2022年初中数学几何图形综合题 .pdf

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1、初中数学几何图形综合题必胜中学2018-01-30 15:15:15题型专项几何图形综合题【题型特征】 以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题 ,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心 ,以圆为重点 ,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用 . 【解题策略】 解答几何综合题应注意 :(1)注意观察、分析图形 ,把复杂的图形分解成几个基本图形 ,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路 ;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.

2、【小结】 几何计算型综合问题 ,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系 ,在复杂的 “ 背景” 下辨认、分解基本图形 ,或通过添加辅助线补全或构造基本图形 ,并善于联想所学知识 ,突破思维障碍 ,合理运用方程等各种数学思想才能解决 . 【提醒】 几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是 ,在近年各地的中考试题中 ,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题 ,根据新课标的要求 ,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训

3、练 ,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便 ,我们将几何综合题分为 :以三角形为背景的综合题 ;以四边形为背景的综合题 ;以圆为背景的综合题 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - 类型 1操作探究题1在 RtABC 中， C90 ，RtABC 绕点 A 顺时针旋转到 RtADE 的位置，点 E 在斜边 AB 上，连接 BD，过点 D 作 DFAC 于点 F. (1)如图 1，若点 F 与点 A 重合

4、，求证： ACBC；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - (2)若DAFDBA. 如图 2，当点 F 在线段 CA 的延长线上时，判断线段AF 与线段 BE 的数量关系，并说明理由；当点 F 在线段 CA 上时，设 BEx，请用含 x 的代数式表示线段AF. 解：(1)证明：由旋转得， BACBAD，DFAC，CAD90 . BACBAD45 . ACB90 ，ABC45 . ACBC. (2)AFBE.理由：由旋转

5、得 ADAB， ABDADB. DAFABD， DAFADB. AFBD.BACABD. ABDFAD，由旋转得 BACBAD. FADBACBAD1/3 180 60 . 由旋转得， ABAD.ABD 是等边三角形 ADBD. 在AFD 和BED 中：1.F=.BED=90 ；2.ADBD； 3.FADEBD，AFDBED(AAS) AFBE. 如图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - 由旋转得 BACBAD. A

6、BDFADBACBAD2BAD，由旋转得 ADAB，ABDADB2BAD. BADABDADB180 ，BAD2BAD2BAD180 .BAD36 . 设 BDa，作 BG 平分 ABD，BADGBD36 .AGBGBDa. DGADAGADBGADBD. BDGADB， BDGADB. BD/AD DG/DB. BD/AD (ADBD)/BD AD/BD （1+根号 5）/2。FADEBD，AFDBED， AFDBED. BD/AD BE/AF. AFBD/AD BE（1+根号 5）/2*x. 2如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点 G，OC到点 E，使

7、OG2OD，OE2OC，然后以 OG，OE 为邻边作正方形 OEFG ，连接 AG，DE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - (1)求证： DEAG；(2)正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角(0 360 )得到正方形 OE FG ，如图 2. 在旋转过程中，当 OAG 是直角时，求 的度数；若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中， 求 AF 长的最大值和此时的度数，直接写

8、出结果不必说明理由解：(1)证明：延长 ED 交 AG 于点 H，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，OAOD，OAOD. 在AOG 和DOE 中，1.OAOD；2.AOGDOE90 ；3.OGOE AOGDOE. AGODEO. AGOGAO90 ， GAODEO90 . AHE90 ，即 DEAG. (2)在旋转过程中， OAG 成为直角有两种情况：() 由 0 增大到 90 过程中，当 OAG 90 时，OAOD1/2*OG 1/2*OG ，在 RtOAG 中，sinAG OOA/OG 1/2 AG O30 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

9、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - OAOD，OAAG ，ODAG .DOG AG O30 ，即 30 . () 由 90 增大到 180 过程中，当 OAG 90 时，同理可求 BOG 30 ， 180 30 150 . 综上所述，当 OAG 90 时， 30 或 150 . AF 的最大值为 2 分子根号 22，此时 315 . 提示：如图当旋转到 A，O，F 在一条直线上时， AF 的长最大，正方形 ABCD 的边长为 1，OAODOCOB2 分子根号 2. OG2OD，OG

10、 OG.OF 2. AF AOOF 2 分子根号 22.COE 45 ，此时 315 . 3如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD3，M 是边 CD 上一点，将 ADM 沿直线 AM 对折，得到 ANM. (1)当 AN 平分 MAB 时，求 DM 的长；(2)连接 BN，当 DM1 时，求 ABN 的面积；(3)当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - 解：(

11、1)由折叠可知 ANMADM，MANDAM. AN 平分 MAB，MANNAB. DAMMAN NAB. 四边形 ABCD 是矩形，DAB90 .DAM30 . DMAD tanDAM3 3 分子根号 3根号 3。(2)如图 1，延长 MN 交 AB 延长线于点 Q. 四边形 ABCD 是矩形， ABDC. DMAMAQ. 由折叠可知 ANM ADM，DMAAMQ ，ANAD3，MNMD1. MAQAMQ. MQAQ. 设 NQx，则 AQMQ1x. 在 RtANQ 中，AQ2AN 平方 NQ 平方，(x1)平方 3 的平方 x 的平方 .解得 x4. NQ4，AQ5. AB4，AQ5，SNA

12、B4/5*S ，NAQ4/5 1/2 AN NQ24/5. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - (3)如图 2，过点 A 作 AHBF 于点 H，则ABHBFC，BH/AH CF/BC. AH AN3，AB4，当点 N，H 重合(即 AHAN)时，DF 最大 (AH 最大， BH 最小， CF 最小，DF 最大) 此时 M，F 重合， B，N，M 三点共线， ABHBFC(如图 3)，DF 的最大值为 4根号 7

13、图 1 类型 2动态探究题4(2016 自贡)已知矩形 ABCD 的一条边 AD8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处(1)如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP，OP，OA.若OCP 与PDA的面积比为 14，求边 CD 的长；(2)如图 2，在(1)的条件下，擦去折痕AO，线段 OP，连接 BP.动点 M 在线段AP 上(点 M 与点 P，A 不重合)，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BNPM，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

14、- - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - 连接 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E.试问当动点 M，N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律若不变，求出线段EF的长度解：(1)四边形 ABCD 是矩形， CD90 . APDDAP90 . 由折叠可得 APOB90 ，APDCPO90 .CPODAP. 又 DC， OCP PDA.OCP 与PDA 的面积比为 14，设 OPx，则 CO8x.在 RtPCO 中， C90 ，由勾股定理得，解得 x5.ABAP2OP10.CD10. (2)过点 M 作 MQAN，交 PB

15、 于点 Q. APAB，MQAN，APBABPMQP. MPMQ.BNPM，BNQM.MPMQ，MEPQ，EQ0.5PQ. MQAN， QMFBNF. 在MFQ 和NFB 中，1.QFMNFB；2.QMFBNF；3.MQBN MFQNFB(AAS) QFBF0.5QB. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - EFEQQF0.5PQ 0.5QB 0.5PB. 由(1)中的结论可得 PC4，BC8，C90 ，在(1)的条

16、件下，当点 M，N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，它的长度为2*根号 5. 5如图，在直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上，点 B 的坐标是 (5，2)，点 P 是 CB 边上一动点 (不与点 C，B 重合)，连接 OP，AP，过点 O 作射线 OE 交 AP 的延长线于点 E，交 CB 边于点 M，且AOPCOM，令 CPx，MPy. (1)当 x 为何值时， OPAP? (2)求 y 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)在点 P 的运动过程中， 是否存在 x，使OCM 的面积与 ABP 的面积之和等于EMP 的面积若存

17、在，请求x 的值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知 OABC5，ABOC2，BOCM90 ，BCOA. OPAP，OPCAPBAPBPAB90 . OPCPAB. OPCPAB. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - 解得 x14，x21(不合题意，舍去 )当 x4 时，OPAP. (2)BCOA， CPOAOP. AOPCOM， COMCPO. OCMPCO， OCMPCO. yx4/x(2x5) (3)存

18、在 x 符合题意过点 E 作 EDOA 于点 D，交 MP 于点 F，则 DFAB2. OCM 与ABP 面积之和等于 EMP 的面积，SEOAS 矩形 OABC 2 51/2 5ED. ED4，EF2. PMOA， EMPEOA. 解得 y5/2. 6如图 1，矩形 ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点 O 重合，且 AD8，AB6.如图 2，矩形 ABCD 沿 O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - -

19、 B 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，同时点P 从 A 点出发也以每秒1 个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边 AB 经过点 B 向点 C 运动， 当点 P 到达点 C 时，矩形 ABCD 和点 P 同时停止运动，设点P 的运动时间为 t 秒(1)当 t5 时，请直接写出点D，点 P 的坐标；(2)当点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，求出 PBD 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应t 的取值范围；(3)点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，作PEx 轴，垂足为点 E，当 PEO 与BCD 相似时，求出相应的t 值解：(1)D(4，3)，P(12，8)(2)

20、当点 P 在边 AB 上时， BP6t. S0.5BP AD0.5(6t) 84t24. 当点 P 在边 BC 上时， BPt6. S0.5BP AB0.5(t6) 63t18. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - 类型 3类比探究题7如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PAPE，PE 交 CD 于点 F. (1)求证： PCPE；(2)求CPE 的度

21、数；(3)如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD ，其他条件不变，当 ABC120时，连接 CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由解：(1)证明：在正方形ABCD 中，ABBC，ABPCBP45 ，在ABP 和CBP 中，1.AB=BC;2.PB PB;3.ABPCBP ABPCBP(SAS) PAPC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - 又PAPE，PCPE. (2)由(1)知

22、， ABPCBP，BAPBCP.DAPDCP. PAPE， DAPE. DCPE. CFPEFD(对顶角相等 )，180 PFCPCF180 DFEE，即CPFEDF90 . (3)在菱形 ABCD 中，ABBC，ABPCBP60 ，在ABP 和CBP 中，1.AB=BC;2.PB PB;3.ABPCBP ABPCBP(SAS) PAPC，BAPBCP. PAPE，PCPE.DAPDCP. PAPE， DAPAEP. DCPAEP. CFPEFD(对顶角相等 )，180 PFCPCF180 DFEAEP，即CPFEDF180 ADC180 120 60 . EPC 是等边三角形 PCCE. A

23、PCE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - 8已知 AC，EC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的对角线，点 E 在ABC 内，CAECBE90 . (1)如图 1，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接BF. 求证： CAECBF；若 BE1，AE2，求 CE 的长；(2)如图 2，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形，且 AB/BC EF/FC k 时，若BE1，AE2，CE3，求

24、 k 的值；(3)如图 3，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形，且 DABGEF45 时，设 BEm，AEn，CEp，试探究 m，n，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程) 解：(1)证明：四边形ABCD 和 EFCG 均为正方形，ACB45 ，ECF45 . ACBECBECFECB，即ACEBCF. CAECBF. CAECBF， CAECBF，AE/BF 根号 2. BF根号 2. 又CAECBE90 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

25、第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - CBFCBE90 ，即 EBF90 . 解得 CE根号 6. (2)连接 BF，AB/BC EF/FC k，CFECBA，CFECBA. ECFACB，CE/CF AC/BC. ACEBCF.ACEBCF.CAECBF. CAECBE90 ， CBFCBE90 ，题型 2与圆有关的几何综合题9(2016 成都)如图，在 RtABC 中， ABC90 ，以 CB 为半径作 C，交AC 于点 D，交 AC 的延长线于点 E，连接 ED，BE. (1)求证： ABD AEB；(2)当 BC(AB) 3(4)时，求 tanE；(3)在(2

26、)的条件下，作 BAC 的平分线，与 BE 交于点 F，若 AF2，求 C 的半径名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - 解：(1)证明： ABC 90 ， ABD90 DBC. DE 是直径，DBE90 . E90 BDE. BCCD， DBCBDE. ABDE. BADDAB， ABDAEB. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

27、心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - 10如图，在 RtABC 中， ABC90 ，AC 的垂直平分线分别与AC，BC及 AB 的延长线相交于点D，E，F.O 是BEF 的外接圆， EBF 的平分线交EF 于点 G，交 O 于点 H，连接 BD，FH. (1)试判断 BD 与O 的位置关系，并说明理由；(2)当 ABBE1 时，求 O 的面积；(3)在(2)的条件下，求 HG HB 的值解：(1)直线 BD 与O 相切理由：连接OB. BD 是 RtABC 斜边上的中线， DBDC. DBCC. OBOE，OBEOEB. 又 OEB

28、CED， OBECED. DFAC， CDE 90 . CCED90 . DBCOBE90 . BD 与O 相切(2)连接 AE. 在 RtABE 中，ABBE1，AE根号 2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - DF 垂直平分 AC， CEAE根号 2.BC1根号 2. CCAB 90 ，DFACAB90 ， ACBDFA. 又CBAFBE90 ，A BBE， CABFEB. (3)ABBE，ABE90 ，A

29、EB45 . EAEC，C22.5 . HBEG CED90 22.5 67.5 . BH 平分 CBF，EBGHBF45 . BGEBFH67.5 . 11如图，在 ACE 中，CACE，CAE30 ，O 经过点 C，且圆的直径AB 在线段 AE 上(1)试说明 CE 是O 的切线；(2)若ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示 O 的直径 AB；(3)设点 D 是线段 AC 上任意一点 (不含端点)，连接 OD，当 1/2CD OD 的最小值为 6 时，求 O 的直径 AB 的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

30、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - 解：(1)证明：连接 OC. CACE，CAE30 ，ECAE30 ，COE2A60 . OCE90 . CE 是O 的切线12如图，已知 AB 是O 的直径， BP 是O 的弦，弦 CDAB 于点 F，交BP 于点 G，E 在 CD 的反向延长线上， EPEG，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - -

31、- - - (1)求证：直线 EP 为O 的切线；(2)点 P 在劣弧 AC 上运动，其他条件不变，若BG2BF BO.试证明 BGPG；(3)在满足 (2)的条件下，已知 O 的半径为 3，sinB根号 3/3.求弦 CD 的长解：(1)证明：连接 OP. EPEG，EGPEGP.又 EGPBGF，EPGBGF.OPOB，OPBOBP.CDAB， BGFOBP90 . EPGOPB90 ，即 EPO90 .直线 EP 为O 的切线(2)证明：连接 OG，AP.BG2BF BO，BG/BO BF/BG 又 GBFOBG， BFGBGO. BGFBOG，BGOBFG90 . APBOGB90 ，

32、OGAP.又AOBO，BGPG. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 23 页 - - - - - - - - - 13如图，在 AOB 中，AOB 为直角， OA6，OB8，半径为 2 的动圆圆心 Q 从点 O 出发，沿着 OA 方向以 1 个单位长度 /秒的速度匀速运动，同时动点P 从点 A 出发，沿着 AB 方向也以 1 个单位长度 /秒的速度匀速运动，设运动时间为 t 秒(0t 5) 以 P 为圆心， PA 长为半径的 P 与 AB，OA 的交点分别

33、为 C，D，连接 CD，QC. (1)当 t 为何值时，点 Q 与点 D 重合？(2)当Q 经过点 A 时，求 P 被 OB 截得的弦长；(3)若P 与线段 QC 只有一个公共点，求t 的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 23 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 23 页 - - - - - - - - -