2022年2022年量子力学中的对称性和角动量 .pdf

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1、1 量子力学中的对称性和角动量3.1 引言从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、 角动量守恒等。 为什么会这样？从形式上看， 守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为基本，因为它表达了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程。反过来，也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。为什么会有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。运动过程的所有特征，实际上都已经隐含在运动方程之中，对称与守恒的研究，只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来，但它并不能给出超出运动方程的结果。经典力学 中，

2、Hamiltonian 决定了体系的运动规律，看H 是否对于某一种变换不变，则体系在变换前后的运动规律也保持不变。- 守恒量。0,Hu,HuHutudtdu不显含时间，则和如-表示 u 是一个运动常数。量子力学 中，运动方程为HFdtdFi,，其中力学量为算符0,HF- 二者具有共同的本征函数。Wigner-Weyl 实现：态的对称性直接反映了H 的对称性。3.2 转动态 的定义和 转动算符3.2A 转动态 的定义在经典物理中，转动后坐标的变化为pRprRr,如果 n 为 z 轴，转动角为，则zzyxyyxxppzzpppyxypppyxx,cossin,cossin,sincos,sinco

3、s-zyxzyx1000cossin0sincos在量子力学中，一自旋为0 的标量粒子波函数r，将它绕空间n 轴（ z 轴）转动一个角度，此操作为作用在波函数上的算符,nR，则rrnR,。转动态的定义 ：.,RrrightRrrRleft所以，- 转动态 。物理上对转动态的要求：如果转动前后中所测得的物理量的关系和经典物理中一致（在下面举几个例子说明） ，则可称之为转动态。在坐标系中，r为标量函数，存在rr 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - -

4、 - - - - - - - 2 和rRrRrr1,。现在，证明上式满足转动态的要求。转动前，平均位置rxrdrxx*转动后，平均位置sincossincos?*yxryxrdrrxrdrrxrdrxx3.2B 算符的转动令,nR为转动算符。rRrrnR1,，转动前后，物理上要求几率守恒，即保持态归一化：RRRR?1，则1?RR。即转动算符R 为幺正算符，转动变换是一个幺正变换。物理过程：转动前后平均值不变。任一算符F 的平均值为：.?RFRFFRFRRRFRRRRFRRFF转动后，新算符量子力学中，可观察量的转动。sin?cos? ?yxx即变换使坐标转过角度，同时使体系的可观察量转过角度为

5、。3.2C 态的无限小转动-求转动算符的具体形式态的无限小转动，绕z 周的转角为无限小，则yxyyxx,（1）自旋为0 的粒子波函数，yxxyiLzyxLizyxyxxyiizyxyxxyzyxzxyyxrRrzz?z,?1,1,1，方向的轨道角动量算符定义推广到任意轴n 的微小转动 ，有.?1,?1nLinRrnLir无穷小转动算符为，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3 2009-10-14 上课内容（2）自

6、旋为1/2 的粒子的波函数。此时，波函数为二分量，记10,012121，则体系波函数为，21221121211001rrrrrrr。绕 z 轴转动，证明波函数为rRirz121。物理过程：在转动态下自旋、位置、动量与原来态满足经典关系，即yxx?212211rrr，当转动角度无限小时，把自旋的变化等同于位置的变化规律，则自旋的三个方向的分量为zzyxzyxSiii100000101000000001000101此处，定义0000000iiSz从上面的讨论可知，轨道部分波函数变为，rnLir?1，则总波函数为丢掉二阶项。rSLirSiLirrrzzzz111212211则任意轴无限小角度转动算符

7、，nSLinR1,，其中粒子的 总角动量算符 可以写为SLJ3.2D 态的有限角度转动绕 n 轴无限小角度转动算符为nJinR1,，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 4 其中0mm。绕 n 轴转过有限角度，nJinJminJminRnRmmmmmmexpexplim1lim,lim,三维空间中的有限转动，,。RRRR3.3 角动量的一般性质角动量算符的三个分量zyxjjj,，满足下列对易关系：zyxjijj ,定

8、义角动量平方算符为2222zyxjjjJ定义角动量的升降算符，zyxyxxyyxyxyxyxjjjjjjjijjijjijjjjijjj2222证明对易关系：zzijjjjjjjj2,0,2因为，0,2zjj，二者的共同本征态为jm，有jmjjmjjmjjjmjz,122证明升降算符的物理意义。1111.1jmjmjjmjmjmjjjmjmjjmjmjmjjmjjmjzzz的本征态，本征值为的意义：为jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjzzzzzzzyx222222222210？的本征值222222100lljjjljjjjljljjjljljjjljljjzz反

9、方向作用，用由此可得，jl。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 5 ,.23,1 ,21,0,.3,2,1 ,02,jnnjnljjljjjjln个。共，对于每一个固定的12, 1,.1,mjjjjjj证明：111jmmmjjjmj111111222222jmmmjjjmjcmmjjjmjjjjmjmjjjmjmcjmjzz2009 年 10 月 16 日星期五上课为什么重要的是2j？标记任意转动下的态，要用2j的

10、本征态。因为0,2Rj，任意转动算符 R 可以用zyxjjj,组合而成，所以只要0,2xjj。证明过程 ：因为0,0,0,22222222yxyxxyxyyxyzyzyyxzxzxxzyzxzzyxzjjjjjjjjijjjjijjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj所以，0,2Rj。将2j的本征态标记为jjjjj2,，经转动 R 后，转动态为jR。jR的物理意义 ：jRjRjjRjj22。表明，转动态的全体jR形成一个不变子空间。该子空间用本征值j标记。转动时，态只能在子空间内变化，其中任何态不会因为转动带到子空间之外。算符2j的重要意义 ：将态空间按其本征值j自动地分解为转动不变子空间

11、。则关于转动时态的变化问题，就只需在各个不变子空间中加以讨论。转动子空间为2j的简并空间，还需一个算符0,2zzjjj（好量子数）才能解除简并。记为jmmjmjjmjmjjmzj,2。证明 ：从前面的内容可知，21jjj。利用升降算符yxijjj，则jjjjjjjjjzzzz222。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 6 现设jm为zjj ,2的共同本征态，则jmmjmjjmjmjzj,2。且0,2jj则jmjmj

12、mjjjjmjjmjjmjjjmjjzj1,22。从本征态jm出发，得到zjj ,2的一系列本征态：,.2, 1,1,2.,.,.,22mmmmmjmjjmjjmjmjjmj- 必有上限和下限。计算平均值，22222222mmjmjjmjmjjmjmjjmjyx现令，0,0minmaxjmjjmjmin2maxminmin2min2max2maxmaxmax2max211jmmmjmjjjjjmjjmmmjmjjjjjmjzzzz因为j不改变2j的本征值，所以11minminmaxmaxmmmm。则1,minmaxminmaxmmmm。因为minmaxmm，所以jmmminmax。jmmjma

13、x22。因为zj 是角动量算符z 方向上的投影，所以m 的最大值jmmax以上可知，21jjj。表明，对于同一个j，张成2j的12 j维简并空间。3.7 对称性和守恒律3.7A 可观察量和不可观察量有限转动算符R?是幺正算符，不对应于可观察量。但它的无限小生成元（角动量算符J?）为可观察量。zJizJieRz1?态在在旋转zR?作用下不变，即它具有绕z 轴的旋转对称性，izeR?。旋转不变 ：1ieizzeJiR?exp?。旋转前后相差一个相因子，不影响波函数的物理名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

14、 - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 7 结果。起点 ：0终点 ：izeJi?2exp2若，miJimJezzi2exp?2exp?1上式中，12ie要求 m 为整数若，miJimJezzi2exp?2exp?1上式中，,211meim 为半整数。2009-10-21 上课内容从特殊到一般 ：体系在某个变换Q?下具有对称性，即Q(1) 保持几率不变，QQ，11QQQQ，说明Q 是一个幺正算符。(2) 保持运动规律不变，?Hti，设 Q 不显含时间，则QHtQiQHHtQiQtiti?和HQQtiHQtQiHti?可得体系在Q 变换下保持不变性的

15、条件为，0,HQQHHQ。考 虑 无 限 小 变 换 ，FiQ?1?， 式 中为 无 限 小 变 换 的 参 量 ， 由 于1QQ， 则FFoFFiFiFi?0?1?1?12，即F?是一个厄密算符，对应于一个可观察量。0?,?0?,?,?1HFHQFiQ，即F?是运动中的一个守恒量。量子力学中的一个对称性变换往往对应于一个可观察量的守恒性。3.7B 空间的均匀性及动量守恒把体系沿着x 方向平移一无限小距离，用算符xD?标记变换操作。 若体系具有空间平移名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

16、- - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 8 不变形，则0?,?HDx。将平移操作算符作用到一个态上，xiPxPixxxxxDxxxxx?1?，由定义可知0?,?HPx，即动量守恒。3.7C 时间的均匀性与能量守恒把体系的态t在时间上平移一无限小量，用算符D?标记操作，ttitHtHittiittttttttDtt?111?若体系的演化具有时间不变性，则0?,?HD。体系能量守恒。3.8 空间反演和宇称3.8A 量子态和算符的宇称空间反演：rr。反演算符记为?，存在xx?。作用一次，xxxxx?连续作用两次，1? 22xxxxx。因为对称性算符均为幺正算符，1，

17、则其也是厄密算符 （真实的物理量 ） 。作为厄密算符，其本征值为1。在经典力学中不存在宇称这个力学量，因为没有能使rr的突变 。证明 ：设其本征值为，则11,222。偶宇称态：xxeveneven，本征值为1。奇宇称态：xxoddodd，本征值为 -1。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 9 例在中心场中运动的粒子，,rrrr，其宇称本征值为l1。如何判断Hamiltonian 具有宇称对称性？在空间反演变换下，算

18、符x，p，J 的变换？量子力学中的算符分为奇宇称和偶宇称。 （算符的宇称变换）例子 ：体系 Hamiltonian 具有空间反演对称性，即0,H。本征方程，nnnnnEEEEEH,。证明：矩阵元0nnExE3.8B 宇称守恒定律（1）量子态具有宇称量子数1经典物理中的“自然界中存在基本的左右对称性”。（2）量子力学中， 哈密顿量H?支配系统的运动规律。0?,?H保证了H?中不包含赝标量项。xP为标量，而SP为赝标量。SPSPxPxP11?,?（3）多粒子体系的总宇称。fkijNkklNjjlPP11-宇称守恒定律。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

19、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 10 3.8C 宇称不守恒的发现1956 年，杨振宁和李政道根据当时粒子物理研究中一个关于荷电K 介子的衰变问题 （之谜），怀疑宇称不守恒定律不一定是普遍正确的。2009-10-23 上课内容3.9 时间反演对称性1932 年， Wigner 在量子力学中引进了时间反演（运动的可逆性）。无自旋粒子的运动方程，tHtti?。假设H?不含时间，对运动方程进行操作，txHtxtitxHtxti,?,?,*-tx,*为反演后满足方程的解。作时间反演操作，txtx,*

20、。考察二者之间的关系。在时间反演下，时间反演算符T?，使得,TT。T?为反幺正算符 ，存在反线性算符TCTCCCT?,*2*121*乘积形式：KUT?，为幺正算符和复共轭算符的乘积。反线性算符TCTCKUCKUCCCKUCCT?*2*1*2*12121算符在T?作用下的性质 ：（1）Hamiltonian 是时间反演不变的；THHTHTHTH?,?1（2）位置算符；xTxTx?1- 实算符（3）动量和角动量；JTJTJpTpTp?11- 虚算符（4）自旋算符；?1TT，类比角动量。mjjmTmj1?3.4 两个角动量的耦合，C-G 系数两个角动量 耦合的多种方式：名师资料总结 - - -精品资

21、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 11 （a）自旋与轨道角动量耦合：jsl；（b）两个自旋耦合：Sss21；（c）两个轨道耦合：Lll21；（d）耦合后的自旋与轨道进一步耦合：JLS；（e）先合成轨道，再合成：22211121,lsjlsjJjj；采用何种耦合方式，需具体分析，各种相互作用的强弱。在实际计算中，在一级近似下，以上各种方式均可作为理想的数学问题处理。两个不同表示空间中的1j 和2j ，它们耦合为J的角动量，可以严格地写成：21

22、jIIjJ其中，I为空间中的恒等算符，两个空间是独立的，可以有不同的维数（例如自旋空间是2 维 Hilbert 空间，轨道表示空间是无限维的，指定l，其子空间是2l+1 维） 。问题 ：两种表示之间的幺正变换的矩阵元为C-G 系数（矢量耦合系数） 。直乘空间的基：由两个子空间的基直乘而得，记为22112121;mjmjmmjj不同空间中的1j 和2j 是对易的（无相互作用），显然2121221212212122221212221211212112121211212121;1;1;mmjjmmmjjjmmjjjjmmjjjmmjjmmmjjjmmjjjjmmjjjzz其中，2211,mjmj都是

23、好量子数。发生相互作用后，两个角动量耦合，基为jmjj;21，好量子数为21,jjjJ。jmjjmmjmjjJjmjjjjjmjjJjmjjjjjmjjjjmjjjjjmjjjz;1;1;1;1;2121212212212222122212112121为何21,mm不再是好量子数，因为0,0,2212zzjJjJ。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 12 由yxyxijjjijjjjjjjjjjjjjJ22211

24、11221222121212,-0,2zJJ。实现两种基之间的幺正变换，利用完备性关系1,;,;1221212121mmmmjjmmjj，得到12;,;,;212121212121mmjmjjmmjjmmjjjmjj上式中，jmjjmmjj;,;212121正是两种基之间的幺正变换的矩阵元（即CG 系数）。2009-10-28 上课内容CG 系数的性质：（1）3 个磁量子数间存在简单代数关系：21mmm（证明） ，因为zzzjjJ21，所以00;0;0;2121212121212121212121212121mmmjmjjmmjjjmjjmmjjmmmjmjjjjJmmjjjmjjjjJzzz

25、zzz；（2）2121jjjjj。说明：从角动量的矢量相加法则可知，21min21max,jjjjjj证明如下：设系统的两个角动量为21, jj，总角动量为21jjJ。因为21, jj作用在不同对象上的算符，所以对易，0,21jj。zzjjjj222121,的共同本征态记为22112121,;mjmjmmjj。对于确定的21, jj，11mj有121j个，22mj有122j个。二者张成2221, jj的121221jj维简并空间。耦合后， 总转动的基jmjj;21对于一个确定的j 张成12 j维的不可约子空间，总维数为121211212211221212121212121jjjjjjjjjjj

26、Njjjjj名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 13 （3）CG 系数（取为实数）构成幺正矩阵。jmjjmmjjmmjjjmjj;212121212121， 则幺正矩阵为正交矩阵，行与列的正交条件，2121212121212121212121212121212122112211;mmmmjjmmmmjmmjjmmjjmmjjjmjjjmjjmmjjjmjjmmjjjmjjmmjj21212121212121212

27、12121212121212121;mmjjmmmmmmjjmmmjjjjmjjmjjjmmjjmmjjjmjjmjjjmmjjjmjjmmjj取特例，令21, mmmjj，则有态的归一化条件1;2121221212121jmjjjmjjjmjjmmjjmm（4）jmjjmmjjjmjjmmjjjjj;1;12121221212121（5）几个常用的CG 系数。3.5 转动算符的矩阵表示D 函数有限转动算符在基jm中的矩阵1212jj表示，记矩阵元为jmJnijmRDjmm?exp?-D 函数， Wigner 函数。这里， j 是确定的，因为0,2RJ。D 矩阵称为，转动算符R 的12 j维不

28、可约表示。性质：（1）无转动，0，ID；（2）R 是幺正的，则D 是幺正的；（3）D 矩阵的乘法。两个连续的转动为一个转动，则21 21 RRDRDRDjmmmjmmjmm；（4）D 矩阵元的物理意义。 （要作用到态上才看得出意义）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 14 的振幅。态作用后产生的态对是?jmjmRDRDRDjmjmRDjmjmjmRDjmmmjmmm（5）计算 D 矩阵，采用欧拉角表示一般的转动。

29、的依赖关系简单。对jmejmddejmeeejmDyzyzJijmmjmmmmiJiJiJijmm举例 ：1,2,212yyyJj，易证2cos2sin2sin2cos212sin2cos212sin2cos2! 3122!4122112!412! 31221212!412!3122121!3121121213424433224433223322dmimdiiiiiiiiiiJiJiJieyjmmyyyyyyyyyyyyyJiy一般公式jmmd（此处不证明） 。 （6）-(9) 中的内容在群论中可以找到。（6）D 矩阵元与球谐函数的关系。（7）磁量子数翻转的对称性。（8）D 矩阵的耦合规则。名

30、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 15 jjmmjmmjmjmmmjmmjmmjjmmjmjmmmjjmmjmjjjmmjmjDCjmjjDDmmjjjmjjRjmjjCjmjjmmjjRmmjjmmjjjmjjRCmmjjRjmjjCmmjj,2121212121,2121212121212121,212121,212122112122211122112122112211;jjmmjmjjmmjmmjmjmmm

31、jjmmjmmjmjmmmjjmmjmmjmjmmmjjmmjmmjmjmmmjjCDCjmjjmmjjDCmmjjjmjjDCmmjjmmjjjmjjDC2121,212121,212121,2121212121,;22112211212211212211212211因为21mmm，则jjmmjmjjmmjmmjmjjmmjmmCDCDD,22112211222111（9）D 矩阵的积分公式。3.6 不可约张量算符Wigner-Echart 定理和选择定则3.6A 标量算符和不可约张量算符。体系在转动下的对称性影响跃迁过程的选择定则。转动后的新算符，RFRF 当RFRF，则算符在转动R 下不

32、变，称 F 为标量算符。任一有限转动可分解为连续的无限小的转动的结果，所以在无限小转动下考察问题。为标量算符。，则反之，若对易关系成立对易。即算符与角动量算符转动不变要求，F011expexpFJJFFJJFniFJFniJFniFJniFJniJniFJniFRRRFR推广到非标量算符，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 16 若有12个算符 T?满足关系：1TDRRT，则称 T?为一个阶的不可约张量算符。12

33、111,n,1,TTJTJTTJTJzyxTJnTJnTJniTTJniTTJnirightTJniTleftZz轴，得为对易关系。取不难证明，球谐函数,lmY为l阶不可约张量算符。自旋算符为1阶不可约张量算符。态jmJMjmJMTC,在转动变换下的性质，,1,1,jmmjmmJMjmjmmjmmJMjmjmmjmmJMjmjmJMjmjmJMjmjmJMjmJMTDDCTDDCDTDCRRRTCRRRTCRTCR由 D 矩阵的耦合公式，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

34、 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 17 , , , , , ,MJMMMJjmMJMjmMMJjmmMMJJMjmjmmJMMJMJjmJJjmmJMMJMJjmMJjmJMjmjmmJMMJMJjmMJjmJMjmjmmjmmJMjmJMDTCDTDCTDCTDCCCTDCCCTDDCR由此可知，JM具有角动量量子数J 和 M：mMjJ,。3.6B Wigner-Eckart 定理1、不可约张量算符T在两个角动量本征态间的矩阵元，jjmjjmjmmjTCT,其中， CG 系数与磁量子数,mm有关，式中第二个因子为约化矩阵元，与磁量子数无关。2、jjT决定了矩阵元的

35、角动量选择定则 ： 当角量子数满足关系式jjj时，矩阵元不为0。3.6C 选择定则（举例说明）（1）电偶极跃迁矩阵元和选择定则。rrrdrmjrmjffffmjmjiiff*?r原子中电子的位置矢量。r 为1的不可约张量，要求矩阵元为非零数，则ififjjjj1。（2）磁偶极跃迁。粒子的磁矩算符LgSgls?在两个定态间的矩阵元为iiffmjmj?，lsgg ,为相应的回转磁比率。LS?,?为1的不可约张量算符。（3）原子核的电四极距。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -