2022年全国卷理数 .pdf

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1、2019 全国 1 卷理数一、选择题1. 已知集合24260MxxNx xx，则MNI=( ) A43xxB42 xxC22xxD23xx2. 设复数z满足=1iz，z在复平面内对应的点为(),x y，则 ( ) A22+11()xyB221(1)xyC22(1)1yxD22( +1)1yx3. 已知0.20.32log 0.2,2,0.2abc，则 ( ) AabcBacbC cabDbca4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（510.6182，称为黄金分割比例) ，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之

2、比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A165cmB175cmC185cmD190cm5. 函数2sin( )cosxxf xxx在, 的图像大致为 ( ) AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - CD6. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦

3、中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是( ) A516B1132C2132D11167. 已知非零向量,a b满足|2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A6B3C23D568. 如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入( ) A12AAB12AAC112AAD112AA9. 记nS为等差数列na的前 n 项和已知450,5Sa，则 ( ) A25nanB310nanC228nSnnD2122nSnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

4、 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 10. 已知椭圆C的焦点为12( 1,0)(1,0)FF,，过2F的直线与C交于,A B两点若222AFF B，1ABBF，则C的方程为 ( ) A2212xyB22132xyC22143xyD22154xy11. 关于函数( )sinsinf xxx有下述四个结论：( )f x是偶函数( )f x在区间(, )2单调递增( )f x在, 有 4 个零点( )f x的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( ) ABCD12. 已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为 2 的正三角形，,E F分别是,PA

5、 PB的中点，90CEF，则球O的体积为 ( ) A68B64C62D6二、填空题13. 曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为_. 14. 记nS为等比数列na的前 n项和若21461,3aaa，则5S_. 15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 _16. 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F过1F的直线与C的两条渐近线分别交于,

6、A B两点若1F AABuu u ruu u r，120F B F Buuu r uuu u r，则C的离心率为_三、解答题17.ABC的内角,A B C的对边分别为, , ,a b c设22(sinsin)sinsinsinBCABC1. 求A；2. 若22abc，求sinC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 18. 如图，直四棱柱1111ABCDA B C D的底面是菱形，14,2,60 ,AAABBADE M

7、 N分别是11,BC BBA D的中点1. 证明：/ /MN平面1C DE；2. 求二面角1AMAN的正弦值19. 已知抛物线2:3Cyx的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为,A B，与 x 轴的交点为P1. 若4AFBF，求l的方程；2. 若3APPBuuu ruu u r，求AB20. 已知函数( )sinln(1)f xxx，( )fx为( )f x的导数证明：1.( )fx在区间( 1,)2存在唯一极大值点；2.( )f x有且仅有 2 个零点21. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验

8、对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X1. 求X的分布列；2. 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，i(i0,1,8)pL表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，

9、则00p，81p，ii 1ii 1papbpcp(i1,2,7)L，其中(1)aP X，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - (i) 证明：i 1ipp(i0,1,2,7)L为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性22. 选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt（t为参数）以坐标原点O为极

10、点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3 sin1101. 求C和l的直角坐标方程；2. 求C上的点到l距离的最小值23. 选修 45：不等式选讲 已知, ,a b c为正数，且满足1abc证明：1.222111abcabc；2.333()()()24abbcca名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 参考答案一、选择题1. 答案： C 解析：2. 答案： C 解析：3. 答案： B 解析：

11、4. 答案： B 解析：5. 答案： D 解析：6. 答案： A 解析：7. 答案： B 解析：8. 答案： A 解析：9. 答案： A 解析：10. 答案： B 解析：11. 答案： C 解析：12. 答案： D 解析：二、填空题13. 答案：3yx解析：14. 答案：1213解析：15. 答案：0.18解析：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 16. 答案： 2 解析：三、解答题17. 答案： 1. 由已知得2

12、22sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得222bcabc由余弦定理得2221cos22bcaAbc因为0180A，所以60A2. 由 1 知120BC，由题设及正弦定理得2sinsin 1202sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos602C由于0120C，所以2sin602C，故sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC624解析：18. 答案： 1. 连结1,B C ME因为,ME分别为1,BB BC的中点，所以1/ /MEB C，且112MEB C又因为N为1A D的中点，所以112NDA D由题设知11/ /A

13、BDC，可得11/ /B CA D，故/ /MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，/ /MNED又MN平面1EDC，所以/ /MN平面1C DE2. 由已知可得DEDA以D为坐标原点，DAuu u r的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 则(2,0,0)A，12,()0,4A，(1, 3,2)M，(1,0,2)N，1(0,0, 4)A Auuu r，1(

14、 1, 3, 2)AMu uuu r，1( 1,0, 2)A Nuuuu r，(0,3,0)MNuuu u r设( , , )mx y z为平面1A MA的法向量，则1100m A Mm A Auuuu ruuu r，所以320,40 xyzz可取( 3,1,0)m设( , , )np q r为平面1A MN的法向量，则10,0n MNn A Nu uu u ru uu u r所以30,20qpr可取(2,0,1)n于是2 315cos,|525m nm nm n，所以二面角1AMAN的正弦值为105解析：19. 答案： 1. 设直线11223:,2lyxt A xyB xy由题设得3,04F

15、，故1232AFBFxx，由题设可得1252xx由2323yxtyx，可得22912(1)40 xtxt，则1212(1)9txx从而12(1)592t，得78t名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 所以l的方程为3728yx2. 由3APPBuuu ruu u r可得123yy由2323yxtyx，可得2220yyt所以122yy从而2232yy，故211,3yy代入C的方程得1213,3xx故4 133AB解析：

16、20. 答案： 1. 设( )( )g xf x，则1( )cos1g xxx，21sin()(1xxg x. 当1,2x时，( )g x单调递减，而(0)0,()02gg，可得( )g x在1,2有唯一零点，设为. 则当( 1,)x时，( )0g x；当,2x时，( )0g x. 所以( )g x在( 1,)单调递增，在,2单调递减，故( )g x在1,2存在唯一极大值点，即( )f x在1,2存在唯一极大值点. 2.( )f x的定义域为( 1,). （i ）当( 1,0 x时，由 1 知，( )f x在(1,0)单调递增，而(0)0f ，所以当( 1,0)x时，( )0f x，故( )f

17、 x在(1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0 x是( )f x在( 1,0的唯一零点 . （ii ）当0,2x时，由 1知，( )f x在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0f ，02f ，所以存在,2，使得()0f ，且当(0,)x时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - ( )0f x；当,2x时，( )0f x. 故( )f x在(0,)单调递增，在,2单调递减. 又(0)=0f，1ln 1022

18、f，所以当0,2x时，( )0fx. 从而，( )f x在0,2没有零点 . （iii）当,2x时，( )0f x，所以( )f x在,2单调递减 . 而02f，( )0f，所以( )f x在,2有唯一零点 . （iv ）当( ,)x时，ln(1)1x，所以( )0f x，从而( )f x在( ,)没有零点 . 综上，( )f x有且仅有 2个零点 . 解析：21. 答案： 1.X的所有可能取值为1,0,1. (1)(1),P X(0)(1)(1),P X(1)(1),P X所以X的分布列为2. （ i ）由 1 得0.4,0.5,0.1abc. 因此ii 1ii 1=0.4+0.5 +0.1

19、pppp，故i 1iii 10.10.4pppp，即i 1iii 14pppp. 又因为1010ppp，所以i 1i(i0,1,2,7)ppL为公比为 4，首项为1p的等比数列（ii ）由 i 可得8887761008776101341pppppppppppppppLL. 由于8=1p，故18341p，所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 44433221101411.3257pppppppppp4p表示最终认

20、为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5 ，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 解析：22. 答案： 1. 因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx. l的直角坐标方程为23110 xy. 2. 由 1可设C的参数方程为cos ,2sin.xy（为参数，）. C上的点到l的距离为4cos11|2cos2 3sin11|377. 当23时，4cos113取得最小值 7，故C上的点到l距离的最小值为7. 解析：23. 答

21、案： 1. 因为2222222,2,2abab bcbc caac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc. 所以222111abcabc. 2. 因为, , a b c为正数且1abc，故有3333333()()()3 () () ()abbccaabbcac=3( + )( + )( + )a b b c a c3(2)(2)(2)abbcac24. 所以333()()()24abbcca. 解析：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -