2022年定积分的概念与性质 .pdf

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1、滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案134 第五章定积分第一节定积分的概念与性质教学目的 ：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理.教学重点 ：连续变量的累积，熟练运用性质.教学难点 ：连续变量的累积，中值定理. 教学内容 ：一、定积分的定义曲边梯形的面积设)(xfy在ba,上非负，连续，由直线xa，xb，0y及曲线)(xfy所围成的图形，称为曲边梯形求面积：在区间ba,中任意插入若干个分点bxxxxxann 1210，把ba,分成n个小区间 10, xx,21,xx, nnxx,1，它们的长度依次为：1122011,nnnxxxxxxxxx经过每一个分点作平行于y轴的

2、直线段， 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形， 在每个小区间iixx,1上任取一点i，以 iixx,1为底，)(if为高的窄边矩形近似替代第i个窄边梯形(1,2, )in，把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即nnixfxfxfA)()()(221=niiixf1)(设0,max21nxxx时，可得曲边梯形的面积niiiAxfA10)(lim2变速直线运动的路程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - -

3、 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案135 设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔 21,TT上t的连续函数，且0v，计算在这段时间内物体所经过的路程S在21,TT内任意插入若干个分点212101TtttttTnn，把21,TT分成n个小段10,tt，21,tt，nntt,1，各小段时间长依次为：,1122011nnnttttttttt相应各段的路程为：nSSS,21，在iitt,1上任取一个时刻)(1iiiitTtT，以iT时的速度)(iTv来代替 iitt,1上各个时刻的速度，则得：iiitTvS)(),2, 1(ni，进一步得到：nntTvtTvtTvS)()()

4、(2211=nitTv111)(设0,max21当nttt时，得：niitTvS10)(lim. 3定积分的定义由上述两例可见， 虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积niiixfA10)(lim，路程niiitTvS10)(lim. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案136 将这

5、种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数,)(baxf在上有界，在 , a b中任意插入若干个分点bxxxxxann 1210，把区间 , a b分成n个小区间, ,12110nnxxxxxx各个小区间的长度依次为1122011,nnnxxxxxxxxx. 在每个小区间 iixx,1上任取一点iiiixx1(),作函数值)(if与小区间长度ix的乘积),2, 1()(nixfii并作出和niiixfS1)(. 记,max21nxxx,如果不论对 , a b怎样分法 ,也不论在小区间iixx,1上点i怎样取法,只要当0时 ,和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数)(xf在区间

6、, a b上的定积分 (简称积分 )，记作badxxf)(即badxxf)(=I=niiixf10)(lim, 其中)(xf叫做被积函数，dxxf)(叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限， , a b叫做积分区间 .注意积分与积分变量无关，即：bababaduufdttfdxxf)()()(. 函数可积的两个充分条件：定理 1 设,)(baxf在上连续，则)(xf在 , a b上可积定理 2 设,)(baxf在上有界，且只有有限个间断点，则,)(baxf在上可积例利用定积分定义计算102dxx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

7、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案137 解2( )0,1f xx 是上的连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对0,1n等分，分点iininix; 1,2, 1,取相应小区间的右端点，故niiiniiiniiixxxxf12121)(=niniinnni1232111)(=)12)(1(6113nnnn=)12)(11(61nn, 时0（即时n） ，由定积分的定义得：102dxx=31. 二、定积分的性质：为方便定积分计算及应用，

8、作如下补充规定：(1) 当ab时，0)(badxxf, (2) 当ab时，badxxf)(abdxxf)(. 性质 1函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即dxxgxfba)()(badxxf)(badxxg)(. 证明dxxgxfba)()(iniiixgf10)()(lim=iniixf10)(liminiixg10)(lim=badxxf)(badxxg)(. 性质 2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即badxxkf)(kbadxxf)(k是常数 ). 性质 3如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设acb,则badxxf)(ca

9、dxxf)(bcdxxf)(注意我们规定无论, ,a b c的相对位置如何，总有上述等式成立. 性质 4如果在区间 , a b上，则, 1)(xfbadxxf)(abdxba. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案138 性质 5 如果在区间 , a b上，则,0)(xf0)(badxxf)(ba证明：因,0)(xf故), 3, 2, 1(0)(nifi，又因),2,

10、 1(0nixi，故0)(1iniixf，设12max,0nxxx时，便得欲证的不等式. 推论 1 如果在 , a b上，则),()(xgxfbadxxf)(badxxg)()(ba. 推论 2badxxf)(badxxf)(. 性质 6 设M与m分别是函数,)(baxf在上的最大值及最小值，则)(abmbadxxf)()(abM)(ba性质 7 （定积分中值定理） 如果函数)(xf在闭区间 , a b上连续， 则在积分区间 , a b上至少存在一点，使下式成立：)()(abfdxxfba（ba）. 证明：利用性质6，baMdxxfabm)(1；再由闭区间上连续函数的介值定理，知在 , a b

11、上至少存在一点，使badxxfbaf)(1)(，故得此性质 . 显然无论ab，还是ab，上述等式恒成立. 做本节后面练习，熟悉上面各性质. 积分中值定理的几何释意如下：在区间 , a b上至少存在一个，使得以区间 , a b为底边 , 以曲线)(xfy为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积，见下图 （在下面做p286 图 5-4）小结：简捷综述上面各性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨

12、州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案139 第二节 微积分基本公式教学目的： 掌握微积分基本公式及其应用教学重点： 公式的应用教学难点： 公式的应用教学内容：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向， 单位长度， 使其成为一数轴，时刻t时物体所处的位置( )S t，速度)0)()(tvtv不防设. 物体在时间间隔,21TT内经过的路程可以用速度函数)(tv在,21TT上的定积分来表达，即21( )TTv t dx另一方面，这段路程可以通过位置函数)(ts在区间,21TT的增量来表示，即)()(12TSTS故21)(TTdxtv=

13、)()(12TSTS. 注意到( )( )S tv t，即( )S t是)(tv的原函数 . 二、积分上限的函数及其导数设)(xf在,ba上连续，并且设x为,ba上任一点，设xadttfx)()(. 则函数)(x具有如下性质：定理 1 如果函数)(xf在区间,ba上连续，则积分上限函数xadttfx)()(在,ba上具有导数，并且它的导数是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等

14、数学教案140 ( )( )( )xadxf t dtf xdx（bxa）. 证明： （ 1）),(bax时，( )()( )xxxx=( )xxaf t dtxadttf)( )( )xxxf t dtfx, 在xx与之间)()(fxx0 x时，有)(x)(xf. （2）时考虑或bax其单侧导数，可得)(a)(af，)(b)(bf由定理 1 可得下面结论定理 2 如果函数)(xf在区间,ba上连续，则函数)(xxadttf)(是)(xf的一个原函数Newton 的积分上限函数的几何意义如下：（P209 图 55 放在下面） . 三、 Newton Leibniz 公式定理 3 如果函数)(x

15、F是连续函数)(xf在区间,ba上的一个原函数，则badxxf)()(bF)(aF证明因)(xF与)(x均是)(xf原函数，故)(xF)(x=c（bxa）, 又因badxxf)()(b)(a, 故badxxf)()(bF)(aF. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案141 为方便起见，把)(bF)(aF记作 )(xFba. 上述公式就是Newton Leibniz

16、公式，也称作微积分基本公式例 1 313031333103102xdxx例计算31211dxx. 解31211dxx=12731arctgx. 例 3 计算12xdx. 解2ln2ln1lnln11212xdxx. 例4计算xysin在 ,0上与x轴所围成平面图形的面积. 解2c o ssi n00 xx d xA. 上例的几何释义如下： （书图 P292， 5-4）. 例5汽车以每小时36km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度2/5sma刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少路程？解0t时，smv/100, tatvtv510)(0, 2,510)(0tttv故, 故S)(10

17、)510(2020mdttvtdt. 即刹车后，汽车需要走10m 才能停住 . 例6设)(xf在(0,)内连续且( )0f x，证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在(0,)内为单调增加函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案142 证明xdtttfdxd0)( )xf x，故)(xF=0020( )( )( )( )0( )xxxxfxf t dtf

18、xtf t dtf t dt. 故)(xF在(0,)内为单调增加函数. 例7求21cos02limxdtetxx. 解dxddtetx21cosdxddtetx21cos1=xxe2cossin, 利用 Hospital 法则得21cos02limxdtetxx=exxexx212sinlim2cos0. 小结：Newton Leibniz 公式 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五

19、章定积分高等数学教案143 第三节定积分的换元法与分部积分法教学目的： 掌握换元积分法和分部积分法. 教学重点： 熟练运用换元积分法和分步积分法. 教学难点： 灵活运用换元法和分部积分法. 教学内容：一、换元积分定理假设函数)(xf在,ba上连续，函数)(tex满足条件：（1）,)(ad;)(b（2）)(t在 ,（或 ,）上具有连续导数，且其值不越出,ba, 则有badxxf)(dtttf)()(. 例1计算dxxaa022（0a）. 解设taxsin则dtadxcos且0 x时0t；2,tax, 故dxxaa022=dttatdta2022022)2cos1 (2cos=42sin21222

20、02atta. 换元公式也可以反过来使用，即badxxxf)()(dttf)(. 例2计算dxxx205sincos. 解设xtcos，则-dttxdx015205coscos=dtt105=616106t. 例3计算dxxx053sinsin. 解dxxx053sinsin=dxxx0223cossin=dxxx023cossin=dxxx2023cossinxdxxcos)(sin223=xdxsinsin023xdxsin)(sin223名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

21、- 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案144 =54. 例4计算dxxx40122. 解设12xt，则x212t,10tx时；34tx时故dxxx40122=tdttt312221=dtt312321=3223321313tt. 例5证明 1)若)(xf在,ba上连续且为偶函数，则aadxxf)(=adxxf0)(22）若)(xf在,ba上连续且为奇函数，则aadxxf)(=0. 证明aadxxf)(=0)(adxxf+adxxf0)(=0)(adxxf+adxxf0)(=adxxf0)(+adxxf0)(=adxx

22、fxf0)()(. 1）)(xf为偶函数时，)(xf+)( xf=)(2xf，故aadxxf)(=adxxf0)(22）)(xf为奇函数时，)(xf+)( xf=0，故aadxxf)(=0例6若)(xf在0,1上连续，证明（1）20)(sindxxf20)(cosdxxf；（2）0)(sindxxxf0)(sin2dxxf，由此计算02cos1sindxxxx. 证明（ 1）设dtdxtx则,2且当0 x时，2t；当02tx时, 故20)(sindxxf=tdtf022sin=02cos dttf=02cosdxtf. （ 2）设tx，则0)( si n dxxxf=0)()sin()(tdt

23、ft=0)(sindttf0)(sindtttf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案145 所以0(sin )ft dx0)(sin2dttf. 利用此公式可得20sin1cosxxxdx02cos1sin2dxxx201cos21cosxdx0(cos )2arctgx42. 例7设函数)(xf01,cos110,2xxxxex，计算41)2(dxxf解设则,2t

24、x41(2)f xdx21( )f t dt01)( dttf20( )f t dt0111cosdtt202dttet4111222tge. 二、分部积分法设)(),(xvxu在,ba上具有连续导数)(),(xvxu，则有vuvuuv故badxuv)(bavdxubadxvu，bababavduuvudv这就是定积分的分部积分公式例 1 210arcsin xdx解设 u=arcsinx,xv则120a r c si nxd x21a r c si nsx210211dxxx12arcsin21+21210211dxxx311 22. 例2计算dxex10. 解设tx，则10 xed x21

25、0dtet=dttet102102ttde1022ttedtet10名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案146 22(1)ee2. 例3证明定积分公式xdxInn20sin133 1,24 2 2134 2,1.25 3nnnnnnnnnn为正偶数为大于 的正奇数证明设xdxdvxunsin,sin1，由分部积分公式可得：xdxnInn202sin)1(xdxnn2

26、0sin) 1(2(1)(1)nnnInI故21nnInnI. 由此递推公式可得所证明等式. 小结：分部积分公式 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案147 第四节广义积分教学目的： 理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算. 教学重点： 利用广义积分的定义计算 . 教学难点： 概念产生的背景 . 教学内容：一、无穷限广义积分定义 1 设函数)(xf在区

27、间 ,)a上连续，取ab.如果极限blimbadxxf)(存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间 ,)a上的广义积分 ,记作adxxf)(,即adxxf)(=blimbadxxf)(这时也称广义积分adxxf)(收敛；如果上述极限不存在，函数)(xf在无穷区间 ,)a上的广义积分adxxf)(就没有意义， 习惯上称为广义积分adxxf)(发散，这时记号adxxf)(不再表示数值了类似地，设函数)(xf在区间(, b上连续 ,取ab，如果极限alimbadxxf)(存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间b,上的广义积分，记作bdxxf)(，即bdxxf)(=alimbadxxf)(这时也称广

28、义积分bdxxf)(收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分bdxxf)(发散设函数)(xf在区间（,）上连续，如果广义积分0)(dxxf和0)(dxxf都收敛，则称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间（,）上的广义积分，记作dxxf)(，即( )f x dx0)(dxxf+0)(dxxflima0)(adxxf+blimbdxxf0)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分

29、高等数学教案148 这时也称广义积分dxxf)(收敛；否则就称广义积分dxxf)(发散例1计算广义积分dxx211解211dxxdxx0211+dxx0211limadxxa0211+blimdxxb0211lima0aarctgxblimbarctgx0022. 上述广义积分的几何释义如下：（书图 P316 5-12 ）. 例2计算广义积分0dttept（p是常数，且0p）解0dtteptl i mbbptdtte0=blimbptbptdtepept0012001ptptteepp1p221)10(10limppteptt例3证明广义积分apadxx)0(1当1p时收敛；当1p时发散 .

30、证明当1p时，apdxx1adxx1=0ln x; 当1p，apdxx11,11,111ppappxpap,故命题得证 . 无界函数的广义积分定义 2设函数)(xf在,ba上连续，而在点a的右邻域内无界，取0，如果limbadxxf)(存在，则称此极限为函数)(xf在,ba上的广义积分，仍然记作badxxf)(，即badxxf)(=limbadxxf)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系

31、第五章定积分高等数学教案149 这时也称广义积分badxxf)(收敛如果上述极限不存在，就称广义积分badxxf)(发散类似地，设函数)(xf在,ba上连续，而在点b的左邻域内无界，取0,如果极限limbadxxf)(存在，则定义badxxf)(limbadxxf)(否则，就称广义积分badxxf)(发散设函数)(xf在,ba上除点)(bcac外连续， 而在点 c 的邻域内无界， 如果两个广义积分cadxxf)(与bcdxxf)(都收敛，则定义( )baf x dxcadxxf)(+( )bcf x dxlimcadxxf)(+limbcdxxf)(否则，就称广义积分发散. 例4计算广义积分a

32、xadx022（0a）解axadx0220l i maxadx0220l i maax0arc s i n0lim0arcsinaaarcsin12. 例5讨论广义积分1121dxx的收敛性 . 解1211dxx0121dxx1021dxx，而0lim121dxx0lim11x=0lim11=故所求广义积分1121dxx发散例6证明广义积分baqaxdx)(当1q时收敛；当1q时发散名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 滨州学院数学与信息科学系第五章定积分高等数学教案150 证明当,1时qbabaaxaxdx)ln(，发散 ; 当,1 时qbaqaxdx)(=11(),1()11,1qbqabaqxaqqq, 故命题得证 . 小结：无穷限广义积分与无界函数广义积分的定义. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -