2022年年陕西省中考数学试卷及答案解析word版,推荐文档 .pdf

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1、第1页（共 20页）2018 年陕西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，计 30 分。每小题只有一个选项是符合题意的）1 （3 分）的倒数是（）ABC D分析:根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，即可解答解答:解：的倒数是，故选： D2 （3 分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A正方体B长方体C三棱柱D四棱锥分析:由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱解答:解：由图得，这个几何体为三棱柱故选： C3 （3 分）如图，若 l1l2，l3l4，则图中与 1 互补的角有（）A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个分析:直接利

2、用平行线的性质得出相等的角以及互补的角进而得出答案解答:解： l1l2，l3l4，1+2=180 ，2=4，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第2页（共 20页）4=5，2=3，图中与 1 互补的角有： 2，3，4，5 共 4 个故选： D4 （3 分）如图，在矩形AOBC中，A（2，0） ，B（0，1） 若正比例函数 y=kx的图象经过点 C，则 k 的值为（）ABC 2 D2分析:根据矩形的性质得出点C的坐标

3、，再将点 C坐标代入解析式求解可得解答:解： A（2，0） ，B（0，1） OA=2、OB=1，四边形 AOBC是矩形，AC=OB=1 、BC=OA=2 ，则点 C的坐标为（ 2，1） ，将点 C（2，1）代入 y=kx，得： 1=2k，解得： k=，故选： A5 （3 分）下列计算正确的是（）Aa2?a2=2a4B （a2）3=a6C3a26a2=3a2D （a2）2=a24分析:根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项法则及完全平方公式逐一计算可得解答:解：A、a2?a2=a4，此选项错误；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

4、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第3页（共 20页）B、 （a2）3=a6，此选项正确；C、3a26a2=3a2，此选项错误；D、 （a2）2=a24a+4，此选项错误；故选： B6 （3 分）如图，在 ABC中，AC=8 ，ABC=60 ，C=45 ，ADBC，垂足为 D，ABC的平分线交 AD于点 E，则 AE的长为（）AB2 CD3分析:在 RtADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在 RtADB中，由 AD的长度及 ABD的度数可求出 BD的长度， 在 RtEBD中，由 BD的长度及 EB

5、D的度数可求出 DE的长度，再利用 AE=AD DE即可求出 AE的长度解答:解： ADBC ，ADC= ADB=90 在 RtADC中，AC=8 ，C=45 ，AD=CD ，AD=AC=4在 RtADB中，AD=4，ABD=60 ，BD=AD=BE平分 ABC ，EBD=30 在 RtEBD中，BD=，EBD=30 ，DE=BD=，AE=AD DE=故选： C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第4页（共 20页

6、）7 （3 分）若直线 l1经过点（ 0，4） ，l2经过点（ 3，2） ，且 l1与 l2关于 x 轴对称，则 l1与 l2的交点坐标为（）A （2，0）B （2，0） C （6，0）D （6，0）分析:根据对称的性质得出两个点关于x 轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与x 轴的交点即可解答:解：直线 l1经过点（ 0，4） ，l2经过点（ 3，2） ，且 l1与 l2关于 x 轴对称，两直线相交于 x 轴上，直线 l1经过点（ 0，4） ，l2经过点（ 3，2） ，且 l1与 l2关于 x 轴对称，直线 l1经过点（ 3，2） ，l2经过点（ 0，4） ，把（0，

7、4）和（ 3，2）代入直线 l1经过的解析式 y=kx+b，则，解得：，故直线 l1经过的解析式为： y=2x+4，可得 l1与 l2的交点坐标为 l1与 l2与 x 轴的交点，解得： x=2，即 l1与 l2的交点坐标为（ 2，0） 故选： B8 （3 分）如图，在菱形ABCD中点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC 、CD和 DA的中点，连接 EF 、FG 、GH和 HE若 EH=2EF ，则下列结论正确的是（）AAB=EF BAB=2EF CAB=EF DAB=EF分析:连接 AC、BD 交于 O，根据菱形的性质得到ACBD，OA=OC ，OB=OD ，根据三角形中位线定理、矩形的判定

8、定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第5页（共 20页）计算即可解答:解：连接 AC 、BD交于 O，四边形 ABCD是菱形，AC BD，OA=OC ，OB=OD ，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC 、CD和 DA的中点，EF= AC ，EF AC ，EH= BD ，EH BD，四边形 EFGH是矩形，EH=2EF ，OB=2OA ，AB=OA，AB=EF ，故选：

9、 D9 （3 分）如图， ABC是O 的内接三角形， AB=AC ，BCA=65 ，作 CD AB，并与 O相交于点 D，连接 BD，则 DBC的大小为（）A15B35C 25D45分析:根据等腰三角形性质知CBA= BCA=65 ，A=50 ，由平行线的性质及圆周角定理得 ABD= ACD= A=50 ，从而得出答案解答:解： AB=AC 、BCA=65 ，CBA= BCA=65 ，A=50 ，CD AB，ACD= A=50 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页

10、，共 20 页 - - - - - - - - - 第6页（共 20页）又 ABD= ACD=50 ，DBC= CBA ABD=15 ，故选： A10 （3 分）对于抛物线 y=ax2+（2a1）x+a3，当 x=1时，y0，则这条抛物线的顶点一定在（）A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限分析:把 x=1代入解析式，根据y0，得出关于 a 的不等式，得出 a 的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可解答:解：把 x=1，y0 代入解析式可得： a+2a1+a30，解得： a1，所以可得：，所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，故选： C二、填空题三、11 （3 分）比较大小： 3（填“ ”

11、 、“ ” 或“=”） 分析:首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大解答:解：32=9，=10，312 （3分）如图，在正五边形ABCDE 中，AC与 BE相交于点 F，则AFE的度数为72 分析:根据五边形的内角和公式求出EAB ，根据等腰三角形的性质， 三角形外角的性质计算即可解答:解：五边形 ABCDE 是正五边形，EAB= ABC=108 ，BA=BC ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - -

12、- - 第7页（共 20页）BAC= BCA=36 ，同理 ABE=36 ，AFE= ABF +BAF=36 +36 =72 ，故答案为： 72 13 （3 分）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和 B（2m，1） ，则这个反比例函数的表达式为分析:设反比例函数的表达式为y=，依据反比例函数的图象经过点A（m，m）和 B（2m，1） ，即可得到 k 的值，进而得出反比例函数的表达式为解答:解：设反比例函数的表达式为y=，反比例函数的图象经过点A（m，m）和 B（2m，1） ，k=m2=2m，解得 m1=2，m2=0（舍去） ，k=4，反比例函数的表达式为故答案为：14 （3 分）如图，点

13、 O是?ABCD的对称中心， ADAB，E 、F是 AB边上的点，且 EF= AB；G、H 是 BC边上的点，且 GH= BC ，若 S1，S2分别表示 EOF和GOH的面积，则 S1与 S2之间的等量关系是=分析 :根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出=，=，再由点 O 是?ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第8页（共 20页）AOB=SBOC=S?ABCD

14、，从而得出 S1与 S2之间的等量关系解答:解：=，= ，S1=SAOB，S2=SBOC点 O是?ABCD的对称中心，SAOB=SBOC=S?ABCD，=即 S1与 S2之间的等量关系是=故答案为=三、解答题15 （5 分）计算：（）（）+|1|+ （52 ）0分析:先进行二次根式的乘法运算，再利用绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后合并即可解答:解：原式 =+1+1=3+1+1=416 （5 分）化简：（）分析:先将括号内分式通分、除式的分母因式分解，再计算减法，最后除法转化为乘法后约分即可得解答:解：原式 = =?=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

15、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第9页（共 20页）17 （5 分）如图，已知：在正方形ABCD中，M 是 BC边上一定点，连接 AM请用尺规作图法，在 AM 上作一点 P，使DPA ABM （不写作法，保留作图痕迹）分析:过 D 点作 DPAM，利用相似三角形的判定解答即可解答:解：如图所示，点P即为所求：DP AM，APD= ABM=90 ，BAM+PAD=90 ，PAD +ADP=90 ，BAM=ADP，DPA ABM18 （5 分）如图， ABCD ，E、F分别为 AB、C

16、D上的点，且 EC BF ，连接 AD，分别与 EC 、BF相交于点 G，H，若 AB=CD ，求证： AG=DH 分析:由 ABCD 、EC BF知四边形 BFCE是平行四边形、 A=D，从而得出AEG= DFH、BE=CF ，结合 AB=CD知 AE=DF ，根据 ASA可得 AEG DFH ，据此即可得证解答:证明： ABCD 、EC BF ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第10页（共 20页）四边形

17、BFCE 是平行四边形， A=D，BEC= BFC ，BE=CF ，AEG= DFH ，AB=CD ，AE=DF ，在AEG和DFH中，AEG DFH （ASA ） ，AG=DH 19 （7 分）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境 为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“ 垃圾分类知识及投放情况 ” 问卷， 并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A、B、C、D四组，绘制了如下统计图表：“ 垃圾分类知识及投放情况 ” 问卷测试成绩统

18、计表组别分数/分频数各组总分 /分A60 x70382581B70 x80725543C80 x90605100D90 x100m2796依据以上统计信息解答下列问题：（1）求得 m=30，n=19%；（2）这次测试成绩的中位数落在B组；（3）求本次全部测试成绩的平均数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第11页（共 20页）分析:（1）用 B 组人数除以其所占百分比求得总人数，再用总人数减去A、B、C组的人数可

19、得 m 的值，用 A 组人数除以总人数可得n 的值；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）根据平均数的定义计算可得解答:解： （1）被调查的学生总人数为7236%=200人，m=200（38+72+60）=30，n=100%=19% ，故答案为： 30、19%；（2）共有 200 个数据，其中第 100、101 个数据均落在 B组，中位数落在 B 组，故答案为： B；（3）本次全部测试成绩的平均数为=80.1（分） 20 （7 分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB与河岸垂直，并

20、在B 点竖起标杆 BC ，再在 AB的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E与点 C、A 共线已知：CB AD，ED AD，测得 BC=1m ，DE=1.5m，BD=8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽AB分析:由 BC DE ，可得=，构建方程即可解决问题解答:解： BCDE ，ABC ADE ，=，=，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第12页（共 20页）AB=17 （m） ，经检

21、验： AB=17是分式方程的解，答：河宽 AB的长为 17 米21 （7 分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国 小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品红枣小米规格1kg/袋2kg/袋成本（元 /袋）4038售价（元 /袋）6054根据上表提供的信息，解答下列问题：（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润 4.2 万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；（2）根据之前的销售情况， 估计今年 6 月到 10 月这后五个月， 小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共200

22、0kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于 600kg假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x（kg） ，销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y （元） ，求出 y 与 x 之间的函数关系式， 并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元分析: （1） 设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣x袋 根据总利润 =42000，构建方程即可；（2）构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题；解答:解： （1）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣x 袋由题意： 20 x+16=42000解得 x=1500，答：这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500 袋（2）由

23、题意： y=20 x+16=12x+16000，600 x2000，当 x=600时，y 有最小值，最小值为23200 元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第13页（共 20页）答：这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元22 （7 分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120 转动转盘，待转盘自动停止后，指

24、针指向一个扇形的内部， 则该扇形内的数字即为转出的数字， 此时，称为转动转盘一次 （若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数， 重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）（1）转动转盘一次，求转出的数字是2 的概率；（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率分析:（1）将标有数字 1 和 3 的扇形两等分可知转动转盘一次共有6 种等可能结果，其中转出的数字是2 的有 2 种结果，根据概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到乘积为正数的结果数，再利用概率公式求解可得解答:解： （1）将标有数字 1 和 3 的扇形两等分可知转动转盘一次共有6

25、种等可能结果，其中转出的数字是2 的有 2 种结果，所以转出的数字是 2 的概率为=；（2）列表如下：221 1 3 324 4 226624 4 22661 1 1 3 3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第14页（共 20页）2 21 221 1 3 33 663 3 9 93 663 3 9 9由表可知共有 36 种等可能结果，其中数字之积为正数的有20 种结果，所以这两次分别转出的数字之积为正数的概率为

26、=23 （8 分）如图，在 RtABC中，ACB=90 ，以斜边 AB上的中线 CD为直径作O，分别与 AC、BC交于点 M、N（1）过点 N 作O 的切线 NE与 AB相交于点 E，求证： NE AB；（2）连接 MD，求证： MD=NB分析:（1）连接 ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB ，则1=B，再证明 2=B得到 ONDB，接着根据切线的性质得到ONNE，然后利用平行线的性质得到结论；（2）连接 DN，如图，根据圆周角定理得到CMD=CND=90 ，则可判断四边形 CMDN为矩形，所以 DM=CN，然后证明 CN=BN ，从而得到 MD=NB解答:证明：

27、（1）连接 ON，如图，CD为斜边 AB上的中线，CD=AD=DB ，1=B，OC=ON ，1=2，2=B，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第15页（共 20页）ONDB，NE为切线，ONNE，NE AB；（2）连接 DN，如图，CD为直径，CMD=CND=90 ，而MCB=90 ，四边形 CMDN为矩形，DM=CN ，DNBC ，1=B，CN=BN ，MD=NB24 （10 分）已知抛物线 L：y=x2+x

28、6 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，并与 y 轴相交于点 C（1）求 A、B、C三点的坐标，并求 ABC的面积；（2）将抛物线 L向左或向右平移，得到抛物线L，且 L 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 并与 y 轴相交于点 C ， 要使 ABC 和ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式分析:（1）解方程 x2+x6=0得 A 点和 B 点坐标，计算自变量为0 的函数值得到C点坐标，然后利用三角形面积公式计算ABC的面积；（2） 利用抛物线平移得到AB=AB=5， 再利用 ABC 和ABC的面积相等得到C （0，6）或（

29、0，6） ，则设抛物线L 的解析式为 y=x2+bx6 或 y=x2+bx+6，当m+n=b，mn=6，然后利用 | nm| =5 得到 b24（ 6）=25，于是解出 b得到抛物线 L 的解析式；当 m+n=b，mn=6，利用同样方法可得到对应抛物线L名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第16页（共 20页）的解析式解答:解： （1）当 y=0时，x2+x6=0，解得 x1=3，x2=2，A（3，0） ，B（2

30、，0） ，当 x=0时，y=x2+x6=6，C （0，6） ，ABC的面积 =?AB?OC= （2+3）6=15；（2）抛物线 L向左或向右平移，得到抛物线L，AB=AB=5，ABC 和ABC的面积相等，OC =OC=6，即 C （0，6）或（ 0，6） ，设抛物线 L 的解析式为 y=x2+bx6 或 y=x2+bx+6设 A（m，0） 、B （n，0） ，当 m、n 为方程 x2+bx6=0的两根，m+n=b，mn=6，| nm| =5，（nm）2=25，（m+n）24mn=25，b24（ 6）=25，解得 b=1或1，抛物线 L 的解析式为 y=x2x6当 m、n 为方程 x2+bx+6

31、=0的两根，m+n=b，mn=6，| nm| =5，（nm）2=25，（m+n）24mn=25，b246=25，解得 b=7或7，抛物线 L 的解析式为 y=x2+7x+6 或 y=x27x+6综上所述，抛物线L 的解析式为 y=x2x6 或 y=x2+7x+6 或 y=x27x+625 （12 分）问题提出（1）如图，在 ABC中，A=120 ，AB=AC=5 ，则ABC的外接圆半径 R的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - -

32、- - - - 第17页（共 20页）为5问题探究（2）如图，O的半径为 13，弦 AB=24，M 是 AB的中点，P是O 上一动点，求 PM 的最大值问题解决（3）如图所示， AB、AC 、是某新区的三条规划路， 其中 AB=6km，AC=3km ，BAC=60 ，所对的圆心角为 60 ，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段 AB和 AC上选取点 P、E 、F由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE 、EF和 FP 为了快捷、环保和节约成本要使得线段 PE 、 EF 、

33、 FP之和最短，试求 PE +EF +FP的最小值 （各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）分析:（1）设 O 是 ABC 的外接圆的圆心，易证ABO 是等边三角形，所以AB=OA=OB=5 ；（2）当 PMAB时，此时 PM 最大，连接 OA，由垂径定理可知： AM=AB=12，再由勾股定理可知： OM=5，所以 PM=OM+OP=18 ，（3）设连接 AP，OP ，分别以 AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于 AB 的对称点为 M，P关于 AC的对称点为 N，连接 MN，交 AB于点 E，交 AC于点 F，连接 PE 、PF ，所以 AM=AP=AN ，设 AP=r，易求得：M

34、N=r， 所以 PE +EF +PF=ME +EF +FN=MN=r， 即当 AP最小时，PE +EF +PF可取得最小值解答:解： （1）设 O是ABC的外接圆的圆心，OA=OB=OC ，A=120 ，AB=AC=5 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第18页（共 20页）ABO是等边三角形，AB=OA=OB=5 ，（2）当 PMAB时，此时 PM 最大，连接 OA，由垂径定理可知： AM=AB=12，OA

35、=13 ，由勾股定理可知： OM=5，PM=OM+OP=18 ，（3）设连接 AP，OP分别以 AB、AC所在直线为对称轴，作出 P关于 AB的对称点为 M，P关于 AC的对称点为 N，连接 MN，交 AB于点 E，交 AC于点 F，连接 PE 、PF ，AM=AP=AN ，MAB=PAB ，NAC= PAC ，BAC= PAB +PAC= MAB+NAC=60 ，MAN=120 M、P、N 在以 A 为圆心， AP为半径的圆上，设 AP=r，易求得： MN=r，PE=ME ，PF=FN ，PE +EF +PF=ME +EF +FN=MN=r，当 AP最小时， PE+EF +PF可取得最小值，

36、AP +OPOA，AP OAOP，即点 P在 OA上时， AP可取得最小值，设 AB的中点为 Q，AQ=AC=3 ，BAC=60 ，AQ=QC=AC=BQ=3，ABC= QCB=30 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第19页（共 20页）ACB=90 ，由勾股定理可知： BC=3，BOC=60 ，OB=OC=3，OBC是等边三角形，OBC=60 ，ABO=90 由勾股定理可知： OA=3，OP=OB=3，AP=r=OA OP=33，PE +EF +PF=MN=r=39PE +EF +PF的最小值为（ 39）km名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第20页（共 20页）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -