2022年2022年集合知识点总结及典型例题 .pdf

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1、集合一 【课标要求】1集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二 【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与

2、集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查， 并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体三 【要点精讲】1集合：某些指定的对象集在一起成为集合（ 1） 集合中的对象称元素，若 a 是集合 A 的元素，记作；若 b 不是集合A 的元素，记作；（ 2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设 A 是一个给定的集合，x是某一

3、个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性： 集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（ 3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体

4、问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作 N；正整数集，记作N*或 N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。2集合的包含关系：（1）集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是 B 的子集（或B 包含 A） ，记作 AB（或） ；AaAbBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 集合相等：构成两

5、个集合的元素完全一样。若 AB且 BA， 则称 A 等于 B， 记作 A=B；若 AB 且 AB，则称 A是 B 的真子集，记作AB；（2）简单性质： 1）AA；2）A；3）若 AB，BC，则 AC；4）若集合A是 n 个元素的集合，则集合A 有 2n个子集（其中2n1 个真子集）；3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若 S是一个集合， AS ，则，=称 S中子集 A 的补集；（3）简单性质： 1）()=A；2）S=，=S4交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A 与 B的交集。交集。（2）一般地，由

6、所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与 B的并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是 “且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（1）（2）（3）（4）；（5）（AB）=（A）（B） ，（AB）=（A）（B） 。四 【典例解析】题型 1：集合的概念(2009 湖南卷理 )某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜

7、爱乒乓球运动的人数为_12_ 答案：12解析设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人数为12 人。例 1已知全集，集合和SC|AxSxx且SCSCSCSC|BxAxxBA且|BxAxxBA或并集;,ABBAAAAA;,ABBAAA);()(BABABBABAABABA;SCSCSCSCSCSCx(15)x(10)x(15)(10)830 xxx3x1512xUR212Mxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，

8、共 13 页 - - - - - - - - - 的关系的韦恩（Venn）图如图1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) A. 3个 B. 2个C. 1 个 D. 无穷多个答案 B 解析由得，则，有 2 个，选 B. 例 2集合, 若, 则的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D 解析, 故选 D. 【命题立意】 : 本题考查了集合的并集运算, 并用观察法得到相对应的元素, 从而求得答案,本题属于容易题. 题型 2：集合的性质例 3集合, 若, 则的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D 解析, 故选 D. 【命题立意】 : 本题考查了集合的并集运算, 并用观

9、察法得到相对应的元素, 从而求得答案,本题属于容易题. 随堂练习1. 设全集U=R ，A=x N1x10 ，B= x Rx 2+ x 6=0 ，则下图中阴影表示的集合为（）A2 B3 C 3，2 D2，3 2.已知集合 A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0,B=y|y2-6y+80 ，若AB，则实数 a 的取值范围为（） 21,1,2,Nx xkk212Mxx31x3, 1NM0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16ABa0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16AB2164aa4a0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16ABa0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16AB2

10、164aa4a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 分析 ：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑 从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想本题若直接求解，情形较复杂， 也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答解：由题知可解得 A=y|ya2+1 或

11、ya, B=y|2 y4, 我们不妨先考虑当AB时 a 的范围如图由，得或. 即 AB时 a 的范围为或. 而 AB时 a 的范围显然是其补集 , 从而所求范围为. 评注 ：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想” 例 4已知全集，A=1,如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由解：；，即0，解得当时，为 A 中元素；当时，当时，这样的实数x 存在，是或。另法：，0 且4122aa332aaa或3a23a3a23a332|aaa或321,3,2 Sxxx21x0ACSxx 0ACSAS00且322xxx123

12、0,1,2xxx0 x112x1xSx3122x213xS1x2x0ACSAS00且3A322xxx213x24a2+1a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 或。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，” 不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。变式题：已知集合，,求的值。解：由可知，（1），或（ 2）解（ 1）得，解（ 2）得，又因为当时，与题意不符，所以，。题型

13、 3：集合的运算例 5 已知函数的定义域集合是A, 函数的定义域集合是B （1）求集合 A、B（2）若 AB=B, 求实数的取值范围解（1） AB（2）由 ABB得 AB，因此所以, 所以实数的取值范围是例 6已知集合, 则( ) A. B. C. D.答案 A 1x2x0 x112x0ACSAS00且2,2 ,Am md mdBm mq mq0m其中AB且qBA22mqdmmqdmmqdmmqdm221q21, 1qq或1q2mqmqm21q1( )2xf xx22( )lg(21)g xxaxaaa|12x xx或|1x xaxa或112aa11aa1,11,3,5,7,9 ,0,3,6,

14、9,12ABNAC BI1,5,73,5,71,3,91,2,3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 解析易有，选 A 点评：该题考察了集合的交、补运算。题型 4：图解法解集合问题例 7 （广西北海九中训练）已知集合 M =， N=，则（）ABCD答案C例 8 1. 设全集，函数的定义域为A，集合，若恰好有 2 个元素，求a的取值集合。解：时，当时，在此区间上恰有2 个偶数。2、，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

15、，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质（I ）对任何具有性质的集合，证明：；（II ）判断和的大小关系，并证明你的结论NAC B1,5,7149|22yxx123|yxyNM)0,2(),0, 3(3 , 32, 3R)1)(1|1lg(|)(aaxxf 1cos|xxBBAC)(axax1|1|01|1|1a01a2axax或),()2,(aaAkxx2,1cos)(2zkkx,2|zkkxxB1a,2aaAC0222421aaaaa12(2)kAaaak， ，(12)iaikZ， ，A()Sab aAbAabA，()Tab aAbAabA，()ab

16、，STmnaAaAAPPA(1)2k knmn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 解： （I ）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个因为，所以；又 因 为 当时，时 ， 所 以 当时 ，从而，集合中元素的个数最多为，即（II ）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对

17、于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（ 1） （2）可知，例 9向 50 名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对A、B 都不赞成的学生数比对A、B 都赞成的学生数的三分之一多1 人。问对A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成 A 的人数为 50=30，赞成 B 的人数为30+3=33，如上图，记50 名学生组成的集合为U，赞成事件 A 的学生全体

18、为集合A；赞成事件B 的学生全体为集合 B。设对事件A、B 都赞成的学生人数为x, 则对 A、B都不赞成的学生人数为+1, 赞成 A 而不赞成 B 的人数为30 x，赞成 B 而不赞成A 的人数A()ijaa，2k0A()(1 2)iiaaT ik， ，aAaAaA()ijaaT，()(12)jiaaT ijk， ，T21(1)()22k kkk(1)2k kn mn()abS，aAbAabA()abbT，()ab，()cd，Sacbdabcdbd()abb，()cdd，TSTmn()abT，aAbAabA()abbS，()ab，()cd，Tacbdabcdbd()abb，()cdd，STSn

19、mmn533xX3+133-XX30-XUBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 为 33x。依题意 (30 x)+(33 x)+ x+(+1)=50, 解得 x=21。所以对A、B 都赞成的同学有21 人，都不赞成的有8 人 。点评： 在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等， 需要考生切实掌握。 本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本

20、题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。例 10求 1 到 200 这 200 个数中既不是2 的倍数，又不是3 的倍数，也不是5 的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出Venn 图，不难看出不符合条件的数共有（ 2002）（ 2003）(2005) (20010)(2006)(20015) (20030)146 所以，符合条件的数共有20014654（个）点评：分析 200 个数分为两类， 即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型 7：集合综合题例 11 （199

21、9 上海， 17）设集合 A=x| xa|2 ，B=x|1，若 AB，求实数a 的取值范围。解：由 | xa|2 ，得 a2xa+2，所以 A=x| a2xa+2。由1，得0，即 2x3，所以 B=x| 2x0,0，这时集合 A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正， 另外， 由于 a1=10 如果 AB，那么据 (2)的结论， AB中至多有一个元素(x0,y0),而 x0=0,y0=0，这样的 (x0,y0)A,产生矛盾，故a1=1,d=1 时 AB=，所以 a10 时，一定有AB是不正确的。点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：（）设集合，,

22、求实数 m的取值范围 . 分析：关键是准确理解的具体意义，首先要从数学意义上解释的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。解：的取值范围是UM=m|m-2. 1412121221yxaxy12124aa1211214424aayaaynSn5224121aa43201xa,0|,0422|2xxBmxxxABA若BABA042,232020)32(4,0422|,0422212122mxxmxxmmxxxmMmxx则两根均为非负实数的方程关于设至少有一个负实数根方程命题23| 0|232|mmmUmmM设全集m.21321320321)(mmmmx方程的小根命题解法二名师资料总结 - - -精品

23、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - （解法三） 设这是开口向上的抛物线，则二次函数性质知命题又等价于注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。（）已知两个正整数集合A=a1,a2,a3,a4, 、B. 分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据 “交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，（）分析：正确理解要使, 由当 k=0 时，方程有解,不合题意；当又由由，,42)(2xxxf0

24、1x其对称轴,20)0(mf432124232221,aaaaaaaaB其中ABAaaaaBA求集合的所有元素之和是且且若,124,10,4141.81,25,9 ,1,9, 5,3 , 1,;,5, 3,)2(; 512494,81,9,3 , 1,3,) 1(,9,10, 1,132342332332332422424441121141242322214321BAaaaaaaaaaaBAaaaaaaaaaaaaaBAaaaaaaaa综上不合与条件矛盾同样可得则若则若而只可能有,05224|),(,1|),(22yxxyxBxyyxA设集合.,)(,|),(试证明你的结论使问是否存在自然数C

25、BAbkbkxyyxC.,)(题并转化为具体的数学问CBACBCACBCACBA且必须,)()()(,01) 12(12222bxkbxkbkxyxy12bxkkbbkkbk4140)1(4)12(022221得时由,025)1(240522422bxkxbkxyyxx8)1(200)25(16)1 (4222kbbk得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 由、得b 为自然数，b=2，代入、得k=1 点评：这是一组

26、关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。题型 6：课标创新题例 13七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？解：设集合A=甲站在最左端的位置，B=甲站在最右端的位置，C=乙站在正中间的位置，D=丙站在正中间的位置，则集合 A、B、C、D 的关系如图所示，不同的排法有种. 点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。

27、例 14A 是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意，都有； 存在常数，使得对任意的，都有（ 1）设，证明：（ 2）设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的 ; （ 3）设,任取,令证明 :给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式H。解：对任意,所以对任意的，,820, 141bkkb而264044556677AAA4,2)(x2, 1x)2, 1()2( x)10(LL2 , 1 ,21xx|)2()2(|2121xxLxx4, 2,1)(3xxxAx)(Ax)()2, 1(0 x)2(00 xx0 xAx)()2, 1(lx, 2, 1),2(1nxxnn|1|121xxLLxx

28、kklk2, 1x2 , 1,21)2(3xxx33)2( x35253133)2, 1()2( x 2, 1,21xx23232132121211121212|)2()2(|xxxxxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - ，所以 0, 令=，所以反证法：设存在两个使得,。则由，得，所以，矛盾，故结论成立。，所以+。点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新

29、颖五 【思维总结】集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、=、A、，等等；2强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn 图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据 “Venn 图”来加深对集合的理解，一个集合能化简 （或332321321112121xxxx3232321

30、3211121212xxxx322323213211121212xxxxL10L|)2()2(|2121xxLxxAx)(0000),2, 1(,xxxx)2(00 xx)2(00 xx|)2()2(|/00/00 xxLxx|/00/00 xxLxx1L121223)2()2(xxLxxxx1211xxLxxnnn|1|1211211xxLLxxxxxxxxkkkpkpkpkpkkpkkkpkpkpkpkxxxxxx1211123122xxLxxLpkpk121xxLk1211xxLLKSC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

31、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 求解），一般应考虑先化简（或求解）；3确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 区别与、与、a 与 a 、与 、(1,2)与1,2 ； AB 时， A 有两种情况： A与 A若集合A 中有 n个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是1, 所有非空真子集的个数是区分集合中元素的形式：如；。空集是指不含任何元素的集合。、和的区别； 0 与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非

32、空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力)(Nnn2n222n 12|2xxyxA 12|2xxyyB 12|),(2xxyyxC 12|2xxxxD, 12|),(2ZyZxxxyyxE 12|) ,(2xxyyxF, 12|2xyzxxyzG0BAA,?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -