2022年大一下学期解析几何考试试卷及答案 .pdf

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1、一、填空题（共7 题，2 分/ 空，共 20 分）1. 四点(0,0,0)O,(1,0,0)A,(0,1,1)B,(0,0,1)C组成的四面体的体积是 _?_. 2. 已知向量(1,1,1)a,) 3, 2, 1(b,(0,0,1)c, 则cba)(=_(-2,-1,0)_. 3. 点)1 ,0 , 1(到直线03zxyx的距离是 _6611_. 4. 点)2 ,0 , 1(到平面321xyz的距离是 _3147_. 5. 曲线 C:2201xyzzx对 xoy 坐标面的射影柱面是 _2210 xxy_, 对 yoz 坐标面的射影柱面是 _22(1)0zyz_,对 xoz 坐标面的射影柱面是

2、_10zx_. 6. 曲线 C:220 xyz绕x轴旋转后产生的曲面方程是_4224()xyz_，曲线C绕 y 轴旋转后产生的曲面方程是_222xzy_. 7. 椭球面12549222zyx的体积是 _?_. 二、计算题（共4 题, 第 1 题 10 分, 第 2 题 15 分, 第 3 题 20 分, 第 4 题 10 分,共 55 分）1. 过点( , , )P a b c作 3 个坐标平面的射影点 , 求过这 3 个射影点的平面方程 . 这里, ,a b c是 3 个非零实数 . 解 : 设点( , , )P a b c在平面0z上的射影点为1( , ,0)Ma b，在平面0 x上的射影

3、点为2(0, , )Ma b，在平面0y上的射影点为3( ,0,)Mac，则12(,0, )M Macu uu uu u r，13(0, )M Mb cu uuuuu r于是1M，12M Muuuuuu r，13M Muuuuuu r所确定的平面方程是000 xaybzacbc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 即()()0bc xaac ybabz . 2. 已 知 空 间 两 条 直 线:1l010 xyz,:2

4、l010 xyz. (1) 证 明1l 和2l 是 异 面 直 线 ;(2)求1l 和2l 间 的 距 离 ;(3)求 公 垂 线 方 程 . 证明：(1) 1l的 标 准 方 程 是1110 xyz，1l经 过 点1(0,0,1)M，方 向 向 量11, 1,0v2l的标准方程是2110 xyz，2l经过点2(0,0, 2)M，方 向 向 量21,1,0v，于是1212003(,)1106110M Mv vu uu uuu r0，所以1l 和2l 是 异 面 直 线 。(2) 由于12(0,0, 2)vv，122vv1l 和2l 间 的 距 离121212(,)632M Mv vdvvuu

5、uuuuuuuuuu r(3) 公 垂 线 方 程 是1110000221100002xyzxyz， 即00 xyxy。3. 求曲线221xyz绕 x 轴旋转产生的曲面方面 . 解：设1111(,)Mxy z是母线221xyz上任意一点 , 则过1111(,)Mx yz的纬圆方程是22222211110 xyzxyzxx， （1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 又211121xyz， （2）由（1） （2）消去1

6、11,xy z得到2222220 xyz. 4. 已 知 单 叶 双 曲 面22214925xyz,)0,0,2(P为 腰 椭 圆 上 的 点 , (1) 求 经 过 点 P 两 条 直 母 线 方 程 及 其 夹 角 ; (2) 求 这 两 条 直 母 线 所 在 的 平 面的 方 程 及 平 面与 腰 椭 圆 所 在 平 面的 夹 角 . 解 ： (1)设 单 叶 双 曲 面 两 直 母 线 方 程 是()(1)253()(1)253xzywuxzyuw与()(1)253()(1)253xzytvxzyvt把 点)0 ,0,2(P分 别 代 入 上 面 两 方 程 组 ， 求 得,wu t

7、v代 入 直 母 线 方 程 ，得 到 过 点)0 ,0,2(P的 两 条 直 母 线12531253xzyxzy与12531253xzyxzy， 即1510630015106300 xyzxyz与1510630015106300 xyzxyz两 直 母 线 的 方 向 向 量 可 分 别 取1(0,3,5)v和2(0,3,5)v，设 两 直 母 线 的夹 角 是， 则 有12128cos17vvvv，8arccos17. （ 2） 两 直 母 线 所 在 平 面的 方 程 是20350035xyz， 即2x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

8、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 显 然 平 面与 腰 椭 圆 所 在 的 平 面 的 夹 角 是 0. 四 、 证 明 题 ( 共 2 题 , 第 一 题 10 分 , 第 二 题 15 分 , 共 25 分 ) 1. 求 证 : 曲 线23222( )(,)111tttr ttttttt在 一 个 球 面 上 , 这 里 的(,)t. 证 明 : 设( )( , , )r tx y zuuu r， 则 有222xyzy， 即22211()24xyz所以曲线23222( )(,)111tttr t

9、tttttt在 球 心 为1(0,0)2, 半 径 为12的 球面 上 。2. 证 明 :(1)双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 所 有 直 母 线 都 平 行 于 同 一 平 面 : (2) 双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 两 条 直 母 线 异 面 . 证 明 : (1) 双 曲 抛 物 面 的u 族 直 母 线 中 任 一 条 直 母 线 都 平 行 于 平 面0byax, v 族 直 母 线 中 任 一 条 直 母 线 都 平 行 于 平 面0byax, 因 而 结 论 成 立 .-5分(2) 不 妨 取 u 族 直 母 线 来 证 明 ， 任 取 u 族 直 母 线 中 两 条

10、 直 母 线1l ：zbyaxuubyax)(211 和2l ：zbyaxuubyax)(222其 中21uu. 由 于 的 第 一 个 方 程 表 示 的 平 面 平 行 于 的 第 一 个 方 程表 示 的 平 面 , 即1l 和2l 在 两 个 平 行 平 面 上 , 因 而1l 和2l 不 会 相 交 . 又 由 于 直 线1l 的 方 向 向 量 为)2,1,1() 1,()0 ,1,1(1111abuabbuaubav直 线2l 的 方 向 向 量 为)2,1,1()1,()0,1,1(2222abuabbuaubav由 于21uu, 因 此1l 和2l 不 会 平 行 , 从 而 证 明 了 双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 两条 直 母 线 异 面 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -