2022年完整word版,MATLAB符号运算 .pdf

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1、. . 符号运算科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。符号变量的生成和使用1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成（1） 、使用 sym 函数定义符号变量和符号表达式单个符号变量sqrt(2) sym(sqrt(2) %显示精确结果a=sqrt(sym(2) %显示精确结果double(a) sym(2)/sym(3) %显示精确结果2/5+1/3 sym(2/5+1/3) %显示精确结果sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) %显示精确结果sym 函数定义符号表达式：单个变量定义法，整体定义法单个变量定义法a=sym(a)

2、b=sym(b) c=sym(c) x=sym(x) f=a*x2+b*x+c 整体定义法f=sym(a*x2+b*x+c) g=f2+4*f-2 （2） 、使用 syms 函数定义符号变量和符号表达式一次可以创建任意多个符号变量syms var1 var2 var3syms a b c x f=a*x2+b*x+c g=f2+4*f-2 （3） 、符号方程的生成函数：数字和变量组陈的代数式方程：函数和等号组成的等式用 sym 函数生成符号方程：equation1=sym(sin(x)+cos(x)=1) 2、符号变量的基本操作（1） 、findsym 函数用于寻找符号变量findsym(f)

3、 ：找出 f 表达式中的符号变量findsym(s,n)：找出表达式s 中 n 个与 x 接近的变量syms a alpha b x1 y findsym(alpha+a+b) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,2) %x1,y findsym(y*(4+3i)+6j) findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,1) %x1 fin

4、dsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,3) %x1,y,b （2） 、任意精确度的符号表达式digits 函数设定所用数值的精度digits：在 command window 显示当前设定的数值精度digits(D)：设置数值的精度为D D=digits：在 command window 中返回当前设定数值精度digits digits(100) D=digits vpa 函数进行可控精度运算R=vpa(S) ：显示符号表达式S在当前精度D 下的值， D 是使用 digits 函数设置的数值精度vpa(S,D)：显示符号表达式S在精度 D 下的值， D 不是当前精度值，只是临时设

5、置的r=vpa(pi) r=vpa(pi,1000) q=vpa(hilb(2) q=vpa(hilb(2),6) （3） 、数值型变量与符号型变量的转换形式数值型变量t 转换成符号型变量有理数形式： sym(t)或 sym(t, r) 浮点数形式： sym(t, f ) 指数形式： sym(t,e) 指数精度形式：sym(t,d) t=0.1 sym(t) sym(t,r) sym(t,f) sym(t,e) sym(t,d) 可以通过digits 函数改变精度digits(7) sym(t,d) 也可以用于矩阵，但是矩阵只能转换为有理数形式A=hilb(4) A=sym(A) A=sym(

6、A,d) %报错A=sym(A,e) %报错A=sym(A,f) %报错3、符号表达式（符号函数）的操作（1） 、四则运算（与通常算术式一样）syms x y a b fun1=sin(x)+cos(y) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . fun2=a+b fun1+fun2 （2） 、合并同类项collect(S,v)：将符号矩阵S中所有同类项合并，并以v 为符号变量输出collect(S)：使用 fi

7、ndsym 函数规定的默认变量，代替上式的v syms x y collect(x2*y+y*x-x2-2*x) f=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x) collect(f) （3） 、因式分解horner(P)：将表达式P进行因式分解syms x fun1=2*x3+2*x2-32*x+40 horner(fun1) fun2=x3-6*x2+11*x-6 horner(fun2) （4） 、简化simplify(S)：将表达式 S中的每个元素都进行简化，即便使用多次simplify 也不一定能得到最简形式syms x fun1=(1/x+7/x2+12/x+8)

8、(1/3) sfy1=simplify(fun1) sfy2=simplify(sfy1) simplify(sin(x)2+cos(x)2) simple(S)：使用多种代数方法对S进行简化，显其中最简单的结果R,how=simple(S)：R为最简结果， how 为简化方法的字符串s=2*cos(x)2-sin(x)2 simple(s) R how=simple(s) simple(f) （5） 、subs 函数用于替换求值subs 函数可以将符号表达式的符号变量替换为数值变量subs(S) ：将 S中自由符号变量用调用函数中的值或是MATLAB工作区间值替换subs(S,new)：将

9、S中自由符号变量用数值型变量或表达式new 替换subs(S,old,new)：将 S中符号变量old 用 数值型变量或表达式new 替换syms x y f=x2*y+5*x*sqrt(y) subs(f) subs(f,x,3) subs(f,y,3) subs(f,3) %与 subs(f,x,3)结果相同用户没指定被替换的符号变量，对单个字母的变量，MATLAB选择在字母表中与x 接近的字母，若有两个变量离x 一样近，则选择字母表中靠后的那个findsym(f,1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

10、心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . syms s t g=s+t findsym(g,1) %找到 t subs(g,1) %替换为 s+1 多个变量替换syms a b subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) 用矩阵替换syms t x y subs(exp(a*t),a,-magic(2) subs(x*y,x,y,0 1;-1 -1,1 -1;-2 1) （6） 、反函数g=finverse(f)：求函数 f 的反函数，返回g 也是符号函数g=finverse(f,v)：设定 f 的自

11、变量是v，当 f 包括不止一个变量时最好使用该命令syms x y f=x2+y finverse(f,y) finverse(f) %由于没指明自变量，给出警告syms x f=x2 g=finverse(f) %x2 的反函数不唯一，默认给出正值fg=simple(compose(g,f) %验证反函数正确性（7） 、复合函数compose(f,g)：返回 f=f(x),g=g(y)的复合函数f(g(y)，x 是 findsym 定义的 f 的符号变量，y 是findsym 定义的 g 的符号变量compose(f,g,z)：返回 f=f(x),g=g(y)的复合函数f(g(z)，返回函数

12、以z 为自变量compose(f,g,x,z)：返回 f(g(z)，x 为函数 f 的独立变量compose(f,g,x,y,z)：返回 f(g(z)，x 为函数 f 的独立变量， y 为函数 g 的独立变量syms x y z t u f=1/(1+x2) g=sin(y) h=xt p=exp(-y/u) compose(f,g) compose(f,g,t) compose(h,g,x,z) compose(h,g,t,z) compose(h,p,x,y,z) compose(h,p,t,u,z) 符号矩阵的生成和运算1、符号矩阵的生成（1） 、使用 sym 函数直接生成符号矩阵a1=

13、sym(1/3 2/3 5/7;9/11 11/13 13/17;17/19 19/23 23/29) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . a1=sym(1/3,0.2+sqrt(2),pi;2/7,sin(x),cos(x),log(x);sin(x)2,sin(22*x),exp(x) %长 度 不 一致的行补 0 （2） 、用生成子矩阵的方法生成符号矩阵与字符串矩阵的直接输入法类似，同一列元素长度须相

14、同（不同补0）a=100,cos(x);1/s,x （3） 、由数值矩阵转换为符号矩阵系统首先将自动在MATLAB工作区间将数值型变量转换为符号型变量，用户也可以用sym 函数进行转换M=30 1 1 1;6 1 5 9;9 8 25 4;32 45 62 0 S=sym(M) M1=0.3 0.33 0.333 1/3;3.14 3.142 3.1416 pi;log(2) log(3) log(5) log(7);sin(1) cos(1) tan(1) atan(1) S1=sym(M1) 2、符号矩阵及符号数组的运算（1） 、符号矩阵的四则运算A+B和 A-B同型矩阵可以分别对对应分量

15、进行加减，若 A 与 B 至少有一个为标量，则把标量扩大为与另一个同型的阵列A*B 为线性代数中定义的矩阵乘法AB 实现左除， X=AB 为符号线性方程组A*X=B 的解， AB 近似等于inv(A)*B，X不存在或不唯一，则产生警告，A 可以是非方阵，要求方程组必须是相容的A/B 实现右除， X=B/A 为符号线性方程组X*A=B 的解， B/A 近似等于B*inv(A) ，X 不存在或不唯一，则产生警告，A 可以是非方阵，要求方程组必须是相容的m=sym(x,x2,x*2,1/x) n=sym(2*x,y,x,x2) m+n m-n m*n %出错mn m/n %出错（2） 、符号数组的四

16、则运算若有标量，则扩展为同型阵列.*乘法./右除左除q=sym(3 4 9 6;x y z w;a b c d) p=sym(x 1/x x2 x3;a b c d;5 2 3 6) q.*p q./p q.p r=q*p %矩阵行列不匹配，出错（3） 、矩阵和数组的逆运算A 实现矩阵的Hermition 转置，若 A为复数矩阵，则A 为共轭转置q=sym(3 4 9 6;x y z w;a b c d) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - -

17、- - - - - - - . . q %符号变量具体值不知，只能用conj 给出q. %普通转置（4） 、矩阵和数组的幂运算AB 实现矩阵幂运算，若A 为标量 B 为方阵， AB 用方阵 B 的特征值与特征向量计算数值。若 A、B均为矩阵，则返回错误A.B 实现数组幂运算，若A 与 B 为同型矩阵，则按对应分量进行计算。若A 与 B 中至少有一个为标量，则现将标量扩大为另一个同型的阵列p=sym(x 1/x x2 x3;a b c d;5 2 3 6) q=sym(3 4 9 6;x y z w;a b c d;1 3 5 7) q2 p2 %p 矩阵不为方阵，报错q.2 p.2 （5） 、

18、符号矩阵的秩rank(A)：求出方阵A 的线性不相关的独立行和列的个数rank(A,tol)：求出比 tol 值大的值的个数，在上个命令中默认tol=max(size(A)*norm(A)*eps a=sym(1 1/x x2;xin(x) cos(x) tan(x);log(x) 2 9) rank(a) （6） 、符号矩阵的逆和行列式运算inv(X)：求方阵X的逆，当 X奇异或者范数很小时，系统给出一个出错信息det(X)：求方阵X的行列式h=sym(hilb(4) inv(h) det(h) b=sym(1 x x2;0 0 sin(x);0 0 log(x) inv(b) %b 矩阵行

19、列式为0，不存在逆，返回FAIL b=sym(1,x;x;x2) inv(b) %矩阵不是方阵，报错符号微积分1、符号极限limit(F,x,a)：计算符号表达式当x趋于 a 时 F=F(x)的极限值limit(F,a)：x 默认为 findsym(F) limit(F) ：a 默认为 0 limit(F,x,a,right ) 或 Limit(F,x,a,left )：计算右极限和左极限limit(sin(x)/x) limit(x-2)/(x2-4),2) limit(1-2*1/x)(3*x),x,inf) limit(1/x,x,0,left) limit(1/x,x,0,right)

20、 limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) 2、符号微分和求导（1） 、diff 函数的使用diff(x)：根据 findsym(x)命令返回的自变量v，求表达式x 的一阶导数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . diff(x,n) ：根据 findsym(x)命令返回的自变量v，求表达式x的 n 阶导数diff(x,v )或 diff(x,sym( v )：对 v 求 x 的一阶导数diff

21、(x, v,n)：对 v 求 x 的 n 阶导数syms x y diff(x3+3*x2+2*x+5) diff(sin(x3),6) diff(sin(x3),x,6) diff(sin(x3),v,6) %对 v 求 x 的 6 阶导数，结果为0 diff(x*y+y2+sin(x)+cos(y),y) diff(x*y+y2+sin(x)+cos(y),y,3) （2） 、jacobian 函数的使用jacobian(f,v)：计算数量或向量f 对向量v 的 jacobi 矩阵，所得矩阵的第i 行第 j 列的数是df(i)/dv(j) ，当 f 为数量的时候， 该命令返回的是f 的梯度

22、，若此时 v 也是数量， 则 jacobian(f,v)等价于 diff(f,v) syms x y z a=x2+x*y;sin(x)*cos(y) jacobian(a,x,y) 3、符号积分int(S)：根据由findsym(S)命令返回的自变量v，求 S的不定积分，其中S为符号矩阵或符号数量int(S,v)：求 S对 v 的不定积分int(S,a,b)：求 a 到 b 的定积分int(S,v,a,b)：求 a 到 b 的定积分syms x x1 alpha u t; A=cos(x*t) sin(x*t);-sin(x*t) cos(x*t) int(1/(1+x2) int(sin(

23、alpha*u),alpha) int(besselj(1,x),x) int(x1*log(1+x1),0,1) int(4*x*t,x,2,sin(t) int(exp(t) exp(alpha*t) int(A,t) 符号积分变换1、Fourier 变换及其逆变换（1） 、Fourier 变换F=fourier(f) ：以 x 为默认独立变量，返回w 的函数，若f 是 w 的函数，则返回的F是 t 的函数F=fourier(f,v)：返回的 F以 v 为自变量fourier(f,u,v) ：返回的函数以v 为自变量， f 以 u 为自变量fourier(1/t) fourier(exp(

24、-x2),x,t) fourier(exp(-t)*sym(Heaviside(t),v) fourier(diff(sym(F(x),x,w) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . （2） 、Fourier 反变换f=ifourier(F) ：以 w 为默认独立变量，默认的返回函数是以x 为自变量的函数，若F以 x为变量，返回函数以t 为自变量f=ifourier(F,u) ：返回的函数f 以 u 为自变量

25、f=ifourier(F,v,u)：返回的函数f 以 u 为自变量， F以 v 为自变量syms t u v w x ifourier(w*exp(-3*w)*sym(Heaviside(w) ifourier(1/(1+w2),u) ifourier(v/(1+w2),v,u) ifourier(sym(fourier(f(x),x,w),w,x) 2、Laplace 变换及其逆变换（1） 、Laplace 变换L=laplace(F)：F以 t 为独立自变量，返回函数L以 s 为变量，若F以 s 为自变量，则L以 t 为自变量L=laplace(F,t) ：返回函数以t 为自变量L-lap

26、lace(F,w,z) ：返回函数L 以 z 为自变量， F以 w 为自变量syms a s t w x laplace(t5) laplace(exp(a*s) laplace(sin(w*x),t) laplace(cos(w*x),w,t) laplace(xsym(3/2),t) laplace(diff(sym(F(t) （2） 、Laplace 反变换F=ilaplace(L)：L 以 s为独立自变量，返回函数以t 为自变量，若L 以 t 为自变量，返回函数以 x 为自变量F=ilaplace(L,x)：返回函数以x 为自变量F=ilaplace(L,y,x)：返回函数以x 为自变

27、量， L 以 y 为自变量syms s t w x y ilaplace(1/(s-1) ilaplace(1/(t2-1) ilaplace(tsym(5/2),x) ilaplace(y/(y2+w2),y,x) ilaplace(sym(laplace(F(x),x,s),s,x) 3、Z 变换及其反变换（1） 、Z变换F=ztrans(f)：返回函数以z 为自变量， f 以 n 为独立自变量，若f 以 z 为自变量，返回函数以w 为自变量F=ztrans(f,w) F=ztrans(f,k,w) syms k n w z ztrans(2n) ztrans(sin(k*n),w) zt

28、rans(cos(k*n),k,z) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . ztrans(cos(k*n),n,w) ztrans(sym(f(n+1) （2） 、Z反变换f=iztrans(F)： F以 z 为独立自变量，f 以 n 为自变量，若F 以 n 为自变量， f 以 k 为自变量f=iztrans(F,k) f=iztrans(F,w,k) syms x z k iztrans(z/(z-2) i

29、ztrans(exp(x/z),z,k) 符号代数方程的求解1、符号线性方程组的求解X=linsolve(A,B)：求解 AX=B的解a=rand(4) b=1;2;3;4 linsolve(a,b) 2、符号非线性方程组的求解F(X)=0 X=fsolve(fun,X0)：以 X0为初始矩阵来求解方程fun，fun 接受输入并返回一个向量，使得F=fun(X) %求解方程组%3*x(1)2-x(2)2=0 %3*x(1)*x(2)2-x(1)2-1=0 建立 myfun2.m 文件function y=myfun2(x) y(1)=3*x(1)2-x(2)2; y(2)=3*x(1)*x(2

30、)2-x(1)2-1; 运行代码x=0.8 0.4 x=fsolve(myfun2,x) 3、一般符号代数方程组的求解solve( eqn1,eqn2,eqnN ) solve( eqn1,eqn2,eqnN, var1,var2,varN ) solve( eqn1,eqn2,eqnN, var1, var2, ,varN ) eqns 是一些具体方程的符号表达式或字符串，而vars 是一些未知的符号变量或未知额的字符串solve(p*sin(x)=r) x y=solve(x2+x*y+y=3,x2-4*x+3=0) S=solve(x2*y2-2*x-1=0,x2-y2-1=0) %S是

31、一个结构体u v=solve(a*u2+v2=0,u-v=1) %a 被作为参数求解关于u 和 v 的方程组S=solve(a*u2+v2=0,u-v=1,a,u) %v 作为参数a u v=solve(a*u2+v2=0,u-v=1,a2-5*a+6) x y=solve(sin(x+y)-exp(x)*y=0,x2-y=2) %系统无法给出符号解，只给出数值解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 符号微分

32、方程的求解dsolve(eqn1,eqn2,eqn3, )：求符号解，初始条件，边界条件也可以算作eqns，默认输出函数的自变量为t，D 表示对 x 一阶微分， D2 表示对 x 二阶微分，以此类推dsolve(Dx = -a*x) x = dsolve(Dx = -a*x,x(0) = 1,s) dsolve(D2y = -a2*y, y(0) = 1, Dy(pi/a) = 0) 图示化符号函数计算器1、单变量符号函数计算器使用 funtool 函数来调用图示化单变量符号函数计算器（1） 、输入框功能f=显示代表函数f 的符号表达式，按Enter 显示图像（图形窗口1）g=显示代表函数g

33、的符号表达式，按Enter 显示图像（图形窗口2）x=显示用于函数f 与 g 的绘制区间，按Enter 改变图像a=显示一个用于改变函数f 的常量因子（2） 、控制按钮的功能运算操作按钮的功能df/dx ：函数 f 的导数int f：函数 f 的积分simple f：化简函数f num f：函数 f 的分子den f：函数 f 的分母1/f ：函数 f 的倒数finv：函数 f 的反函数f+a：用 f(x)+a 代替函数 f(x) f-a：用 f(x)-a 代替函数 f(x) f*a ：用 f(x)*a 代替函数 f(x) f/a ：用 f(x)/a 代替函数 f(x) fa：用 f(x)a

34、代替函数 f(x) f(x+a)：用 f(x+a)代替函数 f(x) f(x*a) ：用 f(x*a)代替函数 f(x) f+g：用 f(x)+g(x)代替函数 f(x) f-g：用 f(x)-g(x)代替函数 f(x) f*g ：用 f(x)*g(x) 代替函数 f(x) f/g ：用 f(x)/g(x) 代替函数 f(x) g=f: f*g ：用 f(x)代替函数 g(x) swap：函数 f(x)与 g(x)互换系统操作按钮的功能Insert；将函数f(x)保存到函数内存列表中的最后Cycle：用内存函数列表中的第二项代替函数f(x) Delete：从内存函数列表中删除函数f(x) Re

35、set：重新设计计算器为初始状态Help：显示在线的关于计算器的帮助Demo：运行该计算器的演示程序名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . Close：关闭计算器的三个窗口2、泰勒级数逼近计算器使用 taylortool 函数来调用图示化泰勒级数逼近计算器绘制函数f 的前 N 阶泰勒级数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

36、理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 利用 Maple 的深层符号计算资源MATLAB2010a已经不再支持maple 内核名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - . . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -