2022年圆锥曲线硬解定理归纳 .pdf

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1、圆锥曲线硬解定理圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH 定理 (The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆双曲线与直线相交时?、21xx、21xx及相交弦长的简便算法。1/定理简介在将圆锥曲线方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在, 但其一般化的推导结果不具有普适性, 且一直无法用一个简洁的形式表示. 由CGY(2010) 以椭圆曲线推导 , 重新排列分组形式 , 并引入 , 从而得出了较为简洁的表示形式 . 后再由 CGY 成功引入弦长计算公式 , 并将适用范围扩大到对y值求解与对的求解 , 从而奠定了 CGY-EH 定理强大的通用性与普适

2、性. 2/ 定理内容若曲线 C: nymx22 =1 与直线 Ax+By+C=0 相交于 E、F 两点, 则: ? 为一与 ?同号的值 . 3/定理说明 应用该定理于椭圆时：应将代入 应用于双曲线时：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 应将代入同时0，即 不为零 .注：求解21yy与21yy只须将 A与 B的值互换且 m与 n 的值互换 . 可知 与?的值不会因此而改变.4/定理简证设: 曲线nymx22=1直线0C

3、ByAx相交于 E、F 两点，联立式可得最终的二次方程：0-2222222mnBmCBACmxxnBmA应用韦达定理，可得 : 2222222122214A2-CmnBnBmAnBCmxxnBmACmxx1. 对于等价的一元二次方程 ?的数值不唯一 , 且 ?的意义仅在于其与零的关系, 由 4B20恒成立 , 则可取与 ?同号的 ? =mn(-C2) 作为?的值. 2.212212222122141|xxxxBAyyxxEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共

4、4 页 - - - - - - - - - 可得|4|EF|2222222nBmACnBmAmnBA令nBmA22则得到 CGY-EH 定理: 5/ 可行性应用1. 椭圆 x2/4+y2/3=1与直线 y=x+1 相交于 E、F 两点, 求解相交弦|EF|,x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2. 列表 : A B C m n ? 1 -1 1 4 3 7 72 求解 : x1+x2 x1*x2 |EF| -8/7 -8/7 互换表中 A与 B 的值,m 与 n 的值: A B m n -1 1 32 4 求解: y1+y2 y1*y2 2. 双曲线 x2/3-y2/4=1与直线

5、 y=x+2 相交于 E、F 两点, 求解相交弦|EF| ，x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2. 列表 : A B C m n ? 1 -1 2 3 -4 -1 60 求解 : x1+x2 x1*x2 |EF| 12 -24 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 互换表中 A与 B 的值,m 与 n 的值: A B m n -1 1 -4 3 求解: y1+y2 y1*y2 16 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -