2022年年高考北京文科数学试题及答案,推荐文档 .pdf

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1、12013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1） 【 2013 年北京，文1，5 分】已知集合101A， ，| 11Bxx，则ABI（）（A） 0（B）10，（C）01，（D）101， ，【答案】 B 【解析】1,0,1111,|0 xxI，故选 B（2） 【 2013 年北京，文2，5 分】设 a ，b，cR，且ab，则（）（ A）acbc（B）11ab（C）22ab（D）33ab【答案】 D 【解析】：A 选项中若 c 小于等

2、于 0 则不成立， B 选项中若 a 为正数 b 为负数则不成立，C 选项中若 a， b均为负数则不成立，故选D（3） 【 2013 年北京，文3，5 分】下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是（）（A）1yx（B）xye（C）21yx（D）lgyx【答案】 C 【解析】 A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0)，上是增函数，故选C（4） 【 2013 年北京，文4，5 分】在复平面内，复数i(2i)对应的点位于（）（ A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】 A 【解析】()i 2i12i ，其在复平面上的对应点为1,2 ，该

3、点位于第一象限，故选A（5） 【 2013 年北京，文5，5 分】在ABC中，3a，5b，1sin3A，则sinB（）（ A）15（B）59（C）53（D）1【答案】 B 【解析】根据正弦定理，sinsinabAB，则5 15sinsin3 39bBAa，故选 B（6） 【 2013 年北京，文6，5 分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（ A） 1 （B）23（C）1321（D）610987【答案】 C 【解析】依次执行的循环为1S， i0；23S，i1；1321S，i2，故选 C（7） 【 2013 年北京，文7，5 分】双曲线221yxm的离心率大于2的充分必要条件是（）（ A

4、）12m（B）1m（C）1m（D）2m【答案】 C 【解析】该双曲线离心率11me，由已知12m，故1m，故选 C（8） 【 2013 年北京，文8，5 分】如图，在正方体1111ABCDAB C D中，P为对角线1BD的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2（A）3 个（B）4 个（C）5 个（D）6 个【答案】 B 【解析】设正方体的棱长为a 建立空间直角坐标系， 如图

5、所示则0,0,0D，10,()0Da,，1()0Ca a, ,，,(0)0Ca,，0(, )B a a,，1()B a a a, ,，,0,0A a，1,()0A aa,，221,333Paaa，则22211139993PBaaaauu u r，222441999PDaaaauu u r，22214442 39993PDaaaauu uu r，22211414999PCPAaaaa ，22241169993PCPAaaaa ，222111469993PBaaaauuu r， 故共有 4 个不同取值，故选 B第二部分 （非选择题共 110分）二、填空题：共6 小题，每小题5 分，共 30 分（9

6、）【2013 年北京，文 9， 5 分】若抛物线22ypx 的焦点坐标为(1,0)， 则p， 准线方程为【答案】 2；1【解析】根据抛物线定义12p，2p，又准线方程为12px（10） 【2013 年北京，文 10，5 分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为【答案】 3 【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式133 133V，故该棱锥的体积为3（11） 【2013 年北京，文11，5 分】若等比数列na满足2420aa，3540aa，则公比q；前 n项和nS【答案】 2；122n【解析】由题意知352440220aaqaa 由222421()

7、10(12aaaqa qq， 12a 12 122212nnnS（12） 【2013 年北京， 文 12，5 分】设D为不等式组02030 xxyxy所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为【答案】2 55【解析】区域D表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知1,0 到D的距离最小值为1,0到直线 2x-y=0 的距离|2 10|2 555（13） 【2013 年北京，文13，5 分】函数12log,1( )2 ,1xxxf xx的值域为 _【答案】 ()2，【解析】当1x时，1122loglog 1x， 即12log0 x，当1x时，1022x，即 022x； 故

8、fx 的值域为 ()2， （14） 【2013 年北京，文14，5 分】向量(1 , 1)A，(3,0)B，(2,1)C，若平面区域D由所有满足APABACuuu ru uu ruuu r（12，01）的点P组成，则D的面积为【答案】 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3【解析】APABACuuu ruuu ruuu r，2,1ABuuu r，1,2ACuuu r设()P xy，则1,1APxyuuu r121

9、2xy得233233xyyx, 12 ， 01，可得629023xyxy，如图可得13,0A，14,2B，16,3C，21214325A B，两直线距离2|96 |3521d，113SAB d三、解答题：共6 题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） 【2013 年北京，文15，13 分】已知函数21( )(2cos1)sin2cos42f xxxx（1）求( )f x的最小正周期及最大值；（2）若(,)2，且2()2f，求的值解： （1）21( )(2cos1)sin 2cos42f xxxx1cos2 sin2cos42xxx11sin4cos422xx2sin(4)

10、24x所以，最小正周期242T，当4242xkkZ，即216kxkZ时，max2( )2f x（2）因为22( )sin(4)242f，所以sin(4)14，因为2，所以9174444，所以5442，即916（16） 【2013 年北京，文16，13 分】下图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染某人随机选择3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市，并停留2 天（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此在在该市停留期间只有1 天空气重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续

11、三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）解： （1）在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中， 1 日、2 日、3 日、 7 日、 12 日、 13 日共 6 天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613（2）解法一：根据题意，事件“ 此人在该市停留期间只有1 天空气重度污染” 等价于 “ 此人到达该市的日期是4 日，或5 日，或 7 日，或 8 日” 所以此人在该市停留期间只有1 天空气重度污染的概率为413解法二：此人停留的两天共有13 种选择，分别是：1,2 ， 2,3 ， 3,4 ， 4,5， 5,6 ， 6,7 ， 7,8 ， 8,9 ，9,10 ，

12、 10,11 ， 11,12 ， 12,13 ， 13,14 ，其中只有一天重度污染的为4,5， 5,6 ， 7,8 ， 8,9 ，共 4 种，所以概率为2413P（3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大（17） 【2013 年北京，文17，14 分】如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，ABAD，2CDAB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：（1）PA底面ABCD；（2）/ /BE平面PAD；（3）平面BEF平面PCD解： （1）因为平面PAD底面 ABCD ，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA底面 ABCD （2）因为/ /A

13、BCD ，2CDAB，E为 CD 的中点，所以/ /ABDE ，且ABDE所以ABED为平行四边空气质量指数日期14 日13日12日11 日10 日9 日8 日7日6 日5日4日3日2日1日03779861581211602174016022014357258650100150200250名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4形所以/ /BEAD 又因为 BE平面PAD，AD平面PAD，所以/ /BE平面PAD（3）

14、因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD ， ADCD 由（ 1）知PA底面 ABCD ，所以 PACD 所以 CD平面PAD所以 CDPD 因为E和F分别是 CD 和 PC 的中点，所以/ /PDEF 所以 CDEF 所以 CD平面BEF所以平面BEF平面 PCD （18） 【2013 年北京，文18，13 分】已知函数2( )sincosf xxxxx （1）若曲线( )yf x在点( ,( )a f a处与直线yb相切，求 a 与b的值；（2）若曲线( )yf x与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围解： （1）因为曲线yfx 在点 ()afa，处与直线yb 相切，所以2

15、cos0faaa， bfa 解得0a，01bf（2）解法一：令0fx，得0 x fx 与 fx 的情况如下：x()0，0(0)，fx-0+ fx1所以函数fx 在区间 ()0， 上单调递减，在区间(0)，上单调递增，01f是 fx 的最小值当1b时，曲线yfx 与直线 yb 最多只有一个交点；当1b时，222421421fbfbbbbbb，01fb ，所以存在12 ,0 xb，20,2xb ，使得12fxfxb 由于函数fx 在区间 ()0， 和 (0)，上均单调，所以当1b时曲线 yfx 与直线 yb 有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yfx 与直线 yb 有两个不同交点，那么b的取值范

16、围是(1)，解法二：因为2cos0 x，所以当0 x时( )0fx，( )f x单调递增；当0 x时( )0fx，( )f x单调递减所以当0 x时，( )f x取得最小值(0)1f，所以b的取值范围是(1,)（19） 【2013 年北京，文19，14 分】直线0ykxm m，W：2214xy相交于A，C两点，O是坐标原点（1）当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形解： （1）因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与 OB 相互垂直平分所以可设1,2A t，代入椭圆方程得21144t，即3t所以2 3A

17、C（2）解法一：假设四边形OABC 为菱形因为点B不是 W 的顶点，且ACOB，所以0k由2244xyykxm，消y并整理得222148440kxkmxm设11()A xy，22()C xy，则1224214xxkmk，121222214yyxxmkmk所以 AC 的中点为224,1414kmmMkk因为M为 AC 和 OB 的交点，且0m，0k，所以直线 OB 的斜率为14k因为114kk，所以 AC 与 OB 不垂直所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是 W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形解法二：因为四边形OABC为菱形，所以OAOC ，设1OAOCr r，则A，C

18、两点为圆222xyr 与名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5椭圆2214xy的交点，联立方程2222214xyrxy，得224(1)3rx，所以A，C两点的横坐标相等或互为相反数因为点B在W上，若A，C两点的横坐标相等，点B应为椭圆的左顶点或右顶点不合题意若A，C两点的横坐标互为相反数，点B应为椭圆的上顶点或下顶点不合题意所以四边形OABC不可能为菱形（20） 【2013 年北京，文20，13 分】给定数列1a，2

19、a，L L，na对1,2,3,1inL，该数列前i项的最大值记为iA，后ni项1ia，2ia，L L，na的最小值记为iB，iiidAB（1）设数列na为3，4，7，1，写出1d，2d，3d的值；（2）设1a，2a，L L，na（4n）是公比大于1的等比数列，且10a，证明1d，2d，L L，1nd是等比数列；（3）设1d，2d，L L，1nd是公差大于0的等差数列，且10d，证明1a，2a，L L，1na是等差数列解： （1）111312dAB，222413dAB，333716dAB（2）因为1a，2a，L L，na（4n）是公比大于1的等比数列，且10a，所以11nnaaq所以当1,2,3

20、,1knL时，1kkkkkdABaa，所以当2,3,1knL时，11111(1)(1)kkkkkkkkdaaaqqqdaaaq，所以1d，2d，L L，1nd是等比数列（3）解法一：若1d，2d，L L，1nd是公差大于0的等差数列，则1210ndddL，1a，2a，L L，1na应是递增数列，证明如下：设ka是第一个使得1kkaa的项，则1kkAA，1kkBB，所以111kkkkkkdABABd，与已知矛盾所以，1a，2a，L L，1na是递增数列再证明na数列na中最小项，否则knaa（2,3,1knL），则显然1k，否则11111110dABaBaa，与10d矛盾；因而2k，此时考虑11

21、110kkkkkdABaa，矛盾，因此na是数列na中最小项综上，2,3,1kkkkndABaaknL，kknada，也即1a，2a，L L，1na是等差数列解法二：设 d 为121nddd， ，公差对 12in，1iiBBQ，0d，111iiiiiiiiABdBddBdA又因为11iiiAmax Aa，所以11iiiiaAAa从而121naaa， ，是递增数列因此1,2() 1iiAa in， ， 又因为111111BAdada， 所以1121nBaaa 因此1naB所以121nnBBBa所以iiiiniaABdad因此对1,22in， ，都有11iiiiaaddd，即121naaa， ，是等差数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -