2022年“北约”“华约”自主招生数学模拟试题带答案教学提纲 .pdf

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1、此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用2014 年“北约”“华约”自主招生模拟试题数学（满分150 分）第一部分：填空题（共5 小题 每题 10 分）1. 若tan2,则224sin3sincos5cos= 1. 2. 在复数集C 内,方程22(5)60 xi x的解为. 3. 设8219)22015()22015(x，求数 x 的个位数字 . 4. 设|100600,AnnnN，则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被57 整除的数的个数为_70_. 5. 设 P 是抛物线2440yyx上的动点 ,点 A 的坐标为(0, 1),点 M 在直线 PA 上, 且分PAu uu v

2、所成的比为2:1,则点 M 的轨迹方程是9y2-12x-4=0 . 第二部分：解答题（共5 小题 每题 20 分）1 设集合12log32Axx，21aBxxa若ABI，求实数a的取值范围-1a0 或 0a3 2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P)(NP条建议 .已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12P个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - -

3、 - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用3. 设平面向量( 3,1)av,13(,)22bv.若存在实数(0)m m和角(,)22, 使向量2(tan3)cabvvv,tandmabu vvv,且cdvu v. (I)求函数( )mf的关系式 ; (II) 令tant,求函数( )mg t的极值 . 4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F,2F,其中1F又是抛物线24yx的焦点 ,点 A( 1,2), B(3,2)在双曲线上 . (I)求点2F的轨迹方程 ; (II) 是否存在直线yxm与点2F的轨迹有且只有两个公共点?若存在 ,求实数m的值,若不存在 ,请说明理

4、由 . 5. 已知 a， b 均为正整数， 且,sin)(),20(2sin,2222nbaAbaabbann其中求证：对一切*Nn，nA均为整数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用参考答案一、选择题1. 由tan2,得sin2cos,有22sin4cos,即221cos4cos. 则21cos5,原式 =222216cos6cos5cos5cos1. 2. 设x

5、abi,a bR,代入原方程整理得22(2256)(45 )0abababab i有2222560450abababab,解得11ab或3232ab,所以1xi或3322xi. 3. 直接求 x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令)22015()22015(,)22015()22015(82198219yxy则)22015()22015(8219，由二项式定理知，对任意正整数n. )2201515(2)22015()22015(22nnnnnC为整数，且个位数字为零 . 因此，xy是个位数字为零的整数.再对 y 估值，因为2.0255220155220150

6、， 且1988)22015()22015(，所以.4.02.02)22015(201919y故 x 的个位数字为9. 【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为72k. 由10072k600. 知14k85. 又若某个k使72k能被 57 整除，则可设72k=57n. 即5722877nnkn. 即2n应为7 的倍数 . 设72nm代入，得5716km. 14571685m. m=0,1. 于是所求的个数为705. 设点 P00(,)xy,M( , )x y,有02 03xx,02( 1)3yy,得03xx,032yy而20004

7、40yyx,于是得点 M 的轨迹方程是291240yx. 二、解答题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用1. 解：13Axx，30Bxxaxa当0a时，03Bxaxa，由ABI得03a；当0a时，30Bx axa，由ABI得1a；当0a时，20Bx x，与ABI不符综上所述，1,00,3aU2. 证明：假设该校共有m个班级，他们的建议分别组成集合mAAA,21。这

8、些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在mAAA,21中至多有A（所有P条建议所组成的集合）的12221PP个子集，所以.21Pm3. 解:(I)由cdvu v,1331022a bv v,得2(tan3) tanc dabmabv u vvvvv=223(tan3tan )0mabvv,即223(tan3tan)m abvv,得31(tan3tan)()422m. (II) 由tant,得31( )(3 ),4mg ttttR求导得23( )(1)4mg tt,令( )0g t,得11t,21t

9、当(,1)t,( )0g t,( )g t为增函数 ;当( 1,1)t时,( )0g t,( )g t为减函数 ; 当(1,)t时,( )0g t,( )g t为增函数 . 所以当1t,即4时,( )mg t有极大值12;当1t,即4时,( )mg t有极小值12. 4解 :(I)1(1,0)F,122 2AFBF,设2( , )Fx y则121220AFAFBFBFa,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F的轨迹方程为1x和22(1)(2)184xy(0,4yy) (II) 直线1l:1x,2l:yxm,D(1,4), 椭圆 Q:22(1)(2)184xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

10、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用若2l过点1F或 D,由1F,D 两点既在直线1l上,又在椭圆Q 上,但不在2F的轨迹上 , 知2l与2F的轨迹只有一个公共点,不合题意 . 若2l不过1F,D 两点 (1,3mm).则2l与1l必有一个公共点E,且点 E 不在椭圆Q 上, 所以要使2l与2F的轨迹有且只有两个公共点,必须使2l与 Q 有且只有一个公共点, 把yxm代入椭圆的方程并整理得223(104

11、)2810 xm xmm由0,得12 3m. 5. 【思路分析】由nsin联想到复数棣莫佛定理，复数需要cos，然后分析An与复数的关系 . 【证明】因为.sin1cos,20,2sin2222222babababaab所以且显然nin)sin(cossin为的虚部，由于ni)sin(cos.)()(1)2()(1)2(2222222222222nnnnbiabaabibabaibaabbaba所以.)()sin(cos)(222nnbianinba从而nnnbianbaA222)(sin)(为的虚部 . 因为,a b为整数，根据二项式定理，nbia2)(的虚部当然也为整数，所以对一切*Nn，nA为整数 . 【评述】把nA为与复数ni)sin(cos联系在一起是本题的关键名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -