2022年初三数学动点问题总结,推荐文档 .pdf

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1、1 动点问题1、 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC ，B=90 ，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点 P从 A开始沿 AD边向 D以 1cm/s 的速度运动；动点Q从点 C开始沿 CB边向 B以 3cm/s 的速度运动 P、Q分别从点 A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts （1）当 t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？（3）当 t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？分析：（1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ （2）四边形 PQCD 为等腰梯形时

2、 QC-PD=2CE（3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC所有的关系式都可用含有t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可解答：解： （1）四边形 PQCD 平行为四边形PD=CQ 24-t=3t 解得： t=6 即当 t=6 时，四边形 PQCD 平行为四边形（2）过 D作 DE BC于 E 则四边形 ABED 为矩形BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm 四边形 PQCD 为等腰梯形QC-PD=2CE 即 3t- （24-t ）=4 解得： t=7（s）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

3、名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 即当 t=7（s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形（3）由题意知： QC-PD=EC 时，四边形 PQCD 为直角梯形即 3t- （24-t ）=2 解得： t=6.5 （s）即当 t=6.5 （s）时，四边形 PQCD 为直角梯形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中2、如图， ABC中，点 O为 AC边上的一个动点，过点O作直线 MN BC ，设 MN交BCA 的外角平分线 CF于点 F，交 ACB 内角平分线 CE于 E（1）试说明 EO=FO ；（

4、2）当点 O运动到何处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；（3）若 AC边上存在点 O ，使四边形 AECF 是正方形， 猜想 ABC的形状并证明你的结论分析：（1）根据 CE平分 ACB ，MN BC ，找到相等的角，即 OEC= ECB ，再根据等边对等角得 OE=OC，同理 OC=OF ，可得 EO=FO （2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（3）利用已知条件及正方形的性质解答解答：解： （1）CE平分 ACB ，ACE= BCE ，MN BC ，OEC= ECB ，OEC= OCE ，OE=OC，同理， OC=OF ，OE=OF （2）当点 O运动到 A

5、C中点处时，四边形AECF 是矩形如图 AO=CO，EO=FO ，四边形 AECF 为平行四边形，CE平分 ACB ，ACE= ACB ，同理， ACF= ACG ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 ECF= ACE+ ACF= （ACB+ ACG ）= 180=90，四边形 AECF 是矩形（3）ABC 是直角三角形四边形 AECF 是正方形，AC EN ，故AOM=90，MN BC ，BCA= AOM ，

6、BCA=90 ，ABC 是直角三角形点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1） ， 再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2） ，再对（ 3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论， 更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法 是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用3、如图，直角梯形 ABCD 中，AD BC ，ABC=90 ，已知 AD=AB=3 ，BC=4 ，动点P从 B点出发，沿线段 BC向点 C作匀速运动；动点Q从点 D出发，沿线段 DA向点 A作匀速运动过Q点垂直于 AD的射线交 AC于点 M ，交 BC于点 NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1

7、个单位长度当Q点运动到 A点，P、Q两点同时停止运动设点 Q运动的时间为 t 秒（1）求 NC ，MC的长（用 t 的代数式表示）；（2）当 t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）探究： t 为何值时， PMC 为等腰三角形分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ 是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC 、AD已知，DQ 就是 t ，即解； AB QN ， CMN CAB ，CM ：CA=CN ：CB ， （2）CB 、CN已知，根据勾股定理

8、可求CA=5 ，即可表示 CM ；四边形 PCDQ 构成平行四边形就是PC=DQ，列方程 4-t=t即解；（3） 可先根据 QN 平分 ABC 的周长， 得出 MN+NC=AM+BN+AB， 据此来求出 t 的值 然后根据得出的 t 的值，求出 MNC 的面积，即可判断出 MNC 的面积是否为 ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t 值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 （4）由于等腰三角形的两腰不确

9、定，因此分三种情况进行讨论：当 MP=MC 时，那么 PC=2NC ，据此可求出 t 的值当 CM=CP 时，可根据 CM 和 CP的表达式以及题设的等量关系来求出t 的值当 MP=PC 时，在直角三角形 MNP 中，先用 t 表示出三边的长， 然后根据勾股定理即可得出 t 的值综上所述可得出符合条件的t 的值解答: 解： （1）AQ=3-t CN=4- （3-t ）=1+t 在 RtABC中，AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5 在 RtMNC 中，cosNCM= = ，CM= （2）由于四边形 PCDQ 构成平行四边形PC=QD，即 4-t=t 解得 t=2（3）如果射线 QN将A

10、BC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB 即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得： t= （5 分）而 MN= NC= （1+t）SMNC= （1+t）2= （1+t）2 当 t= 时，SMNC= （1+t）2= 43不存在某一时刻t ，使射线 QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分（4）当 MP=MC 时（如图 1）则有： NP=NC 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 即 PC=2NC 4-

11、t=2 （1+t）解得： t= 当 CM=CP 时（如图 2）则有：（1+t）=4-t 解得： t= 当 PM=PC 时（如图 3）则有：在 RtMNP 中，PM2=MN2+PN2 而 MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t ）=2t-3 （1+t）2+（2t-3 ）2=（4-t ）2 解得： t1= ，t2=-1 （舍去）当 t= ，t= ，t= 时， PMC 为等腰三角形点评：此题繁杂， 难度中等， 考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法4、如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm ，P，Q ，M ，N分别从 A，B，C ，D

12、出发沿 AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm （x0） ，则 AP=2xcm ，CM=3xcm ，DN=x2cm （1）当 x 为何值时，以 PQ ，MN为两边，以矩形的边（ AD或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q ，M ，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q ，M ，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由分析：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

13、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 以 PQ ，MN为两边，以矩形的边（ AD或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点 P、 N重合且点 Q 、 M不重合， 此时 AP+ND=AD即 2x+x2=20cm ， BQ+MCBC即 x+3x20cm ； 或者点 Q 、 M重合且点 P、 N不重合， 此时 AP+ND AD即 2x+x220cm ，BQ+MC=BC即 x+3x=20cm 所以可以根据这两种情况来求解x 的值以 P，Q ，M ，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点

14、Q只能在点 M的左侧当点 P在点 N的左侧时，AP=MC ，BQ=ND；当点 P在点 N的右侧时，AN=MC，BQ=PD 所以可以根据这些条件列出方程关系式如果以P，Q，M ，N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND AD 即2x+x220cm ， BQ+MCBC即 x+3x20cm ， AP=ND 即 2x=x2， BQ=MC 即 x=3x， x0 这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形解答：解： （1）当点 P 与点 N重合或点 Q与点 M重合时，以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD或 BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 P与点 N重合时，由 x2+2x=2

15、0，得 x1= -1，x2=- -1 （舍去） 因为 BQ+CM=x+3x=4（-1）20，此时点 Q与点 M不重合所以 x= -1 符合题意当点 Q与点 M重合时，由 x+3x=20，得 x=5此时 DN=x2=25 20，不符合题意故点 Q与点 M不能重合所以所求 x 的值为-1（2）由（ 1）知，点 Q只能在点 M的左侧，当点 P在点 N的左侧时，由 20-（x+3x）=20-（2x+x2） ，解得 x1=0（舍去） ，x2=2当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P在点 N的右侧时，由 20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得 x1=-10（舍去） ，x2=4当 x=

16、4 时四边形 NQMP 是平行四边形所以当 x=2 或 x=4 时，以 P，Q ，M ，N为顶点的四边形是平行四边形（3）过点 Q ，M分别作 AD的垂线，垂足分别为点E，F由于 2xx，所以点 E一定在点 P的左侧若以 P，Q ，M ，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F 一定在点 N的右侧，且 PE=NF ，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0（舍去） ，x2=4由于当 x=4 时，以 P，Q ，M ，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以 P，Q ，M ，N为顶点的四边形不能为等腰梯形点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点5、如图，在梯形ABCD 中，AD BC

17、，B=90 ， AB=14cm ，AD=15cm ，BC=21cm ，点 M从点 A开始，沿边 AD向点 D运动，速度为 1cm/s；点 N从点 C开始，沿边名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 CB向点 B运动，速度为 2cm/s、点 M 、N分别从点 A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（1）当 t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形M

18、NCD 是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t 值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可解答：解： （1）MD NC ，当 MD=NC，即 15-t=2t ，t=5 时，四边形 MNCD 是平行四边形；（2）作 DE BC ，垂足为 E，则 CE=21-15=6 ，当 CN-MD=12 时，即 2t- （15-t ）=12，t=9 时，四边形 MNCD 是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容6、如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ，C=90 ，BC=16 ，DC=12 ，AD=21 ，动点 P从点 D出发，沿

19、射线 DA的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段 CB上以每秒 1 个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点 D、C同时出发，当点 Q运动到点 B时，点 P随之停止运动，设运动时间为t （s） （1）设 BPQ 的面积为 S，求 S与 t 之间的函数关系；（2）当 t 为何值时，以 B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 分析：（1） 若过点 P作

20、PM BC于 M ， 则四边形 PDCM 为矩形， 得出 PM=DC=12， 由 QB=16-t，可知： s= PM QB=96 -6t ；（2）本题应分三种情况进行讨论， 若 PQ=BQ，在 RtPQM 中，由 PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB ，将各数据代入，可将时间t 求出；若 BP=BQ ，在 RtPMB 中，由 PB2=BM2+PM2，BP=BQ ，将数据代入，可将时间t求出；若 PB=PQ ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ ，将数据代入，可将时间t 求出解答：解： （1）过点 P 作 PM BC于 M ，则四边形 PDCM 为矩形PM=DC=12，QB=16-t，s= ?QB

21、?PM= （16-t ）12=96-6t （0t ） （2）由图可知， CM=PD=2t ，CQ=t，若以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若 PQ=BQ ，在 RtPMQ 中，PQ2=t2+122 ，由 PQ2=BQ2 得 t2+122=（16-t ）2，解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 得；若 BP=BQ ，在 RtPMB 中，PB2= （16-2t ）2+122，由 PB2=BQ

22、2 得（16-2t ）2+122=（16-t ）2，此方程无解， BP PQ 若 PB=PQ ，由 PB2=PQ2 得 t2+122=（16-2t ）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）综上所述，当或时，以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象7、直线 y=- 34x+6 与坐标轴分别交于A、B两点，动点 P、Q同时从 O点出发，同时到达 A点，运动停止点Q沿线段 OA运动，速度为每秒1 个单位长度，点P沿路线 O ? B? A运动（1）直接写出 A、B两点的坐标；（2）设点 Q的运动

23、时间为 t （秒） ，OPQ 的面积为 S，求出 S与 t 之间的函数关系式；（3）当 S= 485时，求出点 P的坐标，并直接写出以点O 、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标分析：（1）分别令 y=0，x=0，即可求出 A、B的坐标；（2） ）因为 OA=8 ，OB=6 ，利用勾股定理可得AB=10 ，进而可求出点Q由 O到 A的时间是 8 秒，点 P的速度是 2，从而可求出，当 P 在线段 OB上运动（或 0t 3）时， OQ=t ，OP=2t，S=t2，当 P 在线段 BA上运动（或 3t 8）时，OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t ，作 PD OA于点 D，由相似三

24、角形的性质，得 PD=48-6t5 ，利用 S= 12OQ PD ，即可求出答案；（3）令 S= 485，求出 t 的值，进而求出 OD 、PD ，即可求出 P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标解答：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 解： （1）y=0，x=0，求得 A（8，0）B（0，6） ，（2）OA=8 ，OB=6 ，AB=10 点 Q由 O到 A 的时间是 81=

25、8（秒） ，点 P的速度是 6+108=2（单位长度 / 秒） 当 P在线段 OB上运动（或 O t 3）时，OQ=t ，OP=2t，S=t2当 P在线段 BA上运动（或 3t 8）时，OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t ，如图，做 PD OA于点 D，由 PDBO=APAB，得 PD= 48-6t5 S= 12OQ?PD= - 35t2+245t（3）当 S= 485 时， 485 1236点 P在 AB上当 S= 485 时，- 35t2+245t= 485 t=4 PD= 48-645= 245，AD=16-24=8AD= 82-(245)2= 325 OD=8- 325= 85 P（ 85 ， 245 ）M1 （ 285 ， 245 ） ，M2 （- 125 ， 245） ，M3 （ 125 ，- 245 ）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -