2022年2022年集合与函数概念知识点总结 2.pdf

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1、1 集合一、集合有关概念1、集合的含义 ：某些指定的对象集在一起就成为一个，其中每一个对象叫。2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性； 2. 元素的互异性； 3. 元素的无序性说明：(1) 对于一个给定的集合， 集合中的元素是确定的， 任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。体现了集合中的元素的特性。(2) 任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。体现了集合中的元素的特性。(3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。体现了集合中的元素的特性。(4)

2、集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示： , 如 我校的篮球队员 ，太平洋 ,大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 （1） 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 （2） 集合的表示方法：法与法和自然语言法。注意常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：正整数集记作：整数集记作：有理数集记作：实数集记作：4、关于 “属于” 的概念集合的元素通常用的拉丁字母表示，如： a 是集合 A的元素，就说 a 属于集合 A 记作，相反， a 不属于集合 A 记作。 5 、法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。法：将集合中的元素的公共属性描

3、述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x R| x-32 或。6、集合的分类：（1）集含有有限个元素的集合（2）集含有无限个元素的集合（3）集不含任何元素的集合例：x|x2=5，记作名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 二、集合间的基本关系1. 子集：一般地，对于两个集合A，B，如果

4、集合中的任意一个元素都是集合 B中的元素，我们就说两个集合有关系，称集合 A为集合的，记作或 （） ， 读作 A含于 B或 （） 。注意： 有两种可能（ 1）A是 B的一部分。 VENN 图表示：（2）A与 B是同一集合。 VENN 图表示：2“相等”关系实例： 设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A的任何一个元素都是集合的元素，同时, 集合 B的任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合A 集合 B，即：A=B 任何一个集合是它本身的。A A 真子集 : 如果 A B, 且 A B ，那就说集合 A是集合 B的真子集，记作 A B( 或

5、 B A)。如果集合 A B ，但存在元素 X B ，且 X A ，我们称集合 A是集合 B的真子集。 如果 A B, B C ,那么 A C。 如果 A B 同时 B A ，那么 A=B 。规定: 空集是任何集合的， 空集是任何非空集合的。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于集合A 属于 B的元素所组成的集合 , 叫做 A,B 的交集记作 (读作”A 交 B”)，即 AB=x|x A，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 属于集合 B的元素所组成的集合， 叫做 A,B 的并集。记作：读作”A 并 B”)，即 AB=x|x A，或 xB3、交集与并集的性质 ：AA =,

6、A=, AB = BA，AA = , A= ,AB = B A. 4、全集与补集（1）全集：如果集合 S含有我们所要研究的各个集合的元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。（2）补集 ：设 S是一个集合， A是 S中的一个子集（即），由 S中所有不属于的元素组成的集合，叫做 S中子集 A的（或余集）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 记作：即 .Venn图表示：函数及其表示1函数的概念 ：设 A 、B是

7、非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f ：AB为从集合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)， xA 其中，叫做自变量，X的取值范围 A叫做函数的；与 x 的值相对应的 y 值叫做， 函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的注意：如果只给出解析式y=f(x) ， 而没有指明它的 定义域 ，则函数的定义域即是指能使这个式子的实数的集合；函数的 定义域、值域 要写成或的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的 分母不等于； (2)

8、偶次方根 的被开方数零；(3) 对数式的真数 必须； (4)指数、对数式的底数必须； (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分 都有意义 的的值组成的集合 . （6）指数为零底数不可以零(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ( 又注意： 求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2. 构成函数的 三要素 ：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的和完 全一致， 即称这两个函数（或为同一函数）（2） 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系

9、完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法： 表达式相同；定义域一致( 两点必须 同时具备) 3. 值域补充(1) 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2) 应熟悉掌握 一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域 ，它是求解复杂函数值域的基础。4. 函数图象 知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x， y) 的集合 C ，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

10、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 C上每一点的坐标 (x ，y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x ，y) ，均在 C上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C一般的是一条光滑的 连续曲线(或直线 ), 也可能是由与任意平行与 Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点 组成。(2) 画法A、描点法 ：根据函数解析式和定义域， 求出 x,y 的一些对应值并列表， 以(x,

11、y) 为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。5了解 区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示6什么叫做 映射一般地，设 A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 A中的任意一个元素x，在集合 B中都有的元素 y 与之对应，那么就称对应f ：AB为从集合 A到集合 B的一个

12、。说明： 函数是一种 特殊的映射 ，映射是一种特殊的对应，集合 A、B及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性”， 即强调从集合 A到集合 B的对应，它与从 B到 A的对应关系一般是不同的；对于映射 f ：AB 来说，则应满足：（）集合 A中的每一个元素， 在集合 B中都有象， 并且象是唯一的；（）集合 A中不同的元素， 在集合 B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B中的每一个元素在集合A中都有原象。7. 常用的 函数表示法 及各自的优点：（1）图象法 ：描点法 作图要注意：确定函数的 定义域 ；化简函数的 解析式 ；观察函数的 特征；函数图象 既可以是连续的曲线， 也可以是直线、折

13、线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；（2 ）解析法 ：必须注明函数的 定义域；（3） 列表法 ：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意：法：便于算出函数值 。法：便于查出函数值。法：便于量出函数值补充一： 分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况 （1） 分段函数是一个函数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

14、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的 并集，值域是各段值域的 并集补充二： 复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA), 则 y=fg(x)=F(x)，(x A) 称为 f 、g 的复合函数。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 8函数单调性（1）增函数设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2) ， 那么就说 f

15、(x) 在区间 D上是增函数。区间 D称为 y=f(x)的单调增区间 （清楚课本单调区间的概念）如果对于区间 D上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数. 区间 D称为 y=f(x) 的单调减区间 . 注意： 1 函数的单调性是在 定义域内的某个区间 上的性质，是函数的 局部性质；2 必须是对于区间 D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2 时，总有f(x1)f(x2)。（2） 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，在单

16、调区间上 增函数 的图象从 左到右是上升 的，减函数 的图象从左到右是下降 的. (3). 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法 ：1 任取 x1，x2D ，且 x1x2；2 作差 f(x1) f(x2) ；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差 f(x1) f(x2) 的正负）；5 下结论（指出函数 f(x) 在给定的区间 D上的单调性）(B) 图象法 ( 从图象上看升降 )_ 注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 9函数的奇偶性（1）偶函数一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的 任意一个 x，都有，那么 f(

17、x) 就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的 任意一个 x，都有，那么 f(x) 就叫做奇函数注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的 整体性质 ； 函数可能没有 奇偶性,也可能 既是奇函数又是偶函数 。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x 也一定是定义域内的一个自变量 （即定义域关于原点对称 ）（3）具有 奇偶性 的函数的 图象的特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

18、名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 总结：利用定义 判断函数奇偶性的格式步骤：（1 ）首先确定函数的 定义域 ，并判断其定义域是否关于对称；（2 ）确定与 f(x) 的关系；（3 ）作出相应结论：若f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x) 是函数；若 f( x) =f(x) 或 f( x)f(x) = 0，则 f(x) 是函数注意： 函数定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的 必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 . 若对称，(1) 再根据定义判定; (2)

19、 有时判定 f(- x)=f(x) 比较困难，可考虑根据是否有 f(- x) f(x)=0或 f(x)/f(-x)=1 来判定 ; (3) 利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式（1）. 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时一是要求出它们之间的对应法则 ，二是要求出函数的 定义域 . （2）. 求函数的解析式的 主要方法 有：待定系数法、 换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数 fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方

20、法求出f(x) 10函数 最大（小）值 （定义见课本 p31 页）（1） 利用二次函数的性质 （配方法）求函数的最大（小）值（2 ）利用 图象求函数的最大（小）值（3 ）利用 函数单调性 的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x) 在区间 a ，b 上单调 递增，在区间b ，c 上单调 递减 则函数 y=f(x) 在 x=b处有最大值；如果函数 y=f(x) 在区间 a ，b 上单调 递减，在区间b ，c 上单调 递增 则函数 y=f(x) 在 x=b处有最小值f(b) ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -