2022年人教版高中数学选修数学归纳法 .pdf

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1、20 年月日第课时课题：2.3 数学归纳法（ 1）教学目的、知识与技能 ：了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；、过程与方法 ：掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题、情感、态度与价值观 ：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学重点 :重点了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题难点用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学过程：学生探究过程 ：我们 已经 用 归 纳 法 得到 许多 结论 ，例 如 ， 等 差 数列na的 通 项 公 式1(1)naand，自然数平方和公式2222(1)(21)1236n nnn这些命题都与自然数有关，自然数有

2、无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证怎样证明一个与自然数有关的命题呢？讨论以下两个问题的解决方案：（1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖一、复习引入：问题 1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？方法一：把它倒

3、出来看一看就可以了特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性方法二：一个一个拿，拿一个看一个比如结果为： 第一个白球， 第二个白球，第三个白球， 第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球特点：有顺序，有过程问题 2：在数列na中，*111,()1nnnaaanNa，先算出 a2，a3，a4的值，再推测通项 an的公式过程：212a，313a，414a，由此得到：*1,()nanNn，解决以上两个问题用的都是归纳法 . 再请看数学史上的两个资料：资料 1: 费马（ Fermat）是 17 世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

4、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一， 他对数论也有许多贡献但是，费马曾认为，当nN 时，221n一定都是质数，这是他对 n=0，1，2，3，4 时的值分别为 3,5,17,257,65537作了验证后得到的18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当 n=5时，5221 =4 294 967 297=6 700 417 641，从而否定了费马的推测有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的但是要告

5、诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料 2：f（n）=n2+n+41，当 nN 时，f（n）是否都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，f（39）=1 601但是 f（40）=1 681=412是合数算了 39 个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检

6、验，因为实践是检验真理的唯一标准对于数学问题，应寻求数学证明课件展示：多媒体课件 (游戏：多米诺骨牌 ) ,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法数学运用例 1用数学归纳法证明：等差数列na中，1a 为首项， d 为公差，则通项公式为1(1)naand证： （1）当1n时，等式左边1a ，等式右边110ada ，等式成立（2）假设当 nk时等式成立，即1(1)kaakd，那么，当1nk时，有111(1)(1)1kkaadakddakd这就

7、是说，当1nk时等式也成立根据（ 1）和（2） ，可知对任何*nN，等式都成立注意： （1）这两个步骤是缺一不可的数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（ 2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1nk时为什么成立？1nk时成立是利用假设 nk时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1nk出时成立，而不是直接代入，否则1nk时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识

8、开始，到对不完全归纳法的认识， 再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束 第二名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到 n=k时命题成立这个条件变式：用数学归纳法证明：等比数列na中，1a 为首项，q为公比，则通项公式为11nnaa q例 2用数学归纳

9、法证明：当*nN时，2135(21)nn证： （1）当1n时，等式左边1，等式右边1，等式成立（2）假设当 nk时等式成立，即2135(21)kk，那么，当1nk时，有135(21)2(1) 1kk2222(1)121(1)kkkkk这就是说，当1nk时等式也成立根据（ 1）和（2） ，可知对任何*nN，等式都成立例 3 用数学归纳法证明： 当*nN时，2222(1)(21)1236n nnn证： （1）当1n时，211，1 (1 1)(21 1)16，结论成立（2）假设 nk时，结论成立，即2222(1)(21)1236k kkk，那么2222222(1)(21)(1)(266)123(1)

10、(1)66k kkkkkkkkk2(1)(276)(1)(2)(23)(1)(1)12(1)1666kkkkkkkkk所以当1nk时，命题也成立根据（ 1）和（2） ，可知结论当*nN时都成立变式：用数学归纳法证明：(1)(2)()2 1 3 5(21)nnnnnng g g g g，*nN解： （1）当1n时，等式左边2，等式右边2 12，所以，等式成立（2）假设 nk*()kN时，等式成立，即(1)(2)()2 1 3 5(21)kkkkkkg g g g g那么，当1nk时，1(2)(3)()(21)(22)2(1)(2)(3)()(21)21 3 5(21)2(1) 1kkkkkkkk

11、kkkkkkkgg g g g即1nk时等式成立根据（ 1）和（2） ，可知对任何*nN，等式都成立例 4已知数列1111,1 4 47 710(32)(31)nnL,计算1234,S SSS,根据计算结果 ,猜想nS的表达式 ,并用数学归纳法进行证明证：111144S；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 21124477S；321377 1010S；431410101313S. 可以看出 ,上面表示四个结果的分数中

12、,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为 31n.于是可以猜想31nnSn. 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当1n时，左边 =114S, 右边=11313 114nn, 猜想成立（2）假设 nk(*kN)时，猜想成立 ,即11111 447710(32)(31)31kkkkL,那么111111 447710(32)(31)3(1)2)3(1)1kkkkL1313(1)2)3(1)1kkkk2341(31)(1)(31)(34)(31)(34)kkkkkkkk13(1)1kk所以当1nk时，猜想也成立根据（ 1）和（2） ，可知猜想对任何*nN时都成立巩固练习：课外作业：1.对一切自然数

13、 n，猜出使2ntn成立的最小自然数t2. 平面上有 n 条直线，其中无两条平行，无三条共点，问：(1) 这 n 条直线共有几个交点f(n) ？（1( )(1)2f nn n(2) 这 n 条直线互相分割成多少条线段（或射线）？(2n条) (3) 平面被这 n 条直线分割成多少块区域？（222nn）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3. 已知数列 an中， a1=31, an+1=nnaa31求 a2, a3, a

14、4，猜测通项公式an)422(nnan教后感：20 年月日第课时课题：2.3 数学归纳法（ 2）教学目的、知识与技能 ：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；、过程与方法 ：通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径；、情感、态度与价值观 ：学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用重点体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用难点用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用教学过程：教学过程 : 1. 归纳法 ：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：特殊一般2. 不完

15、全归纳法 : 根据事物的部分 ( 而不是全部 )特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法 . 3. 完全归纳法 : 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法 . 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种 ) 特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做 枚举法 . 与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的 . 通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法. 4. 数学归纳法 : 对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当 n 取第一个值 n0时命题成立；然后假设当 n=k(kN*， kn0)时命题成立，证明当n=k+1 时命题也成立

16、 这种证明方法就叫做数学归纳法5. 数学归纳法的基本思想： 即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当 n=n0时，命题成立，再假设当n=k( kn0，kN*) 时，命题成立 .( 这时命题是否成立不是确定的 )，根据这个假设，如能推出当n=k+1 时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数 n0+1，n0+2，命题都成立 . 6. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1) 证明：当 n 取第一个值 n0结论正确；(2) 假设当 n=k( kN*，且 kn0)时结论正确，证明当n=k+1 时结论也正确 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

17、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 由(1) ，(2) 可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 学生探究过程 ：数学归纳法公理；用数学归纳法证明：当*nN时111111111234212122nnnnn数学运用例 1设*nN，1( )5231nnf n（1）当1,2,3,4n时，计算( )f n的值；（2）你对( )f n的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想解： （1）当1n时，11 1(1)523188 1f；当2n

18、时，22 1(2)52313284f；当3n时，33 1(3)52311448 18f；当4n时，44 1(4)5231680885f（2）猜想：当*nN时，1( )5231nnf n能被 8 整除当1n时，有11 1(1)52318f能被 8 整除，命题成立假设当 nk时，命题成立，即( )f k能被 8 整除，那么当1nk时，有1(1) 11(1)523155631kkkkf k111(5231)4(53)( )4(53)kkkkkkf k这里，5k和13k均为奇数，它们的和1(53)kk必为偶数，从而14(53)kk能被 8 整除又依归纳假设，( )f k能被 8 整除，所以(1)f k

19、能被 8 整除这就是说，当1nk时，命题也成立根据（ 1）和（2） ，可知命题对任何*nN都成立变式：求证当n取正奇数时，nnxy能被 xy 整除。证明： （1）1n时，11xyxy，能被 xy整除，命题成立。（2）假设 nk (k为正奇数 )时，有kkxy能被 xy 整除, 当2nk时，22222222kkkkkkkkxyxxyyxxyxyxyy2222()()()()()kkkkkkxyxyxyxyxyxyxy以上两项均能被xy整除，22kkxy能被 xy 整除，即当2nk时命题仍成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

20、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 由（1） 、 （2）可知，对一切正奇数n，都有nnxy能被 xy 整除例 2在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点问：这条直线将平面分成多少个部分？解： 记n条直线把平面分成nr个部分，我们通过1,2,3,4,5,n画出图形观察nr的情况：n=5n=4n=3n=2n=1从图中可以看出121 1r，21421 12rr，32731 123rr，431141 1234rr，54165112345rr由此猜想1 1234nrn接下来用数学归纳法证明这个猜想（1）当

21、时1,2n，结论均成立；（2）假设当 nk时，结论成立，即11234krk，当1nk时，第1k条直线与前面的k条直线都相交， 有k个交点，这k个交点将这条直线分成1k段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，所以1(1)11234(1)kkrrkkk，结论也成立根据 （1） 和（ 2） ，可 知 对*nN， 均有11234nrn， 即(1)12nn nr例3已知*1111(1,)23nSnnNn，求证：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - -

22、 - - - - - 212nnS*(2,)nnN证明： （1）当2n时，211125211234122nS，即2n时命题成立（2）假设当 nk时命题成立，即2111112322kkkS，当1nk时，112111111232212kkkkS11112111111221222222222kkkkkkkkkk故当1nk时，命题成立由（1）和（ 2）可知，对*,2nNn，212nnS不等式都成立巩固练习： 1. 证明对*nN，111( )11231f nnnn成立2 课本练习课外作业：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 教后感：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -