2022年2022年六年级奥数.数论.整除问题.学生版 .pdf

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1、MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 1 of 14 一、整除的定义：当两个整数a和 b（b0 ） ，a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或 b 整除 a，也把 a叫做 b 的倍数， b 叫 a的约数，记作b|a，如果 a被 b 除所得的余数不为零，则称a不能被 b 整除，或 b 不整除 a，记作 b a. 二、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2 或 5 整除，这个数就能被2 或 5 整除；一个数的末两位能被4 或 25 整除，这个数就能被4 或 25 整除；一个数的末三位能被8 或 125 整除，这

2、个数就能被8 或 125 整除；2.一个位数数字和能被3 整除，这个数就能被3 整除；一个数各位数数字和能被9 整除，这个数就能被9 整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除，那么这个数能被11 整除；4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11 或 13 整除，那么这个数能被7、11 或 13 整除；5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9 的倍数，那么这个数能被9 整除；6.如果一个数能被99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有

3、两个数字还有一个是一位数）的和是99 的倍数，这个数一定是99 的倍数。7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133 是否 7 的倍数的过程如下：133 27，所以 133 是 7的倍数；又例如判断6139 是否 7 的倍数的过程如下：6139 2595 ， 595 249，所以 6139 是7 的倍数，余类推。8.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4 倍，如果和是13 的倍数，则原数能被13 整

4、除。如果和太大或心算不易看出是否13 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。知识框架数的整除名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 2 of 14 9.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5 倍，如果差是17 的倍数，则原数能被17 整除。如果差太大或心算不易看出是否17

5、的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。10. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2 倍，如果和是19 的倍数，则原数能被19 整除。如果和太大或心算不易看出是否19 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。11. 若一个整数的末三位与3 倍的前面的隔出数的差能被17 整除，则这个数能被17 整除。12. 若一个整数的末三位与7 倍的前面的隔出数的差能被19 整除，则这个数能被19 整除 . 13. 若一个整数的末四位与前面5 倍的隔出数的差能被23(或 29)整除，则这个数能被23 整除。【备注】（以上规律仅

6、在十进制数中成立.）三、整除性质性质 1如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除即如果ca，cb，那么 c(a b)性质 2如果数 a 能被数 b 整除， b 又能被数 c 整除，那么a 也能被 c 整除即如果ba，cb，那么 ca用同样的方法，我们还可以得出：性质 3如果数 a 能被数 b 与数 c的积整除，那么a 也能被 b 或 c 整除即如果bca，那么 ba，ca性质 4如果数 a 能被数 b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数 c 互质，那么a 一定能被b与 c 的乘积整除即如果ba，ca，且 (b，c)=1，那么 bca例如：如果312，412，且

7、 (3，4)=1，那么 (3 4) 12性质 5如果数 a 能被数 b 整除，那么am 也能被 bm 整除如果ba，那么 bmam（m 为非 0 整数）；性质 6如果数 a 能被数 b 整除，且数c 能被数 d 整除，那么ac 也能被 bd 整除如果ba ，且 dc ，那么 bdac；四、其他重要结论1、 能被 2 和 5，4 和 25，8 和 125 整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。我们可以概括成一个性质：未n 位数能被 2n(或 5n)整除的数，本身必能被2n(或 5n)整除；反过来，末n 位数不能被 2n(或 5n)整除的数，本身必不能被2n(或 5n)整除。例如

8、，判断19973216、91688169 能否能被16 整除，只需考虑未四位数能否被16（因为 16=42 ）整除便可，这样便可以举一反三，运用自如。2、 利用连续整数之积的性质：任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被2 整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3 的倍数，所以它们之积一定可以被2 整除，也可被 3 整除，所以也可以被2 3=6 整除。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - -

9、 - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 3 of 14 这个性质可以推广到任意个整数连续之积。3、 一个奇位数，原序数与反序数的差一定是99 的倍数，一个偶位数，原序数与反序数的差一定是9 的倍数。4、100113117；abcabcabc 1001，abcabc这样的数一定能被7、11、13 整除。5、9992737;111337;117913;1337481;719133;71391等等。数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质

10、，不可似是而非。【例 1 】975 935 972 ，要使这个连乘积的最后4 个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【巩固】从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【例 2 】 把若干个自然数1、2、3、 连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？【巩固】201 202 203300L L的结果除以10，所得到的商再除以10重复这样的操作，在第_次除以10时，首次出现余数. 重难点例题精讲名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

11、 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 4 of 14 【例 3 】 11 个连续两位数的乘积能被343 整除，且乘积的末4 位都是 0， 那么这 11 个数的平均数是多少？【巩固】用 19 这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4 的倍数。 这三个三位数中最小的一个最大是。【例 4 】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使432是 9 的倍数 . 请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。【巩固】一个六位数2727口口被 3

12、 除余 l，被 9除余 4，这个数最小是。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 5 of 14 【例 5 】 连续写出从1 开始的自然数， 写到 2008 时停止，得到一个多位数： 1234567891011 20072008 ，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？【巩固】123456789101112131

13、4 20082009除以 9，商的个位数字是_ 。【例 6 】 1 至 9 这 9 个数字， 按图所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1 和 7 之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少 ? 987654321【巩固】207，2007，20007，L 等首位是2，个位是7，中间数字全部是0的数字中，能被27整除而不被81整除的最小数是。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

14、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 6 of 14 三、 7、11、13 系列【例 7 】 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4 位数 .已知这两个4 位数的和是以下5 个数的一个： 9865； 9866； 9867； 9868； 9869.这两个 4 位数的和到底是多少? 【巩固】88888ab ab ab ab ab 是 77 的倍数，则ab最大为 _? 【例 8 】 三位数的百位、 十位和个

15、位的数字分别是5， a和 b， 将它连续重复写2008 次成为：20095555abab ababL L1 4 4 2 4 4 3个.如果此数能被91 整除，那么这个三位数5ab是多少？【巩固】称一个两头（首位与末尾）都是1的数为 “ 两头蛇数 ” 。一个四位数的“ 两头蛇数 ” 去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“ 两头蛇数 ” 的约数。这个 “ 两头蛇数 ”是。 （写出所有可能）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - -

16、- - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 7 of 14 【例 9 】 学生问数学老师的年龄老师说：“ 由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年龄。” 老师今年岁。【巩固】已知两个三位数abc与 def 的和 abcdef 能被 37 整除，试说明：六位数abcdef 也能被 37 整除【例 10 】一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4 位数 .再将新的 4 位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：9865；9867； 9462； 9

17、696； 9869.这两个 4 位数的和到底是多少? 【巩固】一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17 整除，则这个数最小是_？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 8 of 14 【例 11 】在六位数1111 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17 和 19 整除，那么方框中的两位数是多少? 【巩固】将数字

18、 4，5，6，7，8，9 各使用一次，组成一个被667 整除的 6 位数，那么，这个6 位数除以 667 的结果是多少？【例 12 】若4232bcd，试问 abcd 能否被 8 整除 ?请说明理由【巩固】证明 abcde能被 6 整除，那么 2()abcde也能被 6整除【例 13 】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 -

19、- - - - - - - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 9 of 14 【巩固】有 5 个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12 的倍数，那么这5 个数之和的最小值是_【例 14 】某住宅区有12 家住户，他们的门牌号分别是1，2， 12他们的电话号码依次是12 个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于 6， 并且门牌号是9 的这一家的电话号码也能被13 整除，问： 这一家的电话号码是什么数？【巩固】用数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 拼成一个十位数。要

20、求前1 位数能被2 整除，前2位数能被3 整除， ，前 9 位数能被 10 整除已知最高位数为8这个十位数是【例 15 】在六位数ABCDEF 中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB ，ABC ，ABCD ，ABCDE ，ABCDEF 依次能被 2，3，5，7，11，13 整除则 ABCDEF 的最小值是；已知当 ABCDEF取得最大值时0C，6F，那么 ABCDEF 的最大值是 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - -

21、 - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 10 of 14 【巩固】有一个九位数abcdefghi 的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab可被 2 整除，三位数 abc可被 3 整除，四位数abcd 可被 4 整除， 依此类推，九位数abcdefghi 可被 9 整除请问这个九位数abcdefghi 是多少？【例 16 】N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除N 的最大值是【巩固】a ，b，c ，d各代表一个不同的非零数字，如果 abcd 是13的倍数， bcda 是11的倍数， cdab是9的倍数，

22、dabc是7的倍数，那么abcd 是。【随练 1】若 9 位数 20082008 能够被 3 整除，则里的数是 _ 课堂检测名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 11 of 14 【随练 2】六位数 2008能被 99 整除，是多少？【随练 3】应当在如下的问号“ ？” 的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数5050

23、666?555LL1 2 31 23个6个5可被 7 整除？【随练4】 王老师在黑板上写了这样的乘法算式:12345679(),然后说道 : “ 只要同学们告诉我你们喜欢1,2,3,4,5,6,7,8,9 中的哪个数，我在括号里填上适当的乘数，右边的积一定全由你喜欢的数字组成。” 小明抢着说：“ 我喜欢 3。” 王老师填上乘数“27”结果积就出现九个3；12345679(27)333333333小宇举手说：“ 我喜欢 7。” 只见王老师填上乘数“ 63”，积久出现九个7： 12345679(63)777777777 ，小丽说： “ 我喜欢 8。” 那么算式中应填上的乘数是 . 【随练 5】有四

24、个非零自然数, , ,a b c d ，其中cab，dbc.如果 a 能被 2 整除，b能被 3 整除，c能被 5 整除，d能被 7 整除，那么d最小是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 12 of 14 【作业 1】一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了153 元，她知道实际收钱不会错，只能是记账时有一个数点

25、错了小数点，那么记错的那笔帐实际收到的现金是_元。【作业 2】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007 倍，则这个五位数是【作业 3】一个 19 位数99777704444414 2 431 4 2 4 3个个能被 13 整除，求 内的数字【作业 4】已知四十一位数555999LL（其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内的数字是多少？家庭作业名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - MSDC

26、模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 13 of 14 【作业 5】一位后勤人员买了72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字 .帐本是这样的：72 本笔记本，共 67.9 元( 为被烧掉的数字)，请把 处数字补上，并求笔记本的单价. 【作业 6】小红为班里买了33 个笔记本。班长发现购物单上没有表明单价，总金额的字迹模糊，只看到93元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超过95 元，她实际用了元。【作业 7】 1 87 2aa 是 2008 的倍数 a_ 【作业 8】有 15 位同学， 每位同学都有编号，他

27、们是1 号到 15 号，1 号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除1 号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？如果告诉你1 号写的数是五位数，请找出这个数【作业 9】若四位数 9 8a a 能被 15 整除，则 a代表的数字是多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - MSDC 模块化分级讲义体系六年级奥数 .数论 . 整除问题（ ABC 级） .学生版Page 14 of 14 【作业 10】06 这 7 个数字能组成许多个没有重复数字的7 位数，其中有些是55 的倍数，最大的一个是（）。学生对本次课的评价 特别满意 满意 一般家长意见及建议家长签字：教学反馈名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -