2022年八年级数学轴对称图形综合 .pdf

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1、轴对称全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1. 轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线

2、对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上 . （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别 : 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2. 线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点二、作轴对称图形1. 作轴对称图形（1）几何图形都可以

3、看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2. 用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x, y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（x, y）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 -

4、- - - - - - - - 要点三、等腰三角形1. 等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）. 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45. （3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边” ）. 2. 等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60. （3）等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三

5、角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为 60 的等腰三角形是等边三角形. 3. 直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用1、如图， C、D、E、F 是一个长方形台球桌的4 个顶点， A、B?是桌面上的两个球，怎样击打 A 球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A?球经过的路线，并写出作法【变式】 已知 MON 内有一点 P，P关于 OM ，ON的对称点分别是1P和2P，12PP分别交 OM, ON与点 A、B ，已知12PP15，则 PAB 的周长为（）A. 15 B 7

6、.5 C. 10 D. 24 【答案】 A；提示：根据轴对称的性质，11,PAP A PBPB，PAB 的周长等于12PP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2、如图， ABC中，点 A的坐标为（ 0，1） ，点 C的坐标为（ 4，3） ，点 B的坐标为（3，1） ，如果要使 ABD与 ABC全等，求点D的坐标【答案与解析】解：满足条件的点D的坐标有3个（ 4， 1） ； （ 1， 1） ； （ 1，3）. 类型二

7、、等腰三角形的性质与判定3、已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组23328xyxy，则此等腰三角形的周长为（）A.5 B.4 C.3 D.5或 4 解：解方程组23328xyxy得21xy，当腰为 1，2 为底时， 112，不能构成三角形，当腰为 2，1 为底时，能构成三角形，周长为2215 【变式】已知等腰三角形的一个内角为70，则另两个内角的度数是（）A.55， 55 B.70 ， 40 C.55， 55或 70， 40 D.以上都不对【答案】 C；4、如图，在 ABC中，点 E 在 AB上，点 D在 BC上， BDBE ， BAD BCE ，AD与CE相交于点 F，试判断 AFC的

8、形状，并说明理由【思路点拨】要判断 AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看FAC和FCA的关系因为BAD BCE ，因此我们只比较BAC和 BCA的关系即可【答案与解析】解： AFC是等腰三角形理由如下：在BAD与BCE中， B B， BAD BCE ，BD BE ， BAD BCE ，BA BC ， BAC BCA ， BAC BAD BCA BCE ，即 FAC FCA AFCF， AFC是等腰三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10

9、 页 - - - - - - - - - 【变式】 如图，BAC 90，以 ABC的边 AB 、AC为直角边向外作等腰直角ABE和 ACD ，M是 BC的中点，请你探究线段DE与 AM之间的数量关系【答案】 ED 2AM 解：连接DE ， BAC 90，M是 BC的中点AM BM MC 12BCEAD BAC 90， AE AB，AC AD ABC AED ED BC ED 2AM 类型三、等边三角形的性质与判定5、如图，设为等边ABC内一点，且AD BD ，BP AB, DBP DBC.求 BPD的度数 . 【答案与解析】解：如图，连接CD ， ABC是等边三角形，AB AC BC，又 AD

10、 BD ，DC是公共边， BDC ADC （SSS ） ， DCB DCA 1260 30， DBC DAC ， DBP DBC ， DAC DBP ，又已知 BP AB ，BP AC ， DBP DAC （SAS ） ， P ACD 30【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 提高：1、 如图， ABC的内

11、部有一点P，且 D，E，F是 P分别以 AB ，BC ， AC为对称轴的对称点 若 ABC的内角 A70， B60，C50，则 ADB BEC CFA （）A.180 B.270 C.360 D.480【答案】 C；解：连接AP ，BP，CP ，D，E，F 是 P分别以 AB ，BC，AC为对称轴的对称点 ADB APB ， BEC BPC ，CFA APC ， ADB BEC CFA APB BPC APC 3602、已知 MON 40，P 为MON 内一定点， OM上有一点A，ON上有一点B，当 PAB的周长取最小值时，求APB的度数 .【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对

12、称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】解：分别作P关于 OM 、ON的对称点1P，2P，连接12PP交 OM 于 A，ON于 B.则 PAB为符合条件的三角形 . MON 4012PPP140. 1PPA12PAB,2P PB12PBA. 12 ( PAB PBA) APB 140 PAB PBA 2APB 280 PAB 1P1PPA, PBA 2P2P PB1P2P12PPP180 APB 100【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值. 名师资料总结 - - -精品资料

13、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3、如图，在五边形ABCDE 中， BAE 120， B E90， AB BC ，AE DE ，在 BC ，DE上分别找一点M ， N， 使得 AMN 的周长最小时， 则 AMN ANM 的度数为（） A 100 B110 C 120 D 130 【答案】 C；提示：找 A点关于 BC的对称点1A，关于 ED的对称点2A，连接12A A，交 BC于 M 点， ED于 N点，此时 AMN 周长最小 . AMN A

14、NM 180 MAN ，而 2BAM AMN ，2EAN ANM ，BAM EAN MAN 120, 所以 AMN ANM 120. 4、如图， ABC关于平行于x轴的一条直线对称，已知 A点坐标是 （1，2） ，C点坐标是 （ 1，4） ，则这条平行于x轴的直线是（）A.直线x 1 B.直线x3 C.直线y 1 D.直线y 3 【思路点拨】根据题意，可得A、C的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直线【答案】 C；【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC 又 A点坐标是（ 1，2） ，C点坐标是（ 1，4）AC 6 点 A，C到该直线的距离都为3 即可得直线为

15、y 1 【总结升华】 本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由A与 C的纵坐标求得对称轴名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【巩固练习】一. 选择题1. 如图，阴影部分是由5 个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形( 阴影部分 ) ，其中不是轴对称图形的是( ) 2直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）A.形内 B. 形外 C.

16、斜边的中点D.不能确定3. 以下叙述中不正确的是（）A等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B其中有一内角为60的等腰三角形是等边三角形C等腰三角形一定是锐角三角形D在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等4下列条件有一个角为60的三角形；三个外角都相等的三角形；一边上的高与中线重合的三角形； 有一个角为60的等腰三角形 能判定三角形为等边三角形的有（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5. 如图， BD是ABC的角平分线， DE BC，DE交 AB于 E, 且 AB BC，则下列结论中错误的是（） A

17、BD AC BAEDA CBC 2AD DBE ED 6. 如图， ABC中ACB 90,CD 是 AB边上的高， BAC的角平分线AF交 CD于 E，则 CEF必为（） A. 等腰三角形 B.等边三角形C. 直角三角形 D.等腰直角三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7. 下列说法中不正确的是（）A.等边三角形是轴对称图形 B. 若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称 C

18、.若 ABC 111CBA , 则这两个三角形一定关于一条直线对称 D. 直线 MN 是线段 AB的垂直平分线，若P点使 PA PB ，则点 P在 MN上，若11P APB，则1P不在 MN上8如图所示 ,Rt ABC中， C 90,AB 的垂直平分线DE交 BC于 D，交 AB于点 E当 B 30时，图中不一定相等的线段有（）AAC AE BE BAD BD CCD DE DAC BD 二. 填空题9. 如图， O 是 ABC内一点，且 OAOB OC ，若 OBA 20,OCB 30，则 OAC _. 9 题 10题10. 如图， ABC中， A 90， BD为 ABC平分线， DE BC

19、 ，E是 BC的中点， C的度数为 _.11. 如图， ABC中， C90， D是 CB上一点，且DA DB 4， B15, 则 AC的长为11 题 13题12. 在 ABC中， AB AC，若 A B30则 A_， B_. 13. 点 D、E分别在等边 ABC的边 AB 、BC上，将 BDE沿直线 DE翻折，使点B落在 B1处，DB1、EB1分别交边 AC于点 F、G若 ADF 80o，则 CEG 14一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是_15. 等腰三角形的两边长分别为10cm，6cm，则它的周长为_. 16. 三角形纸片ABC中， A60， B80，将纸片的一角折叠，使点C?落

20、在 ABC内，如图所示 130，则 2_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 三. 解答题17如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点E，若 AC平分 DAB ，?且 ABAE ，AC AD，求证 DBC 12DAB 18如图所示，在ABC中， B90，ABBC ，BD CE ，M是 AC 边的中点，求证DEM是等腰三角形CEBADM【答案与解析】一. 选择题1. D ；2. C ；3. ；4. ；

21、5. C ；6. A ；7. C ；8. D ；二. 填空题9. 【答案】 40；【解析】AOB与 BOC 与 AOC 均为等腰三角形, OAC 180220302（）40. 10. 【答案】 30；【解析】证BDE CDE ， ABD DBE C30.11. 【答案】 2；【解析】 ADC 30，122ACAD. 12. 【答案】 80 ， 50；【解析】 A B30， A2B180，解方程组得A80， B50. 13. 【答案】 40；【解析】 BDE 18080502， BED DEG 180 50 60 70，所以CEG 40. 14. 【答案】 W 5236499 【解析】只需将倒影

22、沿垂直旋转180即可，因此该车的牌照号码为：W 5236499. 15. 【答案】 26cm或 22cm；【解析】没有指明腰和底边，要分类讨论. 16. 【答案】 50；【解析】 C40，根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理，250. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 三. 解答题17. 【解析】证明： AC平分 DAB ， DAE CAB 在 DAE和 CAB中，,ADACDAECABAEAB DAE CA

23、B （SAS ） ， BDA ACB ，又 AED CEB ， ADE AED ACB CEB ， DAE 180（ ADE AED ） ， DBC 180（ ACB CEB ） ， DAE DBC ， DAE 12DAB ， DBC 12DAB 18 【解析】证明：连接BM ，AB BC ，AM MC ，BM AC ，且 ABM CBM 12ABC 45，AB BC ，所以 A C1802ABC45， A ABM ，所以 AM BM ，BD CE ，ABBC ，AB BD BCCE ，即 AD BE ，在 ADM 和 BEM 中，,45 ,ADBEAEBMAMBM ADM BEM （SAS ） ，DM EM ， DEM 是等腰三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -