2022年大一第二学期高数期末考试题 .pdf

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1、大一第二学期高数期末考试一、 单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1.)(0),sin(cos)(处 有则 在设xxxxxf. （ A）(0)2f（B）(0)1f（C）(0)0f（D）()fx不可导 . 2.）时（，则当，设133)(11)(3xxxxxx. （A）( )( )xx与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）( )( )xx与是等价无穷小；（C）( )x是比( )x高阶的无穷小；（D）( )x是比( )x高阶的无穷小. 3.若()()( )02xF xtx ft dt，其中()fx在区间上( 1,1)二阶可导且()0fx，则（）. （A）函数( )F

2、 x必在0 x处取得极大值；（B）函数( )F x必在0 x处取得极小值；（C）函数( )F x在0 x处没有极值，但点(0,(0)F为曲线( )yF x的拐点；（D）函数( )F x在0 x处没有极值，点(0,(0)F也不是曲线( )yF x的拐点。4.)()(,)(2)()(10 xfdttfxxfxf则是连续函数，且设（A）22x（B）222x（C）1x（D）2x. 二、填空题（本大题有4 小题，每小题4 分，共 16 分）5.xxxsin20)31(lim . 6.,)(cos的一个原函数是已知xfxxxxxxfdcos)(则. 7.lim(coscoscos)22221Lnnnnnn

3、. 8.21212211arcsindxxxx. 三、解答题（本大题有5 小题，每小题8分，共 40 分）9.设函数( )yy x由方程sin()1xyexy确定，求()yx以及(0)y. 10.d)1(177xxxx求11. 求， 设132)(1020)(dxxfxxxxxexfx12.设函数)(xf连续，10()()g xfxt dt， 且0( )limxf xAx，A为常数 . 求( )g x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - -

4、 - - - - 并讨论( )g x在0 x处的连续性 . 13.求微分方程2lnxyyxx满足1(1)9y的解 . 四、 解答题（本大题10 分）14.已知上半平面内一曲线)0()(xxyy， 过点( , )01， 且曲线上任一点M xy(,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10 分）15.过坐标原点作曲线xyln的切线， 该切线与曲线xyln及 x 轴围成平面图形D. (1)求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题（本大题有2 小题，每小题4分

5、，共 8 分）16.设 函 数)(xf在0,1上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的 , 0 1q，100()()qfxd xqfx dx. 17.设函数)(xf在,0上连续，且0)(0 xdxf，0cos)(0dxxxf.证明：在,0内至少存在两个不同的点21,，使.0)()(21ff（提示：设xdxxfxF0)()(）解答一、单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4 小题，每小题4 分，共 16 分）5.6e. 6.cxx2)cos(21.7. 2. 8.3. 三、解答题（本大题有5

6、小题，每小题8分，共 40 分）9.解：方程两边求导(1)cos()()0 xyeyxyxyycos()()cos()xyxyeyxyy xexxy0,0 xy，(0)1y10.解：767uxx dxdu1(1)112()7(1)71ududuuuuu原式1(ln | 2ln |1|)7uuc7712ln |ln |1|77xxC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 11.解：1012330( )2xf x dxxed

7、xxx dx01230()1(1)xxdexdx00232cos(1sin)xxxeedx 令3214e12.解：由(0)0f，知(0)0g。100()()()xxtufu dug xfxt dtx(0)x02( )( )( )(0)xxfxf u dugxxx0200( )( )A(0)limlim22xxxf u duf xgxx0200( )( )lim( )lim22xxxxfxf u duAAg xAx，()gx在0 x处连续。13.解：2lndyyxdxx22(ln)dxdxxxyeexdxC211ln39xxxCx1(1),09yC，11ln39yxxx四、解答题（本大题10 分

8、）14.解：由已知且02dxyyxy，将此方程关于x求导得yyy2特征方程：022rr解出特征根：. 2,121rr其通解为xxeCeCy221代入初始条件yy( )( )001，得31,3221CC故所求曲线方程为：xxeey23132五、解答题（本大题10 分）15.解： （1）根据题意，先设切点为)ln,(00 xx，切线方程：)(1ln000 xxxxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 由于切线过原点，解出

9、ex0，从而切线方程为：xey1则平面图形面积10121)(edyeyeAy（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则2131eV曲线xyln与 x 轴及直线 x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 1022)(dyeeVyD 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221eeVVV六、证明题（本大题有2 小题，每小题4 分，共 12 分）16.证明：100( )( )qfx d xqf x dx100( )( )( )qqqf x d xqf x d xf x dx10(1)( )( )qqqf x d xqf x dx12120,1

10、()()12(1)()(1)()0qqffqqfqqf故有：100()( )qfx d xqfx dx证毕。17.证：构造辅助函数：xdttfxFx0,)()(0。其满足在,0上连续，在),0(上可导。)()(xfxF，且0)()0(FF由题设，有0000)(sincos)()(coscos)(0|dxxFxxxFxxdFxdxxf，有00sin)(xdxxF，由积分中值定理，存在),0(，使0sin)(F即0)(F综上可知),0(,0)()()0(FFF.在区间, , ,0上分别应用罗尔定理，知存在),0(1和),(2，使0)(1F及0)(2F，即0)()(21ff. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -