2022年平面向量的线性运算以及坐标运算 .pdf

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1、一、同步知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量(注意零向量，单位向量) 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加（减）法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab运算性质：交换律：abba；结合律：abcabc；00aaa3、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aaa；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的 方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa；abab二、同步例题

2、分析例 1、 判断下列命题的真假。（1）零向量是没有方向的；（2）零向量与任一向量共线；（3）零向量的方向是任意的；（4）单位向量都是相等的向量； （5）向量AB与向量BA的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（ 7）若两个单位向量共线，则必相等；（8）向量就是有向线段； （9）非零向量a的单位向量是aa； （10）若/ /ab，则ab； （11）若ab，则ab；baCabCC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -

3、 （12）若ab，则/ /ab； （ 13）若ab，则ab。例 2、 给出下列几个命题：（1）若/ / ,/ /ab bc，则/ /ac；（2）若ABDC，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点；（3）在平行四边形ABCD 中，一定有ABDC；（4）若, mn nk，则mk。其中不正确命题的个数为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 例 3、如图，在ABCD中，1,3ABaADbANAC，M 为 BC 的中点，则MN=_。 （用, a b表示）变式： 1、 化简下列各式：（1）+BCAB；（ 2）ABACBDCD；（3）NQQPMNMP。2、已知 P，A，B，C是平面内四点，且A

4、CPCPBPA，那么一定有（） A APPB2 B PBCP2 CPBAP2 DABPB23、已知R、，则在以下各命题中，正确的命题共有（）（1）0,0a时，a与a的方向一定相反；（2）0,0a时，a与a的方向一定相同；NMCBAD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - （3）0,0a时，a与a是共线向量；（4）0,0a时，a与a的方向一定相同；（5）0,0a时，a与a的方向一定相反。A. 2 个B. 3 个C. 4

5、个D. 5 个4、已知任意平面四边形ABCD 中， EF 分别为 AD、BC 的中点。求证：1()2EFABDC5、如图，在五边形ABCDE 中，若 ACDE 是平行四边形，且ABa，ACb，AEc，试用, , a b c表示向量, , , BDBC BE CD及CE。例 8、 设两个非零向量a b、不共线，（1）若, 28 , 3()ABabBCabCDab，求证： A、B、D 三点共线。（2）试确定实数k 使得kab与akb共线。变式：如图，平行四边形ABCD 中， E 是 DC 中点， AE 交 BD 于 M，试用向量的方法证明：M 是 BD 的一个三等分点。EDCBA名师资料总结 -

6、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 三、课后作业1、若有以下命题： 两个相等向量的模相等； 若a和b都是单位向量，则ba； 相等的两个向量一定是共线向量；ba/，bc/，则ca/； 零向量是唯一没有方向的向量； 两个非零向量的和可以是零。其中正确的命题序号是。2、已知下列各式：CABCAB； OMBOMBABCDBDACABCOBOOCOA其中结果为零向量的个数为（）A1 B2 C3 D4 3、在ABCD 中，设dBDcACbADa

7、AB,，则下列等式中不正确的是（）AcbaBdbaCdabDbac4、若 a 与 b 的方向相反，且ab ，则 a+b 的方向与 a 的方向；此时 abab 5、若8,5,ABAC则BC的取值范围是6、 （广东卷）如图1 所示，D是ABC 的边AB上的中点，则向量CD( ) A.12BCBAB. 12BCBAC. 12BCBAD. 12BCBA7、在四边形ABCD 中，若|,bababADaAB且,则四边形 ABCD 的形状 _ 8、设21,ee为两个不共线的向量，若21eea与2132eeb共线，则=_ ADCB图 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

8、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9、设21,ee是两不共线的向量，若21212133,82,eeCDeeBCeeAB，试证DBA,三点共线10、如图，在任意四边形ABCD 中， E、F 分别是 AD ，BC 的中点，求证：2=+EFDCAB思考题：设点 O 在 ABC内部，且有04OCOBOA，求三角形 ABC与三角形 OBC的面积之比。平面向量的基本定理及坐标表示一、知识点梳理1、如果e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使

9、a=1e12e2。称不共线的向量e1、e2叫做一组基底。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2、已知两个非零向量a 和 b，做, ,OAaOBb，则0180AOB叫做向量a 与 b 的夹角。如果a与 b 的夹角是 90 ，则称 a 与 b，记作。3、向量的正交分解：4、平面向量的坐标运算（1）平面向量的坐标：设, i j是与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量a，有且只有一对实数,x y，使得

10、axiyj，记作,ax y。（2）平面向量的坐标运算1122, ,ax ybxy，则有ab，ab，a， 设1122, ,A x yB xy，则有AB； 向量共线的坐标表示：设1122, ,ax ybxy，则有 a 与 b 共线，； 中点公式设111222, ,P x yPxy，P 为12PP的中点，则对任一点O，有1212OPOPOP，所以点 P 的坐标是。二、专题经典讲练例 1、 设12ee、是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（）A. 1212eeee,B. 121232 46eeee,C. 121222eeee,D. 112, eee例 2、 已知xyR、，向量(

11、2 ,1), (1,)axbyx，若ab，求向量(4 ,)cxy。变式： 1、 已知( 1,5), 34( 6,19)abab，求, a b。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2、若(0,1),(1,2),(3,4)ABC，则2ABBC=_。3、设向量a=(1, 3),b=(2,4),若表示向量4a、3b2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（）(A) （ 1， 1）(B) （ 1， 1）(C)

12、（ 4，6）(D) （4， 6）4、已知过点A( 2，m)和 B(m，4)的直线与直线2x+y 1=0 平行，则m 的值为（）A0 B 8 C2 D10 例 2、 已知点)0 ,3(),0, 0(),1 ,3(CBA， 设B A C的平分线 AE 与 BC 相交于 E， 且CE=BC， 则等于 （）A.2 B.21C.-3 D. 31-变 式 ： 1 、O是 平 面 上 一 定 点 ，ABC、 、是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P 满 足() ,0 ,A BA CO PO APA BA C则的轨迹一定通过ABC的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心2、 平面直角坐标系

13、中，O为坐标原点， 已知两点3, 1,1 , 3BA， 若点C满足OBOAOC， 其中有R,且1，则点C的轨迹方程为 ( ) 01123)(yxA521)(22yxB02)(yxC052)(yxD例 3、已知点 A(1, 2),若向量AB与a=2,3 同向 ,AB=213,则点 B 的坐标为. 变式： 1、已知向量a=（ 2，2） ，b=（5，k）.若|a+b|不超过 5，则 k 的取值范围是（）A4，6 B6，4 C6， 2 D2，6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

14、 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2、已知向量)sin,(cosa,向量) 1, 3(b则|2|ba的最大值，最小值分别是（）A0 ,24B24, 4C16， 0 D4，0 3、若平面向量b与向量)2, 1(a的夹角是180，且53|b，则bA. )6, 3(B. )6,3(C. )3, 6(D. )3,6(4、若向量，满足|，则与所成角的大小为_例 4、 若向量(1,2), ( ,1), 2 , 2abxuab vab，且/ /uv，求x的值。变式： 1、已知向量),cos,(sin),4, 3(ba且ab，则tan= （A）43（B）43（ C）34（D）342、

15、向量( ,12),(4,5),(10, )OAkOBOCk，当k为何值时， A、B、C 三点共线。3、ABC的三内角,A B C所对边的长分别为, ,a b c设向量(, )pac b,(,)qba ca,若/pq,则角C的大小为（）(A)6(B)3(C) 2(D) 23例 5、 已知三点(2,3),(5,4),(7,10)ABC，点 P 满足()APABACR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - （1）为何值时，点

16、P 在正比例函数yx的图像上？（2）设点 P 在第三象限，求的取值范围。课后作业1、下列各组向量中，可以作为基底的是（）A)0, 0(1e，)2, 1(2eB)2, 1(1e，)7, 5(2eC)5 , 3(1e，)10,6(2eD)3,2(1e，)43,21(2e2、已知点1,3 ,4, 1 ,ABAB则与向量同方向的单位向量为（）A3455，-B4355，-C3 45 5，D4 35 5，3、已知)2,5(a，)3,4(b，),(yxc，若032cba，则c等于（）A)38, 1(B)38,313(C)34,313(D)34,313(4、若将向量)1 ,2(=a围绕原点按逆时针方向旋转4得

17、到向量b,则向量b的坐标为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6、在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1) 和点 B(-3,4) ，若点 C 在 AOB 的平分线上且 |OC|=2,则OC= 7、已知 ABCD 为平行四边形，A(-1,2) ，B (0,0)， (1,7)，则点坐标为8、若平面向量ba,满足1|ba，ba平行于x轴，)1, 2(b，则a9、已知点(1, 1)A,(3,0)B,(2,1)C. 若平面区域D由所有满足APABAC 10（2，1）的点 P 组成, 则 D的面积为 _.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -