2022年年高考理科数学全国新课标卷试题与答案word解析版,推荐文档 2.pdf

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1、2013 全国新课标卷2 理科数学第1页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 II) 第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 课标全国， 理 1)已知集合 M x|( x1)24，xR ，N 1,0,1,2,3，则 M N( ) A0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,2,3 D0,1,2,3 2(2013 课标全国，理2)设复数 z 满足(1i) z2i ，则 z( ) A1i B1I C1i D1i 3(2013 课标全国，理3)等比数列 an 的前 n 项和为 Sn. 已知 S

2、3a210a1，a59，则 a1( ) A13 B13 C19 D194(2013 课标全国，理4)已知 m ，n 为异面直线， m 平面 ，n平面 . 直线 l 满足 lm ，l n，l，l，则( )A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于l D 与 相交，且交线平行于 l 5(2013 课标全国，理5)已知(1ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a( )A4 B3 C2 D1 6(2013 课标全国，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的N 10，那么输出的S( ) A1111+2310LB1111+2!3!10!LC1111+2311L D1111+2!3!11

3、!L7(2013 课标全国，理7) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第2页8(2013 课标全国，理8)设 alog36，blog510，clog714，则( ) Acba Bb

4、ca Cacb Dabc 9(2013 课标全国，理9)已知 a0，x，y 满足约束条件1,3,3 .xxyya x若 z2xy 的最小值为 1，则 a( ) A14 B12 C1 D2 10(2013 课标全国， 理 10)已知函数 f ( x) x3ax2bxc，下列结论中错误的是 ( ) Ax0R ，f(x0) 0 B函数 yf(x) 的图像是中心对称图形C若 x0 是 f(x) 的极小值点，则 f(x) 在区间 ( ， x0) 单调递减D若 x0 是 f(x) 的极值点，则 f (x0) 0 11(2013 课标全国，理 11)设抛物线 C ：y22px( p0)的焦点为 F，点 M在

5、 C上，| MF | 5，若以 MF为直径的圆过点 (0,2) ，则 C的方程为 ( ) Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 12(2013 课标全国，理 12)已知点 A( 1,0) ，B(1,0) ，C (0,1) ，直线 yaxb( a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( )A(0,1) B2 11,22 C2 11,23 D1 1,3 2第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大

6、题共4 小题，每小题 5 分13(2013 课标全国，理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E为 CD的中点，则AE BDuuu r uuu r_. 14(2013 课标全国，理14)从 n 个正整数 1,2 ， n 中任意取出两个不同的数，若名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第3页取出的两数之和等于5 的概率为114，则 n_. 15(2013 课标全国， 理 15)设

7、 为第二象限角， 若1tan42，则 sin cos _. 16(2013 课标全国，理16)等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S100，S1525，则nSn的最小值为 _三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，理 17)( 本小题满分 12分)ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 abcos C csin B. (1) 求 B；(2) 若 b2，求 ABC 面积的最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3

8、 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第4页18(2013 课标全国，理 18)( 本小题满分 12分)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，D ，E分别是 AB ，BB1的中点， AA1AC CB 22AB. (1) 证明： BC1平面 A1CD ；(2) 求二面角 DA1CE的正弦值19(2013 课标全国，理 19)( 本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每1 t 亏损 300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下

9、一个销售季度购进了130 t 该农产品以X(单位：t,100 X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T( 单位：元) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1) 将 T表示为 X的函数；(2) 根据直方图估计利润T 不少于 57 000 元的概率；(3) 在直方图的需求量分组中， 以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110) ，则取 X105，且 X105 的概率等于需求量落入 100,110) 的频率) ，求 T的数学期望名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

10、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第5页20(2013 课标全国，理20)( 本小题满分12 分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1xyab(ab0) 右焦点的直线30 xy交 M于 A，B两点， P为 AB的中点，且 OP的斜率为12. (1) 求M的方程；(2) C ，D为 M上两点，若四边形ACBD 的对角线 CD AB ，求四边形 ACBD 面积的最大值21(2013 课标全国，理 21)( 本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)

11、 exln( xm ) (1) 设 x0 是 f ( x)的极值点，求 m ，并讨论 f (x)的单调性；(2) 当 m 2时，证明 f ( x)0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第6页请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22(2013 课标全国，理 22)( 本小题满分 10 分) 选修 41：几何证明选讲如图

12、， CD为ABC外接圆的切线， AB的延长线交直线CD于点 D ，E，F 分别为弦 AB与弦 AC上的点，且 BC AE DC AF，B，E，F，C四点共圆(1) 证明： CA是ABC 外接圆的直径；(2) 若 DB BE EA ，求过 B，E，F，C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值23(2013 课标全国，理 23)( 本小题满分 10 分) 选修 44：坐标系与参数方程已知动点 P，Q都在曲线 C ：2cos ,2sinxtyt( t 为参数 )上，对应参数分别为t 与 t 2(02)，M为 PQ的中点(1) 求 M的轨迹的参数方程；(2) 将 M到坐标原点的距离d 表示为 的函数

13、，并判断 M的轨迹是否过坐标原点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第7页24(2013 课标全国，理 24)( 本小题满分 10 分) 选修 45：不等式选讲设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：(1) abbcac13；(2)2221abcbca. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

14、整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第8页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 II) 第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案： A 解析： 解不等式 ( x1)24，得 1x3，即 M x| 1x3而 N 1,0,1,2,3，所以 M N 0,1,2，故选 A. 2答案： A 解析：2i2i 1i=1i1i 1iz22i21i. 3答案： C 解析：设数列 an 的公比为q，若q1，则由a59，得

15、a19，此时S327，而a210a199，不满足题意，因此q1.q1 时，S331(1)1aqqa1q10a1，311qqq10，整理得 q29. a5a1q49，即 81a19，a119. 4答案： D 解析： 因为 m ，l m ，l，所以 l . 同理可得 l . 又因为 m ，n 为异面直线，所以 与 相交，且 l 平行于它们的交线故选D. 5答案： D 解析： 因为 (1x)5的二项展开式的通项为5Crrx(0 r 5，r Z) ，则含x2的项为225C xax15C x(105a)x2，所以 105a5，a1. 6答案： B 解析： 由程序框图知，当 k1，S0，T1 时，T1，S

16、1；当 k2 时，12T，1=1+2S；当 k3 时，123T，111+223S；当 k4 时，1234T，1111+223234S；当 k10 时，12 3 410TL，1111+2!3!10!SL，k 增加 1 变为 11，满足 kN，输出 S，所以 B正确7名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第9页答案： A 解析： 如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz 的图像为下图

17、：则它在平面 zOx上的投影即正视图为，故选 A. 8答案： D 解析： 根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a，lg10lg 21lg 5lg 5b，lg14lg 21lg 7lg 7c，因为lg 7lg 5 lg 3 ，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3，即 cba. 故选D. 9答案： B 解析： 由题意作出1,3xxy所表示的区域如图阴影部分所示，作直线 2xy1， 因为直线 2xy1 与直线 x1 的交点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

18、- 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第10页坐标为 (1，1) ，结合题意知直线ya( x3)过点(1，1)，代入得12a，所以12a. 10答案： C 解析： x0是 f ( x)的极小值点，则 yf ( x)的图像大致如下图所示，则在 ( ，x0) 上不单调，故 C不正确11答案： C 解析： 设点 M的坐标为 ( x0，y0) ，由抛物线的定义，得 | MF | x02p5，则 x052p. 又点 F的坐标为,02p，所以以 MF为直径的圆的方程为 ( xx0)2px( yy0)y0. 将 x0，y2 代入得 px084y0

19、0，即202y4y080，所以 y04. 由20y2px0，得16252pp，解之得 p2，或 p8. 所以 C的方程为 y24x 或 y216x. 故选 C. 12答案： B 第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分13答案： 2 解析： 以 AB所在直线为 x 轴，AD所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为 (0,0) ， 点B的坐标为 (2,0) ，点 D的坐标为 (0,2) ，点 E的坐标为 (1,2) ，则AEu u

20、u r(1,2) ，BDuu u r( 2,2) ，所以2AE BDu uu r uuu r. 14答案： 8 解析： 从 1,2 ，n中任取两个不同的数共有2Cn种取法，两数之和为 5 的有(1,4) ，(2,3)2种，所以221C14n，即24111142n nn n，解得 n8. 15答案：105解析： 由1tan1tan41tan2，得 tan 13，即 sin 13cos . 将其代入 sin2cos21，得210cos19. 因为 为第二象限角，所以cos 3 1010，sin 1010，sin cos 105. 16答案： 49 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

21、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第11页解析： 设数列 an 的首项为 a1，公差为 d，则 S101109102ad10a145d0，S15115 14152ad 15a1105d25. 联立，得 a13，23d，所以 Sn2(1)211032333n nnnn. 令 f ( n) nSn，则32110( )33f nnn ，220( )3fnnn. 令f(n)0，得n0 或203n. 当203n时，f (n)0,200

22、3n时，f (n)0，所以当203n时，f (n) 取最小值，而 nN，则f(6) 48，f(7) 49，所以当n7 时，f(n)取最小值 49. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1) 由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin C sin B又 A ( BC) ，故sin Asin( BC ) sin Bcos Ccos Bsin C由，和 C (0 ，)得 sin Bcos B，又 B(0 ，)，所以4B. (2) ABC的面积12sin24SacBac. 由已知及余弦定理得4a2c22cos4ac. 又 a2c22ac，故422ac，当且仅当 ac

23、 时，等号成立因此 ABC面积的最大值为2+1. 18解：(1) 连结 AC1交 A1C于点 F，则 F 为 AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF. 因为 DF ? 平面 A1CD ，BC1平面 A1CD ，所以 BC1平面 A1CD . (2) 由 AC CB 22AB得，AC BC . 以 C为坐标原点，CAuu u r的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 设 CA 2， 则 D(1,1,0)， E(0,2,1)， A1(2,0,2)，CDuuu r(1,1,0)，CEu uu r(0,2,1)，1CAu uu r(2,0,2)设 n( x1，y1，z

24、1)是平面 A1CD的法向量，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第12页则10,0,CDCAuuu ruuu rnn即11110,220.xyxz可取 n(1，1，1)同理，设 m是平面 A1CE的法向量，则10,0,CECAuu u ruu u rmm可取 m (2,1 ，2)从而 cosn，m3|3n mnm，故 sin n，m 63. 即二面角 DA1CE的正弦值为63.

25、 19解：(1) 当 X100,130) 时，T500X300(130X)800X39 000，当 X130,150 时，T500130 65 000. 所以80039000,100130,65000,130150.XXTX(2) 由(1) 知利润 T不少于 57 000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150 的频率为 0.7 ， 所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 000元的概率的估计值为0.7. (3) 依题意可得 T的分布列为T 45 00053 00061 00065 000 P 0.10.20.30.4 所以 ET 45 0000.153 0000.2

26、61 0000.365 0000.4 59 400. 20解：(1) 设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，P(x0，y0)，则221122=1xyab，222222=1xyab，2121=1yyxx，由此可得2212122121=1bxxyyayyxx. 因为 x1x22x0，y1y22y0，0012yx，所以 a22b2. 又由题意知， M的右焦点为 (3，0)，故 a2b23. 因此a26，b23. 所以 M的方程为22=163xy. (2) 由2230,1,63xyxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

27、名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第13页解得4 3,33,3xy或0,3.xy因此|AB| 4 63. 由题意可设直线 CD的方程为y5 333xnn，设 C( x3，y3) ，D ( x4，y4) 由22,163yxnxy得 3x24nx2n260. 于是 x3,4222 93nn. 因为直线 CD的斜率为 1，所以| CD | 24342 |93xxn. 由已知，四边形 ACBD 的面积218 6| |929SCDABn. 当 n0 时，S取得最大值，最大值为8 63. 所以四边形

28、ACBD 面积的最大值为8 63. 21解：(1) f (x) 1exxm. 由 x0 是 f (x)的极值点得 f (0) 0，所以 m 1. 于是 f ( x)exln( x1)，定义域为 (1，)，f (x) 1e1xx. 函数 f (x) 1e1xx在( 1，)单调递增，且 f (0) 0. 因此当 x( 1,0) 时，f (x) 0；当 x(0 ，)时， f (x) 0. 所以 f ( x)在(1,0) 单调递减，在 (0，)单调递增(2) 当 m 2，x( m ， )时，ln( xm )ln( x2) ，故只需证明当 m 2 时，f ( x)0. 当 m 2 时，函数 f (x)

29、1e2xx在(2，)单调递增又f(1) 0，f(0) 0，故 f (x)0在(2，)有唯一实根 x0，且 x0( 1,0) 当 x( 2，x0) 时，f (x)0；当 x( x0，)时， f (x) 0，从而当 xx0时，f ( x) 取得最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第14页由 f (x0) 0 得0ex012x，ln( x02) x0，故f(x)f(x0) 012

30、xx020012xx0. 综上，当 m 2时，f ( x)0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22解：(1) 因为 CD为ABC外接圆的切线，所以 DCB A，由题设知BCDCFAEA，故CDB AEF ，所以 DBC EFA . 因为 B，E，F，C四点共圆，所以 CFE DBC ，故EFA CFE 90.所以 CBA 90，因此 CA是ABC 外接圆的直径(2) 连结 CE ，因为 CBE 90，所以过 B，E，F，C四点的圆的直径为CE ，由 DB BE ，有 CEDC ，又 BC2DB BA 2DB2，所以 CA24D

31、B2BC26DB2. 而 DC2DB DA 3DB2，故过 B，E，F，C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值为12. 23解：(1) 依题意有 P(2cos ，2sin )，Q (2cos 2 ，2sin 2 )，因此 M (cos cos 2 ，sin sin 2 ) M的轨迹的参数方程为coscos2 ,sinsin2xy( 为参数， 02)(2) M点到坐标原点的距离2222cosdxy(02) 当 时，d0，故 M的轨迹过坐标原点24解：(1) 由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得 a2b2c2abbcca. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

32、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2013 全国新课标卷2 理科数学第15页由题设得 ( abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1. 所以 3(abbcca)1，即 abbcca13. (2) 因为22abab，22bcbc，22caca，故222()abcabcbca2(abc) ，即222abcbcaabc. 所以222abcbca1.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -