2022年平面与空间直线 .pdf

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1、平面与空间直线6. 平面的基本性质（4 个公理及公理3 的 3 个推论）数学语言、符号语言、图形语言：公理一：如果一条直线上有两个点在同一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。即lBAlBlA则直线且若,公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条公共直线，且它一定经过该公共点，即,.AAlAl若平面平面则直线 ，且公理三：经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面，即, ,ABCA B C若 ， ， 三点不共线，则平面且 唯一.推论（一）：经过直线与直线外一点，有且仅有一个平面，即,AlAl若则平面且 唯一.推论（二）：经过两条相交直线，有且仅有一个平面，即1212,llOl

2、 l若则平面且唯一.推论（三）：经过两条平行直线，有且仅有一个平面，即1212/ / ,llll若则直线平面且唯一.公理四：空间中，如果两条直线和同一条直线平行，那么这两条直线互相平行，即312132/ / ,/ / ,/ / .ll llll若直线则直线7. 直线 a 与 b 没有公共点，可以记作/ / ,abab或 与 异面.，直线a 与 b 不平行，可以记作,abab与 相交 或 与 异面.。8. 异面直线的判定定理：经过平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线 , 即,AaAa BABa若则直线与 是异面直线 .（两在两不在）9. 已知两异面直线所成的角为(02

3、) ，例题 1 下列叙述中，正确的是（C ）A 因为 P, Q.所以 PQB 因为 P, Q.所以PQC 因为,ABCAB DAB所以CDD 因为,ABAB所以()AAB且()B例题 2 请指出下列说法是否正确，并说明理由。（1）空间三点确定一个平面。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - （2）平面与平面若有公共点，就不止一个空间直线的位置关系：由 a/b ， b/c 可得a/c 经过直线外一点，有几条直线和这条直线平

4、行？一条例题 3：指出下列命题是否正确，并说明理由：（1）过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线是（2）过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直错例题 4 指出下列命题是否正确，并说明理由（ 1）若 a / b, ca , 则cb 正确(2) 若 a c , bc ，则a / b 错误例题 5 如果三条直线两两相交，那么这三条直线是否共面？例题 6 四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？不一定例题 7 空间不共面的四点能确定几个平面？四个例题 8 AB ,CD 是两条异面直线，那么AC, BD 一定是异面直线吗？为什么？是三例题分析：例 1如图，在四边形ABCD 中，

5、已知 ABCD，直线 AB，BC，AD，DC 分别与平面 相交于点 E，G，H，F求证： E，F，G，H 四点必定共线解： ABCD，AB，CD 确定一个平面又 ABE，AB， E ，E ，即 E 为平面 与的一个公共点同理可证 F，G，H 均为平面 与的公共点两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，E，F，G，H 四点必定共线说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论例 2已知： a， b，c，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c， d共面证明1o若当四条直线中有三条相交于

6、一点，不妨设a，b，c 相交于一点A，但 Ad，如图 1直线 d 和 A 确定一个平面 又设直线 d 与 a，b，c 分别相交于E，F，G，则 A，E，F，GA，E，A，Ea， a同理可证 b，ca，b，c，d 在同一平面 内2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2DCBAEFHG ba dcGFEAabcdHK图 1 图 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 这四条直线两两相交，则设相交直线a，b 确定一个平面

7、设直线 c 与 a，b 分别交于点H，K，则 H，K又 H，Kc， c同理可证 da，b，c，d 四条直线在同一平面内说明：证明若干条线(或若干个点 )共面的一般步骤是：首先根据公理3 或推论，由题给条件中的部分线 (或点 )确定一个平面， 然后再根据公理1 证明其余的线 (或点 )均在这个平面内 本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义例 3如图，点A，B，C 确定的平面与点D，E，F 确定的平面相交于直线l，且直线AB 与l 相交于点 G，直线 EF 与 l 相交于点 H，试作出平面ABD 与平面 CEF 的交线解：如图 3，在平面 ABC 内

8、，连结 AB，与 l 相交于点 G，则 G平面 DEF ；在平面 DEF 内，连结 DG，与 EF 相交于点 M，则 M平面 ABD，且 M平面 CEF所以， M 在平面 ABD 与平面 CEF 的交线上同理，可作出点N， N 在平面 ABD 与平面 CEF 的交线上连结MN，直线 MN 即为所求例 4如图， 已知平面 ，且l设梯形 ABCD 中，ADBC，且 AB，CD，求证： AB，CD，l 共点（相交于一点） 证明梯形 ABCD 中， ADBC，AB，CD 是梯形 ABCD 的两条腰AB，CD 必定相交于一点，设 ABCDM又 AB， CD， M，且 M M又 l， Ml，即 AB，CD

9、，l 共点说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的EBADFC EBAl图 3 GHDFCMDCBAlM 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5如图， P、Q、R 分别是四面体ABCD 的棱 AB，AC， AD 上的点，若直线PQ 与直线 BC的交点为 M，直线 RQ 与直线 DC 的交点为 N，直线 PR 与直线 DB 的交点为L，试证明M，N，L 共线证明：易证M，N，L平面 PQR，

10、且 M，N， L平面 BCD，所以 M，N，L平面 PQR平面 BCD，即 M，N，L 共线6如图， P、Q、R 分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱 AA1，BB1，DD1上的三点，试作出过 P，Q， R 三点的截面图作法连接 PQ，并延长之交A1B1的延长线于T；连接 PR，并延长之交A1D1的延长线于S；连接 ST交 C1D1、B1C1分别于 M，N，则线段 MN 为平面 PQR 与面 A1B1C1D1的交线连接 RM，QN，则线段 RM，QN 分别是平面PQR 与面 DCC1D1，面 BCC1B1的交线得到的五边形PQNMR 即为所求的截面图（如图4） 说明求作二平面的交线问题，主

11、要运用公理1解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点有时同时还要运用公理2、3 及公理的推论等知识7如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1的中， A1C1B1D1O1，B1D平面 A1BC1P求证： P BO1证明在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，B1D平面 A1BC1P， P平面 A1BC1，P B1DB1D平面 BB1D1D P平面 A1BC1，且 P平面 BB1D1DP平面 A1BC1平面 BB1D1D，A1C1B1D1O1，A1C1平面 A1BC1，B1D1平面 BB1D1D，O1平面 A1BC1，且 O1平面 BB1D1D又 B平面 A1BC1，且 B平面 BB1D

12、1D，平面 A1BC1平面 BB1D1DBO1 PBO1说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上5异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b，经过空间任一点OA1 ABB1DD1CC1R QPA1 ABB1DD1CC1O1PA B C D M N L P Q R A1 ABB1DD1CC1STR QP图 4 NMbOba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - ADGFHEBC作直线/,

13、/aa bb，,a b所成的角的大小与点O的选择无关，把,a b所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b所成的角（或夹角） 为了简便，点O通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2,0(6异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线,a b垂直，记作ab7求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求注：我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；证明两直线异面

14、的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作证算答”三、讲解范例：例 1 已知四边形ABCD 是空间四边形， E、H分别是 AB 、AD的中点，F、 G分别是边 CB 、 CD上的点，且32CDCGCBCF，求证：四边形EFGH 是梯形分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形考虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例证明：如图，连接BD EH是 ABD的中位线， EH/BD,EH=21BD. 又在 BCD中，32CDCGCBCF， FG/BD,FG=32BD. 根据公理 4，EH/FG 又 FG EH,四边形 EFGH 的一

15、组对边平行但不相等例 2 如图，A是平面BCD外的一点,G H分别是,ABCACD的重心，求证：/GHBD证明：连结,AG AH分别交,BC CD于,M N，连结MN，,G H分别是,ABCACD的重心，,M N分别是,BC CD的中点，/MNBD，又23AGAHAMAN，/GHMN，由公理 4 知/GHBDNMHGDCBAD1C1B1A1DCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 例 3如图，已知不共面的直线, ,

16、a b c相交于O点，,M P是直线a上的两点，,N Q分别是,b c上的一点求证：MN和PQ是异面直线证（法一）：假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为，,M Pa MP，a，又oa，o，,NOb Nb，b，同理c，, ,a b c共面于，与已知, ,a b c不共面相矛盾，所以，MN和PQ是异面直线（法二）：acO，直线,a c确定一平面设为，,Pa Qc，,PQ，PQ且,MMPQ，又, ,a b c不共面，Nb，N，所以，MN与PQ为异面直线例 4 正方体ABCDA B C D中那些棱所在的直线与直线BA是异面直线？求BA与CC夹角的度数那些棱所在的直线与直线AA垂直？解： （1）由异面直线的判定方法可知，与直线BA成异面直线的有直线,B CAD CCDDDC D C，（2）由/BBCC，可知B BA等于异面直线BA与CC的夹角，所以异面直线BA与CC的夹角为45（3）直线,AB BC CD DA A BB C C DD A与直线AA都垂直cbaQPNMODABCBACD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -