2022年导数中的构造函数问题 .pdf

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1、1 专题：导数中的构造函数问题一：填空题1. 设f (x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0 ，且g(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)0 的解集是变式 .设f(x), g(x) 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0， 且f(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)0 的解集是2已知定义域为R的函数( )f x满足(1)3f，且( )f x的导数( )21fxx，则不等式2(2 )421fxxx的解集为 . 1(,)2变式 1 已知( )f x为定义在 (0,+ ) 上的可导函数 , 且( )( )f xxfx恒成立 , 则不等式0)()1(2xfxfx的解集为),

2、1(变式 2函数( )f x ()xR满足(1)1f，1( )2fx，则不等式221()22xf x的解集为 _. 【答案】(, 1)(1,)x【解析】试题分析：利用换元法，将2x换元成t，则原式化为1( )22tf t，当1t时，( )1f t，且1122t，又由1( )2ft，可知当1t时，1( )22tf t；当1t时，1( )22tf t. 故1( )22tf t的解集为1t，即21x，因此(, 1)(1,)x. 考点：导数 , 不等式的解法3已知21( )ln(0)2f xaxxa，若对任意两个不等的正实数12,x x都有1212()()2fxfxxx恒成立，则a的取值范围是【答案】

3、1,)【解析】试题分析：21( )ln(0)2f xaxxa，对任意两个不等的正实数12,x x都有1212()()2f xfxxx恒成立，所以( )2(0)afxxxx恒成立，22axx恒成立，令22( )2(1)1g xxxx，则max( )ag x，因为22( )2(1)1g xxxx为开口方向向下，对称轴为1x的抛物线，当1x时，2( )2g xxx取得最大值(1)1g，1a即a的取值范围是1,)考点：函数恒成立问题2 已 知 函 数2( )ln(1)f xaxx， 若 在 区 间 （ 0， 1） 内 任 取 两 个 实 数p， q， 且pq ， 不 等 式(1)(1)1fpf qpq

4、恒成立，则实数a 的取值范围是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - 2 【答案】15,)【解析】试题分析：由于(1)(1)fpf qpq表示点(1,(1)pfp与点(1,(1)qf q连线的斜率，因实数p，q在区间(0,1)内，故1p和1q在区间(1,2)内不等式(1)(1)1fpf qpq恒成立，函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1 在(1,2)内恒成立 由函数的定义域知，1x，

5、f （ x ） = 2x 1 在(1,2)内 恒 成 立 即2231axx在(1,2)内 恒 成 立 由 于 二 次 函 数2231yxx在1,2上是单调增函数， 故2x时，2231yxx在1,2上取最大值为15，15a，故答案为15,)考点：不等式；函数恒成立问题4设)(xf、)(xg分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0 时，0)()()()(xgxfxgxf，且0)3(g，则不等式0)()(xgxf的解集是【答案】(, 3)(0,3)【解析】试题分析： 根据题意可知( )( )( )( )( )( )0fx g xf x gxf xg x，令( )( )( )F xf x g x， 可

6、知(3)0F，函数( )F x在(,0)上是增函数，又根据条件可知( )F x是奇函数，根据函数图像的对称性，可知不等式0)()(xgxf的解集是(, 3)(0,3)考点：函数的奇偶性，函数单调性，数形结合思想5已知函数fx（Rx）满足11f，且fx的导数12fx，则不等式22122xfx的解集为【答案】11（， ）（，）【解析】试题分析：设12Fxfxx根据题意可得函数F x（ ）在 R 上单调递减，然后根据22122xfx可得221122xf xf（）（），最后根据单调性可求出x 的取值范围设12Fxfxx，111,0222FxfxfxFxfx（ ）（ ）（ ）（ ），即函数 F（x）在

7、R上单调递减，2222211,112222xxfxf xfFxF（）（），而函数 F（x）在 R上单调递减，21x，即11x （， ）（，），故答案为：11（， ）（，）考点：导数的运算；其它不等式的解法6函数 y=f （x）是定义在R 上的偶函数，当x0 时， f （x）xf （ x）0 的解集为【答案】, 40,4【解析】试题分析：0,( )0( )xxf xxf x在 x0 时单调递减 ,f （-4 ）=0, 由 f（x）是偶函数得xf （x）是奇函数，所以( )0 xf x的解集是, 40,4考点：构造函数研究单调性，解抽象不等式.7函数( )f x是定义在R上的偶函数，( 2)0f，

8、且0 x时，( )( )0f xxfx，则不等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - 3 式( )0 xf x的解集是 .【答案】2,02,【解析】试题分析： 令( )( )g xxf x，则( )g x为R上的奇函数， 且( 2)0g，由题意得：0 x时，( )0g x；所以0 x时，( )0g x解集为2,，0 x时，由奇函数性质知( )0g x解集为2,0 .考点：函数性质综合应用8已知fx为定义在0,上的可导函

9、数，且fxxfx，则不等式210 x ffxx的解集为【答案】01xx【解析】试 题 分 析 ： 设fxg xx， 则2fxxfxgxx，fxxfx，0 xfxfx，0gx，g x在0,上为减函数，21( )0 x ff xx，0 x，1( )1ff xxxx， 即1( )gg xx，10 xx，01x考点： 1 用导数求函数的单调性；2用单调性解不等式【思路点晴】 将fxxfx变形可得0 xfxfx，进而会想到构造函数fxg xx，求gx，根据gx的正负可得函数fxg xx的增减性根据单调性可解得不等式9 已知定义域为R的函数( )f x满足(1)3f，且( )f x的导数( )21fxx，

10、则不等式2(2 )421fxxx的解集为【答案】1(,)2【解析】试题分析：设22ttxx2(2 )421fxxx化为21fttt，设21g tf ttt210gtfttg x单调递减，1130gf0g t的解集为112tx考点： 1函数导数与单调性；2不等式与函数的转化10已知函数fx的定义域是R，fx是fx的导数，1fe，g xfxfx，10g，g x的导数恒大于零，函数xh xfxe（2.71828e是自然对数的底数）的最小值是【答案】0【解析】试题分析：令( )( )xf xF xe，则2( )( )( )( )( )( )xxxxxfx ee f xfxf xg xFxeee，因为g

11、 x的导数恒大于零，所以g x在区间(,)上是增函数，又(1)1110gfffe，所以1fe，在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - 4 区间(,1)上，(1)0g xfxfxg，即( )0Fx，所以在区间(,1上，( )F x单调递减，在区间(1,)上，(1)0g xfxfxg，即( )0Fx，所以在区间1,)上，( )F x单调递增，所以函数( )( )xf xF xe的最小值为max(1)( )(1)1fF x

12、Fe，所以对任意xR有，( )( )1xf xF xe，即( )xf xe，所以0 xh xfxe，又110hfe，所以函数( )h x的最小值为0.考点： 1. 导数与函数的单调性、最值；2. 函数与不等式 .二解答题：1. 已知函数f(x)=21x2ax+(a 1)ln x，1a。 （ 1）讨论函数( )f x的单调性；（2）证明：若5a，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有1212()()1f xf xxx。解： (1)( )f x的定义域为(0,)。211(1)(1)( )axaxaxxafxxaxxx2 分（i ）若11a即2a, 则2(1)( )xfxx故( )f x在(0,)

13、单调增加。(ii)若11a, 而1a, 故12a, 则当(1,1)xa时，( )0fx; 当(0,1)xa及(1,)x时，( )0fx故( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加。(iii)若11a, 即2a, 同理可得( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加 . (II)考虑函数( )( )g xf xx21(1)ln2xaxaxx则211( )(1)2(1)1 (1 1)aag xxaxaaxxg由于1a5, 故( )0g x，即g(x) 在 (4, + ) 单调增加，从而当120 xx时有12()()0g xg x，即1212()()

14、0f xfxxx，故1212()()1f xf xxx，当120 xx时，有12211221()()()()1fxfxfxfxxxxx 12 分2. 已知函数2( )(1)ln1f xaxax（）讨论函数( )fx的单调性；（）设2a，证明：对任意12,(0,)x x，1212|()() | 4|f xf xxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - 5 3. 已知0,1x，函数21( )ln()2f xxx，32(

15、)34g xxa xa（1）求)(xf的单调区间和值域； （2）设1a，若10,1x，总00,1x，使得)()(10 xfxg成立，求a的取值范围；（3）对于任意的正整数n，求证：21112ln12nnn （注：11ln122xx）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6 解： （ 1）令/1( )2012fxxx，解得12x，1x舍去由下表：x0 （0，12）12（12，1）1 )(xf0 + )(xfln 214

16、31ln2,3 分可知，)(xf的单调递减区间是（0，12） ，递增区间是（12，1） ；,4 分当 1 ,0 x时，)(xf的值域为 14，ln 2 （14=4lne31ln2=2ln3eln 2）,6 分（2）22( )3()g xxa，当1a，)1 ,0(x时，2( )3(1)0g xa，)(xg为0,1上的减函数，从而当 1 ,0 x时有()(gxgg=2143, 4 aaa,7 分由题意，21143, 4 ,ln 24aaa，,9 分即2114344ln 2aaa解式得1362aa或；解式得1ln 24a又1a，故a的取值范围为32a,11 分（3）构造函数21( )21( )21l

17、n()2h xxf xxxx，则22( )222(1)2121h xxxxx， 当0, 1x时 ，/( )0hx， 函 数( )h x在0,1上 单 调 递增，,14 分又(0)1ln 20h， 0 , 1x时 ， 恒 有( )(0)0h xh， 即2121l n ()2xxx恒 成立，,15 分故对任意正整数n，取10,1xn，有21112ln12nnn,16 4. 已知函数32( )3xf xbxcx，112b且0) 1(/f。 （） 求实数c的取值范围；（）设0 x是函数)(xf的一个极值点，试比较)4(0 xf与)3(f的大小；（）证明：对任意实数211xx, 关于 x 的方程：0)(

18、)()(1212/xxxfxfxf在),(21xx恒有实数解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - 7 解： （）/(1)12021fbccb,且112b，则30c实数c的取值范围为( 3,0)（）22( )2(1)(1)()fxxbxcxcxcxxc 因为设0 x是函数)(xf的一个极值点， 则0 x的值可能为0 xc或01x当01x时，043x，0(4)( 3)f xf当0 xc时04443xcc32( )3xf

19、 xbxcx在(, ) c上单调增，0(4)( 3)f xf所以0(4)( 3)f xf（）对任意实数211xx, 关于 x 的方程：/2222111 221221()()1( )2 ()()03f xf xfxxbxcxx xxb xxcxx在),(21xx上 恒有解。记22211 22121( )2()()3h xxbxxx xxb xx即证明( )0h x在12(,)x x上恒有解。22222211111 22121211 2121111()2 ()()()()3333h xxbxxx xxb xxxxxx xb xx12121()(23 )3xxxxb同理212211()()(23 )

20、3h xxxxxb2121212211()()() (23 )(23 )9h xh xxxxxbxxb211xx，122111230,2302bxxbxxb12()()0h xh x即( )0h x在12(,)x x上恒有解。所以对任意实数211xx, 关于 x 的方程：/2222111 221221()()1( )2 ()()03f xf xfxxbxcxx xxb xxcxx在),(21xx上恒有解5 （本小题满分16 分）已知函数( )lnf xx ，2( )( )g xf xaxbx，其中函数( )yg x 的图象在点 (1, (1)g处的切线平行于x轴（1）确定 a与b的关系；（2）

21、若0a，试讨论函数( )g x的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数( )yf x 的图象交于两点1122(,),(,)A xyB xy12()xx，求证：2111kxx【答案】 （ 1）21ba（ 2）当0a时，在(1,)单调减函数，在(0,1 )单调增；当102a时，在(11,)2a上单调减； 在(12,)a和(0,1)单调增； 当12a时，在(0,)单调增； 当12a时( )g x在(1,)和(0,12)a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 -

22、 - - - - - - - - 8 单调增；在(1,1)2a单调减（ 3）详见解析【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义，确定a与b的关系：(1)120gab21ba（2）根据导函数零点分布情况依次讨论：由(21)(1)( )(0)axxgxxx知需分0a，102a，12a，12a四种情况讨论 （3）先分析所证不等式结构，设210 xx，21212211lnln1111xxkxxxxxx21212121lnlnxxxxxxxx22211111ln1xxxxxx，再构造函数进行论证：( )ln1(1)h xxxx，1( )ln1(1)H xxxx试题解析：（1）22( )( )lng xf

23、xaxbxxaxbx，1( )2g xaxbx，由题意得(1)120gab，21ba；（2）11(21)(1)( )2221(0)axxg xaxbaxaxxxx，当0a时，(1)( )(0)xgxxx，当1x时，( )0g x，函数( )g x在(1,)单调减；当01x时，( )0gx，函数( )g x在(0,1)单调增；当102a时，即112a，12 ()(1)2( )(0)a xxag xxx，函数( )g x在(11,)2a上单调减；函数( )g x在(12,)a和(0,1)单调增；当12a时，即21a，2(1)( )0(0)xg xxx，函数( )g x在(0,)单调增；当12a时即

24、112a，12 ()(1)2( )(0)a xxag xxx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - 9 函数( )g x在(1,1)2a单调减区间；函数( )g x在(1,)和(0,12)a 单调增；（3）由题设210 xx，21212211lnln1111xxkxxxxxx21212121lnlnxxxxxxxx22211111ln1xxxxxx令( )ln1(1)h xxxx，则11( )1(1)xhxxxx，1

25、x时，( )0h x，函数( )h x在(1,)是减函数，而(1)0h，1x时，( )(1)0h xh210 xx，211xx，222111()ln10 xxxhxxx，即2211ln1xxxx， 令1( )ln1(1)H xxxx，则22111( )(1)xHxxxxx，1x时，( )0Hx，( )H x在(1,)是增函数，1x时，( )(1)0H xH，2221111()ln10 xxHxxxx，即221111lnxxxx由得2111kxx考点：导数几何意义，利用导数求函数单调性，利用导数证不等式6 （本题满分16 分）已知函数1( )lnf xxx，( )g xaxb（1）若函数( )(

26、 )( )h xf xg x在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线( )g xaxb是函数1( )lnf xxx图象的切线，求ab的最小值；（3）当0b时，若( )fx与( )g x的图象有两个交点1122(,),(,)A x yB xy，求证：12x x22e （取e为2.8，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - 10 取ln 2为0.7，取2为1.4）【答案】（1）(,0（2）1 （3）详见解析【

27、解析】试题解析：解： （1）( )( )( )h xf xg x1ln xaxbx, 则211( )h xaxx，( )( )( )h xf xg x在(0,)上单调递增，对0 x，都有211( )0h xaxx，即对0 x，都有211axx，2110 xx，0a，故实数a的取值范围是(,0 4分（2）设切点0001(,ln)xxx，则切线方程为002000111(ln)()()yxxxxxx，即00220000011111()()(ln)yxxxxxxxx，亦即02000112()(ln1)yxxxxx，令010tx，由题意得202000112,ln1ln21attbxttxxx， 7分令2

28、( )ln1abtttt，则1(21)(1)( )21tttttt，当(0,1)t时 ，( )0t，( ) t在(0,1)上单调递减；当(1,)t时，( )0t，( ) t在(1,)上单调递增，( )(1)1abt，故ab的最小值为1 10分（3）由题意知1111ln xaxx，2221ln xaxx，两式相加得12121212ln()xxx xa xxx x，两式相减得21221112ln()xxxa xxxx x，即212112ln1xxaxxx x，21211212122112ln1ln()()xxxxx xxxx xxxx x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

29、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - 11 即1212212122112()lnlnxxxxxx xx xxxx， 12分不妨令120 xx，记211xtx，令2(1)( )ln(1)1tF tttt，则2(1)( )0(1)tF tt t，2(1)( )ln1tF ttt在(1,)上单调递增，则2(1)( )ln(1)01tF ttFt，2(1)ln1ttt，则2211122()lnxxxxxx，1212212122112()lnln2xxxxxx xx xxxx，又1

30、212121212121212121242()44lnlnln2lnx xxxx xx xx xx xx xx xx xx x，121242ln2x xx x，即12122ln1x xx x，令2( )lnG xxx，则0 x时，212( )0G xxx，( )G x在(0,)上单调递增，又212ln2ln 210.85122eee，12121222()ln1ln22Gx xx xex xe，则122x xe，即2122x xe 16分7 （本小题满分16 分）已知函数lnfxxxa有且只有一个零点.（1）求 a 的值；（2）若对任意的1,x，有22kfxxx恒成立，求实数k 的最小值；（3）

31、设1h xf xx，对任意1212,0,x xxx，证明：不等式121212xxx xh xh x恒成立 .【答案】（1）1a， （2）1， （3）详见解析【解析】试题分析：（1）函数零点问题，实质是函数图像问题，先研究函数单调变化规律，得出其走势，再确定满足题意的充要条件：由11( )1xfxxx得( )f x在区间(01，上是增函数，在区间1+ )，上是减函数，且值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - 12 域

32、皆为从负无穷到a-1 ，因此(1)010fa，解得1a （2）不等式恒成立问题，先化简不等式：22 lnkxxx在1,x恒成立，再转化为求函数最值：设22 lnA xxxx，1x，maxkA x，2 ln122 ln1A xxxxx，由（ 1）得，ln1xx，0Ax，A x在1,单调递减，11A xA，1k，故实数 k 的最小值为1（3） 由( )( )1lnh xf xxx 不妨设120 xx，则要证明121212lnlnxxx xxx， 只需证明，121212lnlnxxxxx x， 即证121212lnxxxxxx设12(1 )xt tx，则只需证明12ln (1)tt tt，由（ 2）

33、得，12ln0 xxx在1x时恒成立试题解析：（1）( )f x的定义域为(0)，11( )1xfxxx由( )0fx，得1x. 当01x时，( )0fx；当1x时，( )0fx，( )f x在区间(01，上是增函数，在区间1+)，上是减函数，)(xf在1x处取得最大值由题意知(1)010fa，解得1a 4分（2）法一、由题意得2lnkxxx，1x，故22 lnkxxx在1,x恒成立， 6分设22 lnA xxxx，1x，maxkA x，2 ln122 ln1A xxxxx，由（ 1）得，ln1xx，0A x，A x在1,单调递减， 8分11A xA，1k，故实数 k 的最小值为1。 10分法

34、二、由题意得2lnkxxx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - 13 设2lnkB xxxx，1x，则min0B x， 6分2222211221xkkxxkBxxxxx，当10k时，0Bx，B x在1,递增，故110B xBk即1k，1k； 8分当10k时，222111111xkxkxkBxxx，设11kt，1t，则220ttk，B x在1,t递减，在, t递增，min2ln0kB xB tttt，即222ln0

35、ttttt，即1ln0tt，由（ 1）得，1ln0tt在1t时恒成立，故1k符合。综上，1k，故实数k 的最小值为1。 10分（3）由( )( )1lnh xf xxx不妨设120 xx，则要证明121212lnlnxxx xxx，只需证明，121212lnlnxxxxx x，即证121212lnxxxxxx 12分设12(1)xt tx，则只需证明12ln (1)tt tt（*） 14分由（ 2）得，12ln0 xxx在1x时恒成立，故（ *）式成立，原不等式恒成立 16分考点：函数零点，利用导数求函数最值，构造函数证不等式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

36、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - 14 8 （本小题满分16 分）已知函数lnfxxxa有且只有一个零点，其中a0. （1）求 a 的值；（2）若对任意的1,x，有2120 xfxxxk恒成立，求实数k 的最小值；（3）设1h xfxx，对任意1212,0,x xxx，证明：不等式1212122xxxxh xh x恒成立 . 【答案】（1）1a，（2） 1， （3）详见解析【解析】试题分析：（1）f （x）=1，则函数 f（x）=lnxx+a 在（ 0，1）上单调递增，在（1，

37、+）上单调递减，由题意， f（ x）的最大值等于0，从而解出a；（2）化简（x+1）f（x）+x22x+k0 为 k2xxlnxlnx1，从而将恒成立问题转化为求函数g （x）=2xxlnxlnx1 在1，+）上的最值问题；利用导数可得g（x）=2lnx1=，再令 m（x）=xxlnx1 并求导m （x）=1lnx1= lnx，从而判断g（x）在（ 1，+）上的单调性，最终求出函数g（x）=2xxlnxlnx1 在1，+）上的最值问题，则kg（1）=200 1=1，从而求实数k 的最小值；（3）化简 h（x）=f（x）+x1=lnx，则对任意 x1，x2（ 0，+） （x1x2） ，恒成立可化

38、为对任意x1，x2（0，+） （x1x2） ，0 恒成立；不妨没 x1x2，则上式可化为（x1+x2） （lnx1lnx2） 2（x1x2） 0，从而令 n（x）=（ x1+x） （lnx1lnx） 2（x1x） ，进行二阶求导，判断n（x）在（ x1，+）上的单调性，从而证明对任意x1，x2（ 0，+） （x1x2） ，不等式恒成立试题解析：解： （1）f （ x）=1，则函数 f（x）=lnxx+a在（ 0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，则若使函数f（x）=lnxx+a 有且只有一个零点，则 01+a=0，解得， a=1；（2） （x+1）f（x）+x2 2x+k0 可化为（x+

39、1） （lnxx+1）+x22x+k0，即 k2xxlnxlnx1 对任意的 x（ 1，+）恒成立，令 g（x）=2xxlnxlnx1，则 g （x）=2lnx1=，令 m（x）=xxlnx1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - 15 则 m （x）=1lnx1=lnx，x（1，+） ，m （x）=1lnx1=lnx0，则 m（x）=xxlnx1 11ln11=0，则 g （x） 0，则 g（x）在（ 1，+）上

40、是减函数，则 k2xxlnxlnx1 对任意的 x（ 1，+）恒成立可化为kg（1）=2001=1，则 k 的最小值为1；（3）证明：由题意，h（x）=f（x）+x1=lnx，则对任意 x1，x2（ 0，+） （ x1x2） ，恒成立可化为，对任意 x1，x2（ 0，+） （ x1x2） ，0 恒成立；不妨没 x1x2，则 lnx1lnx20，则上式可化为（x1+x2） （ lnx1 lnx2） 2（x1x2）0，令 n（x）=（x1+x） （lnx1 lnx） 2（x1x） ，则 n （x） =（lnx1lnx）（ x1+x）+2 =lnx1lnx+1，n （x）=+=，则当 x（ x1，+

41、）时， n （x） 0，则 n （x）在（ x1，+）上是减函数，则 n （x） n （x1）=0，则 n（x）在（ x1，+）上是减函数，则 n（x） n（x1）=0，则（ x1+x2） （lnx1lnx2） 2（ x1x2） 0，故对任意 x1，x2（ 0，+） （ x1x2） ，不等式恒成立考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理9已知a为实数，函数xxxaxf4ln)(2（1）当1a时，求)(xf在1x处的切线方程；（2） 定义：若函数)(xm的图象上存在两点A、B， 设线段AB的中点为),(00yxP， 若)(xm在点)(,(00 xmxQ处的切线l与直线AB平行或重合，则

42、函数)(xm是“中值平衡函数”，切线l叫做函数)(xm的“中值平衡切名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - 16 线” 试判断函数)(xf是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数)(xf的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由；（3）设xaxg)2()(，若存在eex,10，使得)()(00 xgxf成立，求实数a的取值范围9 （1）02yx； （2）当0a时，函数)(xf是“中值平衡函数” ，且函数)(xf的“中值

43、平衡切线”有无数条；当0a时，)(xf不是“中值平衡函数” ； （3）, 1【解析】试题分析： （ 1）求导，利用导数的几何意义求切线方程；（ 2）先利用“中值平衡函数”的定义将其化为121221)ln(ln2xxxxaxxa能否成立，再讨论0a与0a，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而判定函数是否是“中值平衡函数”，是否存在“中值平衡切线”； （3）将)()(00 xgxf化为00020ln2xxxxa，构造函数eexxxxxxG,1,ln2)(2，求导，通过研究导数的符号得到函数的单调性进而求最值，得到参数a的范围试题解析：（1）函数)(xf的定义域为,0，xaxxxxaxf4242

44、)(2，当1a时，1) 1(, 3) 1(ff，所以在1x处的切线方程为02yx ,4 分若函数)(xf是“中值平衡函数” ，则存在)0)(,(),(,(212211xxxfxBxfxA使得12120)()()(xxxfxfxf，即12122122122121)(4)ln(ln42xxxxxxxxaxxxxa，121221)ln(ln2xxxxaxxa（）当0a时， （）对任意的210 xx都成立，所以函数)(xf是“中值平衡函数” ，且函数)(xf的“中值平衡切线”有无数条；当0a时，有122112ln)(2xxxxxx，设112xxt，则方程1)1(2lnttt在区间, 1上有解，名师资料

45、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - 17 记函数1,1)1(2ln)(ttttth，则0) 1() 1()1(41)(222tttttth，所以函数)(th在区间, 1递增，0)1 (h，所以当1t时，0)1()(hth，即方程1) 1(2lnttt在区间, 1上无解，即函数)(xf不是“中值平衡函数” ；综上所述，当0a时，函数)(xf是“中值平衡函数” ，且函数)(xf的“中值平衡切线”有无数条；当0a时，)(xf不

46、是“中值平衡函数” ；由)()(00 xgxf，得020002)ln(xxaxx，记)0(ln)(xxxxF，)0(1)(xxxxF所以当10 x时，0)(xF，)(xF递减，当1x时，0)(xF，)(xF递增；所以01)1 ()(FxF，00020ln2xxxxa，记eexxxxxxG,1,ln2)(22)ln()2ln2)(1()(xxxxxxG，eex,1，22)ln1 (22ln22xx，1 ,1ex时，)(,0)(xGxG递减；ex, 1时，)(, 0)(xGxG递增；1)1 ()(minGxG，1)(minxGa，故实数a的取值范围为, 110 （本小题满分16 分）已知函数22,

47、0( )ln ,0 xxa xf xx x其中 a 是实数设A（x1，f （x1） ） ，B （ x2，f（x2） ）为该函数图象上的两点，且x1 x2（1）指出函数f （x）的单调区间；（2）若函数 f （x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，证明： x2x11；（3）若函数 f （x）的图象在点A，B处的切线重合，求a 的取值范围10 （1）减区间为（，1） ，增区间为 1,0 ） ， （0，） （2）详见解析，（3） （ln 2 1，）试题解析：（1）函数 f （x）的单调递减区间为（，1） ，单调递增区间为 1,0 ） ， （ 0，）（2）证明：由导数的几何意义可知，点A处的

48、切线斜率为f （ x1） ，点 B处的切线斜率为f （ x2） ，故当点 A处的切线与点B处的切线垂直时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - 18 有 f （ x1）f （ x2） 1当 x0 时，对函数f （x）求导，得f （ x） 2x2因为 x1x20，所以（ 2x12） （2x22） 1，所以 2x120,2x220因此 x2x112 （2x12） 2x22 12 (22)(22)xx1当且仅当（ 2x1

49、2） 2x221，即 x132且 x212时等号成立所以，函数f （x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有x2 x11（3）当 x1x20 或 x2x10 时，f （ x1）f （ x2） ，故 x10 x2当 x10 时，函数 f （x）的图象在点（x1，f （x1） ）处的切线方程为y（ x212x1a）（ 2x12） （xx1） ，即 y（ 2x12）x21xa当 x20 时，函数f （x）的图象在点（x2，f （x2） ）处的切线方程为yln x221x（xx2） ，即 y21xxln x21两切线重合的充要条件是12221122,ln1,xxxxa由及 x10 x2知，021x2

50、由得，aln x2221(1)2x1 ln21x2211(2)4 x1令 t 21x，则 0 t 2，且 a14t2t ln t设 h（t ）14t2t ln t（0t 2） ，则 h（ t ）12t 11t2(1)32tt0，所以 h（t ） （0t 2）为减函数则 h（t ） h（2） ln 2 1，所以 a ln 2 1而当 t （ 0,2 ）且 t 趋近于 0 时，h（t ）无限增大，所以 a 的取值范围是（ln 2 1，）故当函数 f （x）的图象在点A，B处的切线重合时，a 的取值范围是（ln 2 1，）考点：导数几何意义，利用导数求函数值域11 （本小题满分16 分）已知函数2(