2022年2022年考研-三角函数公式大全 .pdf

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1、倒数关系：tan 2 cot =1 sin 2 csc=1 cos 2 sec =1商的关系：sin/cos =tan =sec/csc cos /sin=cot =csc/sec 平方关系：sin2( )+cos2( )=1 1+tan2( )=sec2( ) 1+cot2( )=csc2( ) 平常针对不同条件的常用的两个公式sin2( )+cos2( )=1 tan *cot =1 一个特殊公式（sina+sin ）*（sina-sin ）=sin （a+）*sin（a-）证明： （sina+sin ） * （ sina-sin ） =2 sin( +a)/2 cos(a- )/2 *2

2、 cos( +a)/2 sin(a-)/2 =sin （a+） *sin（ a-）坡度 公式我们通常半坡面的铅直高度h 与水平高度l 的比叫做 坡度（也叫 坡比）， 用字母 i 表示，即 i=h / l, 坡度 的一般形式写成l : m 形式，如 i=1:5. 如果把坡面与水平面 的夹角记作a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数 公式正弦：sin = 的对边 / 的斜边名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - -

3、- - 余弦： cos =的邻边 /的斜边正切 ：tan =的对边 /的邻边余切 ：cot =的邻边 /的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA 2 cosA 余弦1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a) 2.k3.Cos2a=2Cos2(a)-1 即 Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos2(a)-1=1-2Sin2(a) 正切tan2A= （2tanA ） /（1-tan2(A) ）三倍角公式sin3 =4sin 2 sin(/3+ )sin( /3-) cos3 =4cos 2 cos( /3+ )cos( /3-) tan3a = tan a 2tan( /3+a

4、) 2tan( /3-a) 三倍角公式 推导sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin 2a)+(1-2sin 2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos 2a-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina( 3/2) 2-sin2a =4sina(sin 260 -sin2a) =4sina(sin60 +sina)(sin60 -

5、sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60 -a)/2 =4sinasin(60 +a)sin(60 -a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos 2a-3/4) =4cosacos 2a-( 3/2)2 =4cosa(cos 2a-cos 230 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - =4cosa(cosa+cos30)(c

6、osa-cos30 ) =4cosa*2cos(a+30 )/2cos(a-30 )/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30 )/2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30 ) =-4cosasin90-(60-a)sin-90 +(60 +a) =-4cosacos(60-a)-cos(60 +a) =4cosacos(60-a)cos(60 +a) 上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60 +a) 现列出公式如下: sin2 =2sin cos tan2 =2tan /(1-tan2( ) cos2 =cos2( )-sin2( )=2cos2(

7、 )-1=1-2sin2( ) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式sin3 =3sin -4sin3( )=4sin 2 sin(/3+)sin( /3-) cos3 =4cos3( )-3cos=4cos 2 cos( /3+ )cos( /3-) tan3 =tan( )*(-3+tan( )2)/(-1+3*tan( )2)=tan a 2tan( /3+a) 2tan( /3-a) 半角公式sin2( /2)=(1-cos )/2 cos2( /2)=(1+cos )/2 tan2( /2)=(1-cos )/(1+cos ) ta

8、n( /2)=sin /(1+cos )=(1-cos )/sin 万能公式sin=2tan( /2)/1+tan2( /2) cos =1-tan2( /2)/1+tan2( /2) tan =2tan( /2)/1-tan2( /2) 其他sin+sin( +2/n)+sin( +2*2/n)+sin( +2*3/n)+ +sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos( +2/n)+cos( +2*2/n)+cos( +2*3/n)+ +cos +2*(n-1)/n=0 以及 sin2( )+sin2( -2 /3)+sin2( +2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+ta

9、nA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4) 五倍角公式sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4) 六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A

10、=(-1+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA6) 七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7)

11、tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6) 八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8) 九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*s

12、inA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8) 十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-4

13、8*cosA2+1) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10) N 倍角公式根据棣美弗定理，(cos + i sin )n = cos(n )+ i sin(n ) 为方便描述，令sin=s，cos=c 考虑 n 为正整数的情形：cos(n )+ i sin(n ) = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . +C(n,1)*

14、c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . =比较两边的实部与虚部实部： cos(n)=C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . i*(虚部 )：i*sin(n)=C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . 对所有的 自然数 n， 1. cos(n )： 公式中出现的s 都是偶次方，而s2=1-c2( 平方关系 )，因此全部都可以改成以c

15、(也就是 cos )表示。2. sin(n )： (1)当 n 是奇数时：公式中出现的c 都是偶次方， 而 c2=1-s2( 平方关系 )，因此全部都可以改成以s(也就是 sin)表示。(2)当 n是偶数时：公式中出现的c 都是奇次方， 而 c2=1-s2( 平方关系 )，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是cos)的一次方无法消掉。(例. c3=c*c2=c*(1-s2)，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2) 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a

16、/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - sin+sin = 2 sin( +)/2 cos( -)/2 sin-sin = 2 cos( +)/2 sin( -)/2 cos +cos = 2 cos( +)/2 cos( -)/2 cos -cos =

17、 -2 sin( +)/2 sin( -)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式tan( + )=(tan +tan )/(1-tan tan ) tan( -)=(tan -tan )/(1+tan tan) cos( +)=cos cos -sin sincos( -)=cos cos +sin sinsin(+)=sin cos+cos sinsin(-)=sin cos -cos sin积化和差sinsin =-c

18、os( +)-cos( -) /2 coscos = cos( +)+cos( -)/2 sincos = sin( +)+sin( -)/2 cossin = sin( +)-sin( -)/2 双曲函数sh a = ea-e(-a)/2 ch a = ea+e(-a)/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一：设为任意角 ，终边相同的角的同一三角函数 的值相等：sin（2k+）= sin cos（2k +）= cos tan（2k+ ）= tan cot（2k+）= cot 公式二：设为任意角 ，+ 的三角函数值 与的三角函数值 之间的关系：sin（+）= -sin c

19、os（+） = -cos tan（ +）= tan cot（+）= cot 公式三：任意角 与 -的 三角函数值 之间的关系：sin（-）= -sin cos（ -）= cos 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的 三角函数 值之间的关系：sin（-）= sincos（-）= -cos tan（ -）= -tan cot（-）

20、= -cot 公式五：利用公式 -和公式三可以得到2-与 的三角函数 值之间的关系：sin（2- ）= -sin cos（2-）= cos tan（2-）= -tan cot（2-）= -cot 公式六：/2及 3/2与 的三角函数值之间的关系：sin（/2+）= cos cos（/2+）= -sin tan（ /2+）= -cot cot（/2+）= -tan sin（/2-）= cos cos（/2-）= sin tan（ /2-）= cot cot（/2-）= tan sin（3/2+）= -cos cos（3/2+）= sin tan（3/2+ ）= -cot cot（3/2+ ）=

21、-tan sin（3/2- ）= -cos cos（3/2-）= -sin tan（3/2-）= cot cot（3/2- ）= tan (以上 kZ) A2 sin( t+ )+ B 2 sin(t+) = (A2 +B2 +2ABcos( -) 2 sin t + arcsin (A 2sin+B2 sin) / A2 +B2; +2ABcos( -) 表示根号 ,包括 中的内容三角函数的 诱导公式 （六公式）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 -

22、 - - - - - - - - 公式一sin(- ) = -sin cos(- ) = cos tan (- )=-tan 公式二 sin( /2-) = cos cos( /2-) = sin 公式三sin( /2+) = cos cos( /2+) = -sin 公式四 sin( -) = sin cos( -) = -cos 公式五 sin( +) = -sin cos( +) = -cos 公式六 tanA= sinA/cosA tan（ /2+）=cottan（ /2）=cot tan（ ）=tantan（ +）=tan 诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin=2

23、tan( /2)/1+(tan( /2) 2 cos =1-(tan( /2) 2/1+(tan( /2)2 tan=2tan( /2)/1-(tan( /2) 2 其它公式(1) (sin )2+(cos )2=1 （平方和公式 ）(2)1+(tan )2=(sec )2 (3)1+(cot )2=(csc )2 证明下面两式，只需将一式,左右同除 (sin)2，第二个除 (cos )2 即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证：A+B= -C tan(A+B)=tan( -C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan

24、-tanC)/(1+tantanC) 整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证,当 x+y+z=n (nZ)时，该关系式也成立由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot

25、(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)2;+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) (seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2 幂级数 展开式sin x = x-x3/3!+x5/5!- +(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+。(-x) cos x = 1-x2/2!+x4/4!- +(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ (-x) arcsin x =

26、 x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1) arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1) 无限公式sinx=x(1-x2/ 2)(1-x2/4 2)(1-x2/9 2)cosx=(1-4x2/ 2)(1-4x2/9 2)(1-4x2/252) tanx=8x1/( 2-4x2)+1/(9 2-4x2)+1/(25 2-4x2)+ secx=4 1/( 2-4x2)-1/(9 2-4x2)+1/(252-4x2)-+ (sinx

27、)x=cosx/2cosx/4cosx/8(1/4)tan /4+(1/8)tan /8+(1/16)tan /16+ =1/ arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1) 和自变量数列求和有关的公式sinx+sin2x+sin3x+ +sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+ +cosnx=cos(n+1)x/2sin(nx/2)/sin(x/2) tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+ +sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+ +cosnx) sinx+sin3x+

28、sin5x+ +sin(2n-1)x=(sinnx)2/sinx cosx+cos3x+cos5x+ +cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx) 编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂， 但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。1三角函数本质：1根据右图，有sin=y/ r; cos =x/r; tan =y/x; cot =x/y 。深刻理解了这一点，下面所有的三角公式 都可以从这里出发推导出来，比如以推导名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

29、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：推导：首先画 单位圆 交 X 轴于 C，D，在单位圆 上有任意A，B 点。角 AOD 为，BOD 为，旋转 AOB 使 OB 与 OD 重合，形成新AOD 。A(cos ,sin ),B(cos ， sin),A(cos( -),sin( -) OA=OA=OB=OD=1,D(1,0) cos( -)-12+sin( -)2=(cos -cos )2+(sin -sin)2 和差化积 及积化和

30、差 用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2 与(a-b)/2 ）单位圆 定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值； 实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x 轴正半部分得到一个角，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cos 和 sin

31、 。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sin = y/1 和 cos = x/1 。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1 的一种查看无限个三角形的方式。两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -