2022年平稳时间序列预测法 .pdf

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1、第七章平稳时间序列预测法基本内容一、概述1、 时间序列ty取自某一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间变化，则称过程是非平稳的。2、 宽平稳时间序列的定义：设时间序列ty，对于任意的t,k和m，满足：mttyEyEkmtmtkttyyyy,cov,cov则称ty宽平稳。3、Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA 模型识别、估计和诊断的系统方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、 结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础

2、。4、ARMA模型三种基本形式：自回归模型（AR：Auto-regressive） ，移动平均模型（MA ：Moving-Average ）和混合模型（ARMA ：Auto-regressive Moving-Average ） 。（1）自回归模型AR(p) ：如果时间序列ty满足tptpttyyy.11其中t是独立同分布的随机变量序列，且满足：0tE，02tVar则称时间序列ty服从 p 阶自回归模型。或者记为kttyyB。平稳条件：滞后算子多项式ppBBB.11的根均在单位圆外，即0B的根大于 1。（2）移动平均模型MA(q) ：如果时间序列ty满足qtqttty.11则称时间序列ty服从

3、 q 阶移动平均模型。或者记为ttBy。平稳条件：任何条件下都平稳。（3） ARMA(p,q) 模型：如果时间序列ty满足qtqttptpttyyy.1111则称时间序列ty服从 (p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为ttByB。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 特殊情况： q=0,模型即为 AR(p) ，p=0, 模型即为MA(q) 。二、时间序列的自相关分析1、自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法，它简单

4、易行、较为直观，根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。2、自相关函数的定义：滞后期为k 的自协方差函数为：tktkyyr,cov，则ty的自相关函数为：tktyykkr，其中22ttyyEyEt。当序列平稳时，自相关函数可写为：0rrkk。3、 样本自相关函数为：nttkntkttkyyyyyy121?，其中nyyntt/1，它可以说明不同时期的数据之间的相关程度，其取值范围在-1 到 1 之间，值越接近于1，说明时间序列的自相关程度越高。4、 样本的偏自相关函数：1?1k

5、11, 111,1?1?kjjkjkkjjkjkk,.3 ,2k其中，jkkkkjkjk, 1,1,?。5、 时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：若时间序列的自相关函数基本上都落入置信区间，则该时间序列具有随机性；若较多自相关函数落在置信区间之外，则认为该时间序列不具有随机性。6、 判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是：若时间序列的自相关函数k?在 k3 时都落入置信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面，则该时间序列就

6、不具有平稳性。7、 ARMA 模型的自相关分析AR(p) 模型的偏自相关函数kk是以 p 步截尾的，自相关函数拖尾。MA(q) 模型的自相kk?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 关函数具有q 步截尾性， 偏自相关函数拖尾。这两个性质可以分别用来识别自回归模型和移动平均模型的阶数。ARMA(p,q) 模型的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的。三、单位根检验和协整检验1、单位根检验利用迪基福勒检验（Dickey-Full

7、er Test）和菲利普斯佩荣检验（Philips-Perron Test）,我们也可以测定时间序列的随机性，这是在计量经济学中非常重要的两种单位根检验方法， 与前者不同的事，后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差不是白噪声，而且存在自相关的情况。随机游动如果在一个随机过程中，ty的每一次变化均来自于一个均值为零的独立同分布，即随机过程ty满足：tttyy1，.2 ,1t，其中t独立同分布，并且：0tE，22ttEVar称这个随机过程是随机游动。它是一个非平稳过程。单位根过程设随机过程ty满足：tttyy1，.2, 1t，其中1，t为一个平稳过程并且0tE，sstt,cov，.2, 1

8、,0s。2、协整关系如果两个或多个非平稳的时间序列，其某个现性组合后的序列呈平稳性，这样的时间序列间就被称为有协整关系存在。这是一个很重要的概念，我们利用Engle-Granger 两步协整检验法和Johansen协整检验法可以测定时间序列间的协整关系。四、 ARMA 模型的建模1、模型阶数的确定基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法对于ARMA(p,q) 模型，可以利用其样本的自相关函数k?和样本偏自相关函数kk?的截尾性判定模型的阶数。具体方法如下：i、对于每一个q,计算1?q，2?q，Mq?（M 取为n或者10/n） ，考察其中满足qiikn12?211?或者qiikn12?212?的个数

9、是否占M 个的 68.3%或者 95.5%。如果01qk，k?都明显地异于零，而10?q，20?q，Mq0?均近似于零，并且满足上述不等式之一的k?的个数达到其相应的比例，则可以近似的判定k?是0q步截尾，平稳时间序列ty为 MA(0q)。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - ii、类似，我们可通过计算序列kk?，考察其中满足nkk1?或者nkk2?的个数是否占M 个的 68.3%或者 95.5%。即可以近似的判定kk

10、?是0p步截尾，平稳时间序列ty为 AR(0p). iii 、如果对于序列kk?和k?来说，均不截尾，即不存在上述的0p和0q，此时属于情况 iii ，则可以判定平稳时间序列ty为 ARMA 模型。此外常用的方法还有：基于F-检验确定阶数；利用信息准则法定阶（AIC 准则和BIC 准则）2、模型参数的估计 初估计i、 AR(p) 模型参数的Yule-Walker 估计特 例 ： 对 于 一 阶 自 回 归 模 型AR(1) ，11?， 对 于 二 阶 自 回 归 模 型AR(2) ，21211?1?1?，212122?1?。ii、MA(q) 模型参数估计特例：对于一阶移动平均模型MA(1),

11、12112411?，对于二阶移动平均模型MA(2) ，222121111，2221221。iii 、ARMA(p,q) 模型的参数估计模型很复杂，一般利用统计分析软件包完成。精估计ARMA(p,q) 模型参数的精估计，一般采用极大似然估计，由于模型结构的复杂性，无法直接给出参数的极大似然估计，只能通过迭代方法来完成，这时，迭代初值常常利用初估计得到的值。3、ARMA(p,q) 序列预报设 平 稳 时 间 序 列ty是 一 个ARMA(p,q)过 程 ， 则 其 最 小 二 乘 预 测 ：11,.,?yyyElyTTt。i、AR(p) 模型预测plylylyTpTt?.1?1，,.2, 1lii

12、、ARMA(p,q) 模型预测名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - jljlylyTjqjTpjjt?11，其中1,.,?yyEiTiTT。iii 、预测误差预测误差为：11110.?llltlttlttlyyle。l 步线性最小方差预测的方差和预测步长l 有关，而与预测的时间原点t 无关。预测步长l 越大，预测误差的方差也越大，因而预测的准确度就会降低。所以一般不能用ARMA(p,q) 作为长期预测模型。iv、预测的置信区间预测的 95%置信区间：21212120.96.1?ltly。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -