2022年导数在生活中的优化问题举例 .pdf

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1、1 1.4 第一课时生活中的优化问题举例一、课前准备1课时目标（1）了解函数极值和最值的基本应用. （2）会用导数解决某些实际问题. 2基础预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中变量之间的，根据实际意义确定定义域. (2) 求函数yfx的导数 f (x)，解方程f (x)0,求定义域内的根，确定. (3) 比较函数在和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值. (4) 还原到原中作答 . 三、学习引领1. 常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高， 或使用力

2、最省、 用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一. 2.解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具解决优化问题的基本程序是：读题建模求解反馈（文字语言）（数学语言）（导数应用）（检验作答）3. 需要注意的几个问题(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注

3、意定义域对函数最值的影响. (2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性. 四、典例导析题型一几何图形中的优化问题例 1 请你设计一个包装盒,如图所示 ,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm （1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V（cm3）

4、最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. xxEFABDC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 思路导析 :明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来 ,观察其特点 ,用一元二次函数最值解决问题.问题 (2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征 ,通过求导 ,研究函数性质,求相

5、应最值 . 解 ： 设 该 盒 的 高 为h （ cm ）， 底 面 边 长 为a （ cm ），由 已 知 得.300),30(22260,2xxxhxa（1）由题意包装盒侧面积,1800)15(8)30(842xxxahS所以当15x时，S取得最大值 . （2）由题意知 ,)20(26),300(),30(22322xxVxxxhaV.由0V得0 x（舍）或20 x.由于当)20,0(x时，0)30,20(;0VxV时当,所以当20 x时， V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时12ha该盒的高与底面边长的比值为1.2规律总结： 几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体

6、的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中 , 两个目标函数皆未给出, 因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定义域 ,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导 ,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二. 变式训练1 今有一块边长a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个

7、盒子容积最大，x值应为多少？题型二费用最省问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 例 3 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且rl2.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 .已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为)3( , cc.设该容器的建造费用为y千元 . （）写出y关于r的函

8、数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的r. 思路导析 :该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式. 解 :（）因为容器的体积为803立方米， 所以3243rr l803,解得280433rlr,所以圆柱的侧面积为2 rl=28042()33rrr2160833rr,两端两个半球的表面积之和为24 r,所以y21608 rr+24 cr,定义域为 (0,2l). （）因为y216016 rr+8 cr=328 (2)20crr,所以令0y得:3202rc; 令0y得:3200

9、2rc,所以3202rc米时 , 该容器的建造费用最小. 规律总结 :由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的导数 ,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时 ,要充分注意函数定义域的影响. 变式训练2 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为 B.铁路线上距离B 为 100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路 .如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么 ,D 应选在何处 ,才能使原料供应站 C 运货到工厂A 所需运费最省? 题型三利

10、润最大问题例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元 /千克）满足关系式210(6)3ayxx，其中63x，a 为常数 ,已知销售价格为5 元/千克时 ,每日可售出该商品11 千克 . （I）求 a 的值 ; （II ）若该商品的成本为3 元/千克， 试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 . 思路导析 :问题（ I）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程 ,求 a 的值 .问题（ II）,用 x表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻

11、. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 解 : （I）因为当5x时,11y,代入210(6)3ayxx得,2,11102aa. （II ）由（ I）知 ,该商品每日的销售量为2)6(1032xxy,所以商场每日销售该商品所获得的利润为22)6)(3(102)6(1032)3()(xxxxxxf)3612)(3(1022xxx,)63(x.所以 , )6)(4(30)6)(3(20)6(10)(2xxxxxxf.于

12、是 ,当x变化时 ,)(),(xfxf的变化情况如下表: x（3,4）4 (4,6) )(xf0 )(xf单调递增极大值 42 单调递减由上表可知 ,4x是函数)(xf在)6 ,3(上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点,所以当4x时,函数)(xf取得最大值 ,最大值为 42. 答:当销售价格为4 元/千克时 , 商场每日销售该商品所获得的利润最大. 规律总结 : 在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函数关系式 .由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数 ,先求函数的极值,再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为

13、具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响. 变式训练3 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润 x（元）与年产量t（吨）满足函数关系，tx2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元（以下称s为赔付价格） . （1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s

14、是多少？五、随堂练习1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积为最大,则高为 ( )cm. A.33B.3310C.3316D.33202. 以长为 10 的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) . A.10 B.15 C.25 D.50 3. 若一球的半径为r,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ) . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 A.22 rB.2rC.24 rD

15、.221r4. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为. 5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升),关于行驶速度x(千米 /小时 )的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013xxxy，已知甲乙两地相距100千米 .当汽车以(千米 /小时 )速度行驶时 ,从甲地到乙地耗油最少 ? 6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 公里时的燃料费是每小时6 元，而其他与速度无关的费用是每小时96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？六、课后作业1.

16、 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为 ( ) A. 3VB.32VC. 34VD.32 V2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为V两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元,当造价最低时 ,锅炉底面半径与锅炉高的比是（）A. ba2B.ba22C. ab2D. ab223. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27,且用料最省则圆柱的底面半径为. 4. 去年初 ,某商场从生产厂家以每件20 元购进一批商品若该商品零售价定为p元，则销售量q(件)与零售价p(元)有如下关系21708300ppq那么该商品零售价为元时 ,毛利润最大 ?(毛利润

17、=销售收入一进货支出) 5. 现有 10000 元资金可用于广告宣传或产品开发当投入广告宣传和产品开发的资金分别为x和y时，得到的回报是3231yxP求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报 . 6如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴， 上底 CD 的端点在椭圆上，记2CDx，梯形面积为S（1）求面积 S以x为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S的最大值1.4 第一课时生活中的优化问题答案及解析名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

18、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 一、 2. 基础预探（1）数学模型；函数关系（2）极值点（3）区间短点（4）实际问题三、变式练习1. 解：折成盒子后底面正三角形的边长为2 (0)2aaxx，高为3tan303hxx设：容积为V，则213(2 ) sin 6023Vshaxx2324axaxx.函数求导得 : 22324aVxax,令0V得,62aaxx（舍去）,当06ax时，0V； 当6ax时，0V,所以当axb时，333334216362421654aaaaaV最大. 答：x为6a时，盒子的容积最大为

19、354a2.解 ： 设 BD 之间的距离为xkm,则|AD|=2220 x,|CD|=x100.如果公路运费为a元/km,那么铁路运费为53a元 /km.故从原料供应站C 途经中转站D 到工厂 A 所需总运费y为:y)100(53xa+a4002x,(1000 x).对该式求导 ,得: y=53a+4002xax=4005)40035(22xxxa,令0y,即得 252x=9(2x400),解之得1x=15,2x=-15(不符合实际意义,舍去 ).且1x=15 是函数y在定义域内的唯一极小值点,所以1x=15 是函数y的最小值点 .由此可知 ,车站 D 建于 B,C 之间并且与B 相距 15k

20、m 处时 ,运费最省. 3. 解： （I ）因为赔付价格为s 元/ 吨，所以乙方的实际年利润为：)0(2000tsttw因为sstssttw221000)1000(2000， 所以当21000()ts时，w取得最大值 . 所以乙方取得最大利润的年产量21000()ts吨 . （II ）设甲方净收入为v元，则20.002vstt，将21000()ts代入上式，得到甲方纯收入v与 赔付 价 格s之 间 的 函 数 关 系 式：23410002 1000vss，又名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

21、 - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 232325510008 10001000 (8000)svsss，令0v得20s, 当20s时，0v；当20s时，0v. 所以20s时，v取得最大值 . 所以甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是20 元.四、随堂练习1. 答案： D. 解析：设圆锥的高为h,则体积)200( ,)400(312hhhV, 034002hV,解得3320h,由导数的意义,当3320h时,V取极大值且唯一 ,故为最大值 .故选 D. 2. 答案 :D.解析 :设圆的内接矩形的一边长为x,则另一边长为2100 x,内

22、接矩形的面积2100 xxS,24222100)100(xxxxS,02004)(32xxS,解 得0 x(舍去 ),50 x,根据导数的意义知，内接矩形面积的最大值为50. 3. 答 案 ： A. 解 析 : 设 内 接 圆 柱 的 底 面 半 径 为)0( ,rxx， 则 圆 柱 的 侧 面 积224xrxS，)(1622222xrxS，求导，判断极大值点rx22,其侧面积最大为22 r. 4. 答 案 :300m3 解 ： 设 长 为xm， 则 宽 为(20)x m， 仓 库 的 容 积 为V, 则2(20) 33+60Vxxxx.660Vx，令0V得10 x,当010 x时，0V；当1

23、0 x时，0V,10 x时，3300()Vm最大. 5. 答 案 :80. 解 析 ; 由 题 意 可 知 , 以 速 度x( 千 米 / 小 时 ) 从 甲 地 到 乙 地 耗 油 量为 :xyW100415800128012xx,08006402xxW,解得80 x,且为唯一极小值点 ,所以80 x为最小值点 .6. 解:设船速度为(0)x x时，燃料费用为Q元，则3Qkx，由3610k可得3500k，33500Qx，总费用3231396(96)500500yxxxx，2696500yxx，令0y得20 x，当(0,20)x时，0y，此时函数单调递减，当(20,)x时，0y，此时函数单调递

24、增，当20 x时，y取得最小值，此轮船以20 公里 /小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 时的速度使行驶每公里的费用总和最小五、课后作业1. 答案 : C.解析 :设底面等边三角形的边长为0, xx,直棱柱的高为h,则hxV432,所以234xVh.表面积xVxxxVxS3423343432222,03432xVxS,解得34Vx,S取极小值且唯一,即最小 ,故选 C. 2. 答 案C. 解 析 ： 设 锅 炉

25、 底 面 半 径 和 高 分 别 为hr,则22,rVhhrV, 总 造 价rbVrarVrbray2222222,0242rbVray, 得brVar22即abhr2时取极大值 ,即最大值 .故选 C. 3. 答案：3.解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,则2227,27rhhr.无盖圆柱形水桶表面积rrrrrS54272222,05422rrS,解得 :3r,为唯一极小值点 ,即最小值点 . 4 .答案 :30.解析 :设毛利润y,则qqpy20=)20( pq=)20)(1708300(2ppp=1660001170015033ppp,所以01170030032ppy,解得30p或130

26、p（舍去） . 根据导数的意义知，当30p时,y最大 . 5. 解：由于10000yx，所以100000,)10000(32313231yyyyxP考虑23)10000(yyP，由0320000)(23yyP得320000, 021yy，由于当320000y时，0)(3P；当320000y时，0)(3P，所以3200002y是3P的极大值点，从而也是P的极大值点故当投到产品开发的资金为320000元时，得到的回报最大. 6 解: 以 AB 所在的直线为x轴,以 AB 的中垂线为y轴建立直角坐标系椭圆方程为222214yxrr设( , )C x y则222yrx. （1）22221(22 ) 2

27、2()2Sxrrxrxrx定义域为0 xxr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 （2 ）由（1 ）知222222()2 () ()Srxrxrxrx.设222g(x)= (r + x) (r- x )则22() (2)g (x)xrxr. 由0g (x)得2rx当02rx0g (x)当2rxr0g (x),当2rx时g(x)取最大值 ,S 取最大值 ,最大值为23 32r名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -