15、在三角形ABC 中，边 a 比边 b 长 2，边 b 比边 c 长 2，且最大角的正弦值为32，则三角形 ABC 的面积是 _三、计算题：*16 、在三角形ABC 中，假设222222sinsinsin1cos21cos2sinsinsinABCCBABC，判断三角形的形状。17、已知三角形ABC 的周长是21，sinsin2 sinABC且1求边 AB 的长， 2假设三角形ABC 的面积是1s

19、in6C，求角 C 的度数。*18， 已知圆的半径是R ，在其内接三角形ABC中，有222(sinsin)(2)sinRACabB，求三角形ABC 的面积 S 的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页【试题答案】一、选择题： 1、C 2、 A 3、D 4、D 5、B. 6、 D 7、D 8、 C 9、A 10、A. 二、填空题： 11、0 12、239313、45或 13514、等腰三角形15、15 34三、计算题16、解：由正弦定理和二倍角公式得：22222222222cos2coscos2cos2coscos

20、abcCabCCacBabcBBcoscoscosbcos()00coscoscoscosCbCCCBcBBcB化简得：或00sin Bcoscos0,sin 2sin 2sincos90,90CCBCCBCBCBC即或故，或或故 C=90，或 B= C，或 B+C=90此三角形是直角三角形或等腰三角形17、解 1由已知： AB+BC+CA=21- -又 sinA+sinB=2 sinC，由正弦定理可得；BC+AC=2AB- 得： AB=1 2由三角形的面积公式得：13BCAC2222221(2)21()213cos122223ACBCABACBCACBCABCAC BCACBC C=60 18、由已知得：222222(2) (sinsin)2sin( 2)2RABRBabacabb2222cos,224abcCCab又C=42122sin4sinsin244SabCabRAB22222cos()cos()cos()222RABABRAB故当 A= B 时， ABC221AR2故当=B时，面积的最大值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页