2022年2022年勾股定理知识点+对应类型 .pdf

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1、第二章勾股定理、平方根专题第一节 勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股数 ：满足a2b2c2的三个 正整数 叫做勾股数（ 注意： 若 a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc 同样也是勾股数组。 ） * 附：常见勾股数：3,4,5 ； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3.

2、 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c 满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c） ；勾股定理和平方根勾股定理平方根立方根实数近似数、有效数字判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质开平方运算开立方运算定义、性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共

3、 17 页 - - - - - - - - - （2）若 c2a2b2，则 ABC 是以 C 为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 注意 ： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30。5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用

4、勾股定理，作出长为n的线段二、平方根： （11 19 的平方）1、平方根定义 ：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a 的平方根。（也称为二次方根） ，也就是说如果x2=a，那么 x 就叫做 a 的平方根。2、平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数a 的正的平方根， 记作“a” ， 又叫做算术平方根， 它负的平方根， 记作“a” ，这两个平方根合起来记作“a” 。 （ a 叫被开方数， “”是二次根号， 这里“” ，亦可写成“2” ）0 只有一个平方根，就是0 本身。算术平方根是0。负数没有平方根。3、开平方： 求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆

5、运算。4、 （1） 平方根是它本身的数是零。（ 2）算术平方根是它本身的数是0 和 1。（3）.0,0,0222aaaaaaaaa（4）一个数的两个平方根之和为0 三、立方根： （1 9 的立方）1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根。（也称为二次方根），也就是说如果x3=a，那么 x 就叫做 a 的立方根。记作“3a” 。2、立方根的性质：任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0. 互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a=3aaaa3333)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

6、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3、开立方： 求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。4、立方根是它本身的数是1，0，-1。5、平方根和立方根的区别：（1）被开方数的取值范围不同：在a中，a0，在a3中， a可以为任意数值。（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。6、立方根和平方根：不同点：（1）任何数都有立方根，正数和0 有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：a中的

7、被开方数a 是非负数；3a中的被开方数可以是任何数.（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；（3）立方根等于本身的数有0、1、1，平方根等于本身的数只有0共同点： 0 的立方根和平方根都是0四、实数：1、定义 ：有理数和无理数统称为实数无理数 ：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，）。有理数 ：有限小数或无限循环小数注意： 分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类：实数有理数正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数实数的性质：实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。实数同有理数

8、一样， 可用数轴上的点表示， 且实数和数轴上的点一一对应。两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。实数有理数无理数 （无限不循环小数）整数分数有限小数或无限循环小数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3、近似数： 由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。取近似值的方法四舍五入法4、有效数字：

9、对一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：把一个数记为做科学记数法。是整数）的形式，就叫其中n,10a1(10an6、实数和数轴：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来， 数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。勾股定理：（一）结合三角形：1.已知ABC 的三边a、b、c满足0)()(22cbba，则ABC 为三角形2. 在ABC 中，若2a=（b+c） （b-c） ，则ABC 是三角形，且903. 在ABC 中， AB=13 ，AC=15 ，高 AD=12 ，则 BC 的长为1.已知2512yxx与25

10、102zz互为相反数， 试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。2. 已知：在ABC 中，三条边长分别为a、b、c，a=12n，b=2n，c=12n（n1）试说明：C=90。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3.若ABC 的三边a、b、c满足条件2acbacb26241033822， 试判断ABC的形状。4.已知,0)10(8262cba则以a、b、c为边的三角形是（二） 、实际应用：1. 梯子滑动问题：（1）一

11、架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米（2）如图，一个长为10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，如果梯子的顶端下滑1 米，那么，梯子底端的滑动距离1 米， （填“大于”， “等于” ，或“小于”）（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC，AC=BC ，当梯子的顶端A 沿 AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿 CB 方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（）A. yxB. yxC. yxD. 不能确定（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1

12、 m，当他把绳子的下端拉开5 米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米86ACB2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（）A. 2babB. 2222hbaC. hba111D. 222111hba变：如图，在 RtABC 中， ACB=90 ，CDAB 于 D，设 AB=c ，AC=b ，BC=a，CD=h 。求证：（1）222111hba（2）hcba（3）以hchba，为三边的三角形是直角三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

13、精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - DABC试一试：（1）只需证明1)11(222bah，从左边推到到右边（2）22hcba（3）222hchha，注意面积关系chab的应用3. 爬行距离最短问题：1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到1C处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱1BB的中点 E，再连结 AE、1EC，昆虫乙如果沿途径1CEA爬行， 那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b 中画一条路径，使昆

14、虫乙从顶点A 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（2）如图b，假设昆虫甲从点1C以 1 厘米 /秒的速度在盒子的内部沿CC1向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以 2 厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于（ 2） ，当昆虫甲从顶点1C沿棱CC1向顶点 C 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间图b图aADCBA1B1C1D1D1C1B1A1BCDA2.如图，一块砖宽AN= 5 ，长 ND=10，CD上的点 F 距地面的高FD=8，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的

15、最短路线是 cm 3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A 和 B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？4.如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A 爬到点 B， 则它走过的路程最短为 （）A. a3B. a21C. a3D.a5BAQNMP4.折叠问题：1.如图，有一张

16、直角三角形纸片，两直角边AC=6 ，BC=8 ，将 ABC 折叠，使点B 与点 A重合，折痕为DE，则 CD 等于（）A. 425B. 322C. 47D. 35ABCED1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45 度的坡路走了500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是米。2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是_米，水平距离是米。3. 如图，一根12 米高的电线杆两侧各用15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，在江对岸取一点A，使 AC 垂直江岸，测得 BC 50 米， B60，则江

17、面的宽度为。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - （三）求边长：1. （1）在 RtABC中，a、b、c分别是A、B、C 的对边，C=90已知：a=6，c=10，求b；已知：a=40，b=9，求c；2. 如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90，DBC=90，AD=3 ，AB=4 ，BC=12，求CD。（五）方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由A 点出发沿正东方向AN 航行，在 A 点望湖中小岛M，测得MAN 3

18、0，当他到 B 点时， 测得 MBN 45，AB 100 米，你能算出 AM 的长吗？M A B N 2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15 千米 此时轮船离开出发点多少km? 若轮船每航行1km，需耗油 0.4 升，那么在此过程中轮船共耗油多少升? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - （六）利用三角形面积相等：1.如图，小正方形边长为1， 连接小正方形的三个得到，可得

19、 ABC ， 则边 AC 上的高为（）A. 223B. 5103C. 553D. 554ABC（七）旋转问题：1.如图，点 P 是正 ABC 内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将 PAC 绕点 A 旋转后，得到ABP，则点 P与点 P 之间的距离为， APB= PABCP2.如图，ABC 为等腰直角三角形，BAC=90， 将ABH 绕点 A 逆时针旋转到ACH处，若 AH= 3 ，试求出H、H两点之间的距离。3. 如图所示， P为正方形 ABCD 内一点， 将ABP 绕 B 顺时针旋转90到CBE 的位置，若BP=a，求：以PE 为边长的正方形的面积名师资料总结 - - -精品资料欢

20、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 已知直角三角形ABC中，ACB=90，CA=CB ，圆心角为45，半径长为CA 的扇形 CEF绕点 C 旋转，且直线CE、CF 分别与直线AB 交于点 M、N，当扇形CEF 绕点 C 在ACB的内部旋转时，如图，试说明MN222BNAM的理由。EBACMNF如 图所示，已知在ABC中 ， AB=AC ，BAC=90，D 是BC 上 任一点，求证：BD2222ADCD。已知 AOB=90 ，在 AOB 的平分线OM

21、 上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA 、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。当三角板绕点C 旋转到 CD 与 OA 垂直时，如图，易证：OCOEOD2；当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时， 如图、 这两种情况下，上述结论还是否成立？若成立，请给与证明； 若不成立， 线段 OE、OC、OD 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，不需证明。试一试：对于第1 问， OD=CE，问题的实质是222OCOE，OCOE22，对于第二问，通过作辅助线，将问题转化为第1 问可解决。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

22、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - （八）折叠问题：1. 如图，矩形纸片ABCD 的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠，使点D与点 B重合，那么折叠后 DE的长是多少？2.如图，在长方形ABCD 中，将ABC 沿 AC 对折至AEC 位置， CE 与 AD 交于点 F。（1）试说明： AF=FC ； （2）如果 AB=3 ，BC=4 ，求 AF 的长3.如图，在长方形ABCD 中，DC=5 ，在 DC 边上存在一点E，沿直线 AE 把 ABC 折叠，使点 D 恰好在 BC 边上，设

23、此点为F，若 ABF 的面积为30，求折叠的 AED 的面积DCBAFE4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC= 6 ， BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与 AE重合，你能求出CD的长吗？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 5. 如图， B=90， AB=BC=4 ，AD=2 ，CD=6 （1） ACD 是什么三角形？为什么？（2）把 ACD 沿直线 AC 向下翻折， CD

24、 交 AB 于点 E，若重叠部分面积为4，求 DE 的长。EDCBAC一、平方根：（一）文字类题目：一个数的平方等于它本身，这个数是；一个数的平方根等于它本身，这个数是；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是一个数的立方根等于它本身，这个数是；一个正数的两个平方根的和是_一个正数的两个平方根的商是_（二） . 定义：1.（1） 81 的平方根是9的数学表达式是（）A. 981B. 981C. 981D. 98181的平方根是（）A. 9 B.9C.9D.3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

25、- - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 9表示，9= 。16 的数是，将 16 开平方得，因此平方与互为逆运算。4 的平方根是；149的平方根是。的平方根是0.81。（2）数有平方根吗？若有，求出它们的平方根；若没有，请说明理由。（1） -64；（2） （-4）2；（3）-52（4）81（3）若 3a+1 没有算术平方根，则a 的取值范围是若 3x-6 总有平方根，则x 的取值范围是。若式子 x31的平方根只有一个，则x 的值是。（4）已知411yxx，那么x-y= 已知 a为实数，那么2a等于（）A. a B. a C. -1 D. 0 （5）若04)

26、 3(2yx，则x+y= 已知04922ba，那么a+b= 已知x、y满足：0)532(322yxyx，那么x-8y的立方根为（6）代数式ba3的最大值是，这时a、b之间的关系是（7）若10m，则m= ；若43m，则m的平方根是（8）若3x，则 x= ，32x，则 x= （9）下列个数中：623252860100，没有平方根的有个2. 已知 ABC 的三边分别是a、b、c，且满足04412bba，求 c 的取值范围。已知a、b为实数，且0262ba，解关于x的方程：（a+2）x+2b=a-1。已知 42a-49=0，求a1039的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

27、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3. 列方程求值：（ 1）2x=196；（2）52x-10=0；（3）36（x-3）2-25=0 4. （1）已知一个正数的平方根是2x-1 和 3-x，求这个数（2）已知3xy与1xy是一个数的两个平方根，求2xy的平方根。5. 估算：（1）比较大小：5与52215与43（2）a、b 为两个连续的整数，且ba7，则ba= 满足 -2x3的整数是；实数的绝对值是37。（3）若m=440，则估计m的值所在的范围是（）A.21mB. 32m

28、C. 43mD. 54m6. 计算：（1）3232（2） 、下列计算正确的是（）A、451691B、212214C、05.025.0D、5257. 平方根的性质：01.0；25；241= ；216= ；216；25= 。二、立方根1. 定义：（1）如果 a 是 x 的立方根，那么下列说法正确的是（）A. a 也是 x 的立方根B. a 是-x 的立方根名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - C. a 是-x 的立方根

29、D. a 和 a都是 -x 的立方根（2）下列各式：2 .08.01.01 .01. 0001.0393333；，其中错误的有个2. 根据定义求值：（1）求值：327102（2）31258（2）方程：133x2161253x3. 估算：（1）估计 68 的立方根大小在（）A. 2 与 3 之间B.3 与 4 之间C.4 与 5 之间D.5 与 6 之间（2）通过估算3420的整数部分为（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 （3）3100估算到个位 = 4. 平方根与立方根相结合：（1）若 2x+1 的平方根是5，那么 5x+4 的立方根是（2）已知8x，求381x的值。（3）已知 m 满

30、足3312m，k、n 满足079132nk，求knm32的值三、实数：1. 实数的定义：1.判断下列说法是否正确，为什么？（1）无限小数是无理数；（2）有理数都是是有限小数；（3）无理数都是无限小数；（4）带根号的数都是无理数（5）任何实数的偶次幂都是正实数；（6）在实数范围内，若yx，则x=y。（7）0 是最小的实数；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - （8）0 是绝对值最小的实数；（9）数轴上的点与有理数是一

31、一对应的（10）数轴上的点与实数是一一对应的2.下列说法正确的是（）A. 不存在最小的实数B.有理数是有限小数C.无限小数都是无理数D.带根号的数都是无理数3.下列说法正确的是（）A. 无限小数是无理数B.不循环小数是无理数C.无理数的相反数还是无理数D.两个无理数的和还是无理数4. 把下列各数填入相应的集合内：，3143173200 31825362131716.213、38、0、27、3、5.0、3.14159、-0.020020002 0.12121121112（1）有理数集合 （2）无理数集合 （3）正实数集合 （4）负实数集合 2. 有效数字、科学记数法、近似数：注意： 2000 有

32、 4 个有效数字，精确到个位3102有 1 个有效数字，精确到千位1. 有几个有效数字，保留几个有效数字：用四舍五入法，按要求取近似值：. 地球上七大洲的面积约为149480000（保留 2 个有效数字）25.8 万（保留2 个有效数字）小明身高1.595m（保留 3 个有效数字）0.0608，0.060800 2.精确到哪一位：由四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？各有几个有效数字？小明身高1.59m；地球的半径约为6.4 103；组成云的小水滴很小，最大的直径约为0.2mm；某种电子显微镜的分辨率为1.4 10-8；70 万9.03 万1.8 亿51040.60.090080 3.精

33、确到 0.1，0.01 等：精确到个位（或精确到1）是精确到十分位（或精确到0.1）是精确到百分位（或精确到0.01）是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精确到千分位（或精确到0.001）是小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg，按下列要求取近似数，并指出每个近似数的有效数：精确到0.01kg; 精确到 0.1kg; 精确到1kg. 某人一天饮水1890ml（精确到 1000ml）的眼睛可以看见的红光的波长为

34、0.000077cm（精确到0.00001）4.科学记数法：（1）用科学记数法表示91800000，正确的是（）A、918510B、91.8610C、9.18510D、9.18710（2）一个数用科学记数法记为6410，这个数原来怎么记？它是几位整数？一个数用科学记数法记为6.09410，这个数原来怎么记？它是几位整数？一个数用科学记数法记为6.00009410，这个数原来怎么记？它有几位整数？（3）25.8 万（保留 2 个有效数字）2347600000（保留 3 个有效数字）5.今年全国的消费额为29458.4 亿元，小明认为这个数字精确到0.1 亿元，而小亮认为这个数字精确到1000 万元，你认为谁的说法对？为什么？小亮，数位只存在个、十、百、千、万、十万等，不存在0.1 万之类的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -