2022年2022年集合的关系与基本运算总结复习 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载课次教学计划（教案）课题集合间的基本关系与基本运算教学目标理解集合间的基本关系 ,会用集合的基本运算解题观察下面几组集合，集合A 与集合 B 具有什么关系？(1) A=1 ，2，3，B=1 ，2，3，4，5. (2) A=x|x3, B=x|3x-60. (3) A= 正方形 ，B= 四边形 . (4) A=，B=0. 通过观察就会发现，这五组集合中，集合A 都是集合 B 的一部分，从而有：1.子集定义 ：一般地，对于两个集合A 与 B，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B，或集合 B 包含集合 A，记作 AB（或 BA）,即若任意 x

2、A,有 xB，则 AB(或 AB)。这时我们也说集合A 是集合 B 的子集（subset） 。如果集合A 不包含于集合B，或集合 B 不包含集合A,就记作 A?B（或 B?A） ，即 :若存在xA,有 xB，则 A?B(或 B?A) 说明 ：AB 与 BA 是同义的，而AB 与 BA 是互逆的。规定 :空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A 都有A。例 1判断下列集合的关系. (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x| (x-1)2=0 ，B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3 ，B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1 ，

3、B=x|x2-1=0; （8）A=x|x是两条边相等的三角形 B=x|x 是等腰三角形。问题 1：观察（ 7）和（ 8） ，集合 A 与集合 B 的元素，有何关系？例 2设集合 A=1，3，a ，B= 1，a2- a + 1 ，且 AB，求 a的值2.集合相等定义 ： 对于两个集合A 与 B， 如果集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素（即 AB） ，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素（即 BA） ，则称集合 A 等于集合 B，记作 A=B 。如： A=x|x=2m+1 ，mZ ，B=x|x=2n-1 ，nZ ，此时有A=B 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

4、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载问题 2： （1）集合 A 是否是其本身的子集？（由定义可知，是）（2）除去与 A 本身外，集合A 的其它子集与集合A 的关系如何？（包含于A，但不等于A）例 3.已知,BA,ab,a,aB,b,a, 1A2且求实数 a、b . 设 a、bR，集合1，a + b，a =0，ab，b，则 b a =()(请写出解题过程)A. 1B. -1C. 2D. -23.真子集：由“ 包含 ” 与“ 相等 ” 的关系，可有如下结

5、论：(1)AA (任何集合都是其自身的子集)；(2)若 AB， 而且 AB （即 B 中至少有一个元素不在A 中） ， 则称集合 A 是集合 B 的真子集（proper subset） ，记作 A?B。 （空集是任何非空集合的真子集）(3)对于集合A， B，C，若 A? B，B? C，即可得出A? C；对 A?B，B?C，同样有A?C, 即： 包含关系具有“ 传递性 ” 。4.证明集合相等的方法：对于集合A，B，若 AB 而且 BA，则 A=B 。 （1）证明集合 A，B 中的元素完全相同；（具体数据）（2）分别证明AB 和 BA 即可。（抽象情况）例 2写出a，b的所有子集，并指出其中哪些是

6、它的真子集. 例3写出集合 a、b、c 的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集。结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1 个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。例 4.己知集合A=x一 2x5,B=xm 十 1x2m 一 1,若 BA,求实数 m 的取值范围 . 已知集合M4,7,8, 且 M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )；A 3 个B 4 个C 5 个D 6 个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

7、2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载问题 3: 请看下例分析：(借助于文氏图)集合 B 就是集合 S 中除去集合A 之后余下来的集合，则有6.全集如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集（uniwerse set） ，记作 U。如： 解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集 Q 的补集 CUQ 就是全体无理数的集合。7.补集 (余集 ) 一般地，设U 是一个集合， A 是 U 的一个子集（即A? S） ，由 U 中所有不属于A 的元素组成的集合， 叫做 U 中集合 A 的补集（或余集），记作 CUA， 即

8、 CUA=x|x U， 且 x?A 图 13 阴影部分即表示A 在 U 中补集 CUA。例 5.己知全集U=1,2,3,4,5,A=xx2十 px 十 4=0,xU,求 CUA 与 p 分析： CUA 隐含了 AU,.注意不要忘 .记 A= 的情形 . 练习 ：解答下列各题：(1) 已知 A=0 ，2，4，CUA=-1 ，1 ，CUB=-1 ，0，2 ，求 B；(2) 设全集 U=2 ，3，m2+2m-3 ，A=|m+1| ，2 ，CUA=5 ，求 m 的值；(3) 已知全集U=1 ，2，3，4，A=x|x2-5x+m=0 ，xU ，求 CUA、m；知识点巩固题型一判断集合间的关系问题例 1下

9、列各式中，正确的个数是（）(1) 0 0，1，2； （2）0，1，2 2，1，0； （3）0，1，2 ； （4）0；（5） 0，1 =（0，1） ； （6）0= 0。A= 班上所有参加足球队同学 B= 班上没有参加足球队同学 S= 全班同学 那么 S、A、B 三集合关系如何. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载A. 1B. 2C. 3D. 4题型二确定集合的个数问题例 2已知1，2M 1，2，3，

10、4，5，则这样的集合 M 有_个。题型三利用集合间的关系求字母参数问题1.已知集合 A=x1ax2，B= xx1 ,求满足 AB 的实数 a的范围。(不等式问题)2.（2. 用数轴解题）已知 A= xx-1 或 x5，B=xRaxa + 4 ，若 AB，求实数 a的取值范围。二、分类讨论思想3.已知集合 A=a，a + b，a + 2b ，B= a，ac，ac2，若 A=B，求 c 的值。2. 开放探究题4. 已知集合 A=xax= 4 ，集合 B=1，2，b .（1） 是否存在实数 a，使得对于任意实数 b 都有 AB？若存在，求出对应的 a 值，若不存在，说明理由。（2） 若 AB 成立，

11、求出对应的实数对（a，b）交集与并集问题 1：观察下面五个图（投影1）,它们与集合A,集合 B 有什么关系 ? 图 15（ 1）给出了两个集合A、B；图（ 2）阴影部分是A 与 B 公共部分；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载图（ 3）阴影部分是由A、B 组成；图（ 4）集合 A 是集合 B 的真子集；1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合 B 的并

12、集(union set)，即 A 与 B 的所有部分， 记作 AB（读作 “A 并 B” ） ，即 AB=x|x A 或 xB 。如上述图（ 3）中的阴影部分。2.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的所有元素所组成的集合，叫做A 与 B 的交集（intersection set） ， 即 A 与 B 的公共部分，记作 AB（读作 “A 交 B”） ， 即 AB=x|x A 且 xB 。如上述图（ 2）中的阴影部分。3.一些特殊结论由图（ 4）有 : 若 AB,则 AB=A； 由图（ 5）有: 若 BA,则 AB=A ；特别地，若A，B 两集合中， B=，则 A=, A=A 。4.例

13、题解析例 1设 A=x|x-2 ，B=x|x3, 求 AB 。涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案(图 16) 例 2设 A=x|x 是锐角三角形 ，B=x|x 是钝角三角形 求 AB。例 3设 A=x|-1x2,B=x|1x3,求 AB。利用数轴，将A、B 分别表示出来，则阴影部分即为所求(图 19) 5.课堂练习 ：1已知 M=1 ，N=1 ，2，设 A= （x，y）|xM ，yN ，B= （x，y）|xN，yM ，求 AB ，AB。1.1.3集合的基本运算例 1设集合 A=x-1x2，集合 B= x1x 3 ，求 AB.例 2A= x-1x 4 ，B= x2x 5，求 A

14、B.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 3若 A、B、C 为三个集合，AB = BC，则一定有（）A.ACB.CAC.A CD.A =题型二集合的并集运算例 2若集合 A=1，3，x，B= 1，x2 ，AB = 1，3，x，则满足条件的实数有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个例 4集合 A=1，2，3，4，BA，且 1(AB)，但 4(AB)，则满足上述条件的集合B 的个数是（

15、）A. 1B. 2C. 4D. 8题型四集合的补集运算例 5 设全集 U=1，2，x2- 2 ，A=1，x ，求 CUA例6 设全集 U 为 R，A=xx2- x 2 = 0 ，B=xx= y + 1，yA，求 CUB数学思想方法一、数形结合思想例 9 （用数轴解题） 已知全集 U= xx 4 ， 集合 A=x-2x3， 集合 B= x-3x 3 ，求 CUA，AB ，CU( AB)，(CUA)B例 10（用 Venn图解题）设全集 U 和集合 A、B、P满足 A= CUB，B= CUP，则 A 与 P 的关系是（）A.A= CUPB.A=PC.APD.AP名师资料总结 - - -精品资料欢迎

16、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载二、分类讨论思想例 11设集合 A=1a，3，5 ，集合 B= 2a+1，a2+ 2a，a2+ 2a - 1 ，当 AB= 2，3时，求 AB创新、拓展、实践例 14（实际应用题） 在开秋季运动会时，某班共有 28 名同学参加比赛，其中有 15 人参加径赛，有 8 人参加田赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有 3 人，同时参加径赛和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛，问同时

17、参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？例 16我们知道，如果集合 AU，那么 U 的子集 A 的补集为 CUA= xxU，且 xA，类似地，对于集合 A、B，我们把集合 xxA，且 xB叫做 A 与 B 的差集，记作 A - B，例如 A= 1，2，3，5，8，B=4，5，6，7，8，则 A - B =1，2，3，B A= 4，6，7。据此，回答以下问题： 补集与差集有什么异同点？ 若 U 是高一班全体同学的集合，A 是高一班全体女同学组成的集合，求 U A 及 CUA. 在图 1-1-24 所示的各图中，用阴影表示集合 A B 如果 A B=，那么 A 与 B 之间具有怎样

18、的关系。高考要点阐释例 2（2008 上海高考）若集合 A= xx 2，B= xx a ，满足 AB= 2，则实数 a =_.例 3（2008 北京高考）已知集合 A= x-2 x 3 ，B= xx-1 或 x4 ，则集合 AB 等于（）A. xx 3 或 x4B. x-1x 3C. x3 x4D. x-2 x-16. 拓展例 1设数集M=x| m x m+43, N=x|n-31 x n, 且 M 、N 都是集合 x|0 x1 的子集 , 如果把 b-a 叫作集合 x| a x b的“ 长度 ”, 那么集合M N 的“ 长度” 的最小值是 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

19、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 2设 S是满足下列两个条件所构成的集合：。则若S,Sa)2(;S1 )1 (a-11求证：并写出这两个数。中必含有两个其他数，则在）若（；则若SSS, Sa) 1(22a117.作业1已知集合22,1, 3 ,3,21,1AaaBaaa，若3ABI，求实数a的值。2已知集合8x24xA，集合0axxB。（1）若BA，求 a 的范围；（2）若全集 U=R 且BCAU，求 a 的范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -