2022年幂函数、函数与方程 .pdf

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1、1 幂函数、函数与方程、函数模型及应用一、 知识综述幂函数 ：（一）幂函数的定义：一般地，形如y= ax(aR)的函数称为幂函数，其中a 为常数。（二）准确理解幂函数的定义：幂函数具有严格的形式，如形如：y=max,y=()amx,y=ax+m,y=()axm等均不是幂函数；不要把指数函数和幂函数混淆起来；（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（ 1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1） ；（ 2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间), 0上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；

2、（ 3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴（4）当 a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数；几 种 重 要 的 幂 函 数 的 图 象：函特数征性质y=x y=2x y=3xy=12x y=1x图像定义域 xR xR xR x0, +) xR(R0)值域 yR y0, +) yRy0, +)yR且 y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数在 x（-， 0）y 为减函数在 x（0，+）y 为增函数增函数增函数在 x（-，0）y 为减函数

3、在 x（0，+）y 为减函数定点（1，1）、（0，0） （0，0）、（1，1）（0，0）、（1，1）（0，0）、（1，1）（1，1）（四）幂函数与凹、凸函数： 1 凹、凸函数的定义：几何描述：我们把函数图形向上凸的函数，称为凸函数；我们把函数图形向下凸的函数，称为凹函数；代数描述：设点1M、2M在函数图象上，线段1M2M所对应的函数为y=g(x),x 1x, 2x, 当0 x 1x, 2x 时，关于 y=f(x),若总有 f(0 x)g(0 x), 则称函数y=f(x)为凸函数当0 x 1x, 2x 时，关于 y=f(x),若总有 f(0 x)g(0 x), 则称函数y=f(x)为凹函数名师资

4、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 函数与方程1. 二次函数(1) 定义：形如2( )(0)f xaxbxc a的函数叫二次函数. (2) 图像：二次函数2( )(0)f xaxbxc a的图像是抛物线，对称轴方程为_，顶点坐标为_. 当a0 时，图像开口 _，函数在 _上递减，在 _上递增 . (3) 二次函数的解析式的三种形式：一般式： _；顶点式： _；两根式： _. (4) 二次函数的零点：， 方程02cbxa

5、x有两不等实根， 二次函数的图像与x轴有两个交点， 二次函数有两个零点， 方程02cbxax有两相等实根， 二次函数的图像与x轴有一个交点， 二次函数有一个零点，方程02cbxax无实根，二次函数的图像与x轴无交点，二次函数无零点2. 函数与方程(1) 函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。(2) 函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根， 亦即函数)(xfy的图像与x轴交点的 _。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图像与x轴有交点函数)(xfy有零点(3) 函数零点的求法：（代数法）求方程0)(xf的实数根

6、；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点(4) 零点存在性定理：如果函数xfy在区间ba,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0fafb，那么函数xfy在区间ba,内有零点，并且至少存在一个。即存在bac,使得0cf这个c也就是方程0 xf的根。(5) 零点唯一性定理：如果函数xfy在区间ba,上的图像是连续不断的一条曲线，当函数xfy在区间ba,上是增函数或是减函数时，并且有0faf b，那么函数xfy在区间ba,内有且仅有一个零点。即唯一存在bac,使得0cf。3. 二分法(1) 二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的

7、区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 (2) 用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值 x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点， 则此中点对应的坐标为. 计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如

8、果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为. 计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令；继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止. 这时函数的近似零点满足给定的精确度. 二、课堂练习幂函数自测1下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A3xyB3xyC32xyD13xy2函数2xy在区间2,21上的最大值是（）A41B1C4D43设函数y=lg(x25x)的定义域为 M ，函数y=lg(x5)+lgx的定义域为 N，则（

9、）AM N=R BM=N CMN DMN 4函数34xy的图象是 （）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 A B C D5下列命题中正确的是（）A当0时函数xy的图象是一条直线B幂函数的图象都经过（0， 0）和（ 1，1）点C若幂函数xy是奇函数，则xy是定义域上的增函数D幂函数的图象不可能出现在第四象限6函数3xy和31xy图象满足（）A关于原点对称 B关于x轴对称 C关于y轴对称 D关于直线xy对称7函数0,

10、0, 12)(21xxxxfx，满足1)(xf的x的取值范围（）A) 1 , 1(B), 1( C 20|xxx或 D 11|xxx或8函数2422xxy的单调递减区间是（）A6,(B),6C1,(D), 19已知 f(x)=log21x, 则不等式 f(x)2f(x2) 的解集为（）（ A） （0，41）（B） （1，+）（C ） （41，1）（D） （ 0，41）（1，+）10 对于对数函数xxf2log)(，若210 xx，则)2(21xxf，2)()(21xfxf大小关系是（）A)2(21xxf2)()(21xfxfB)2(21xxf2)()(21xfxfC)2(21xxf2)()(2

11、1xfxfD 无法确定函数与方程基础自测：1函数133)(2xxxf零点的个数为（） A0 B1 C2 D32. 函数3)(5xxxf的实数解落在的区间是( ) A 1 ,0 B2, 1 C3 ,2 D4,33. 若 f （x） =1xx，则方程 f （ 4x）=x 的根是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 A. 2 B.2 C. 12 D. 124. 函数 y=|log2|x|1 的零点有（）A.1 个 B

12、.2个 C.3个 D.4个5. 以下函数图象中, 不能用二分法求函数零点的是( ) 6. 已知函数 y=x2+(1-k)x-k的一个零点在 (2,3) 内, 则实数 k 的范围是 ( ) A.(-3,-2) B.(2,3) C.(3,4) D.(0,1) 7. 函数 f(x)=-2x +4x-3在区间 1,3 上 ( ) A.没有零点 B.有一个零点 C.有两个零点 D.有无数个零点8. 若方程2x+(m-2)x+(5-m)=0无解 ,则 m的取值范围是 ( ) A.（- ,-4 B.（-4,4 ） C.（ -5,-4 ） D.（- ,-5 ）（ -5,-4 9. 函数252)(2xxxf的零

13、点是（）A2 B、21 C、21，2 D、-2 10. 已知函数1)(2xxf，则函数)1(xf的零点是 _11函数xxy112的零点是 _12二次函数)3(2mmxxy有两个不同的零点，则m的取值范围是_. 13. 方程ln280 xx的根的个数是 _个. 14. 已知二次方程013)2(2mxxm的两根分别属于)0 ,1(和)2,0(，求m的取值范围15.)1(已知函数43)(mxxf，若在0 ,2上存在0 x，使0)(0 xf，求实数m的取值范围；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

14、 - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 )2(若方程0122xax在)1 ,0(上恰有一解，求实数a的取值范围附加题：1(2009 山东临沂一模，文13) 当 1，12，1,3 时，幂函数y x的图象不可能经过第_象限2. 在同一坐标系内，函数yxa(a 0) 和 yaxa 的图象应是 ( ) 3. 已知(31)4 ,1( )log,1aaxa xfxx x是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（）（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）1 1(,)7 3（D）1,1)74已知1122loglog0mn则（A） nm 1 （B）m n1 （C）1m n （D）1nm 5方程(1)(1)22log2logxx的解为 _。6方程233log (10)1logxx的解是。7. 已知函数1( )21xf xa, 若 f(x) 为奇函数，则a=_。8. 不等式3)61(log2xx的解集为。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -