“高中数学函数对称问题”的探究.pdf

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1、“高中数学函数对称问题”的探究中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）21-309-01讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。一、函数自身的对称性探究高考题回放： （2005 年广东卷 I）设函数f （x）在（-，+）上满足 f（2-x）=f（2+x） ，f（7-x）=f（7+

2、x） ，且在闭区间0，7上只有 f（1）=f（3）=0（1）试判断函数 y=f（x）的奇偶性；（2）试求方程 f（x）=0 在闭区间-2005 ，2005上根的个数并证明你的结论。分析：由 f（2-x）=f（2+x） ，f（7-x）=f（7+x）可得：函数图像既关于 x=2 对称，又关于 x=7 对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。定理 1 函数 f （x）的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是 f（a+x）=f（a-x ）即 f（x）=f（2a-x ）证明（略）推论 函数 y=f（x）的图像关于 y 轴对称的充

3、要条件是 f（x）=f（-x）定理 2 函数 y=f（x）的图像关于点 A（a，b）对称的充要条件是 f（x）+f（2a-x ）=2b证明（略）推论 函数 y=f（x）的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f（x）+f（-x）=0偶函数、奇函数分别是定理 1、定理 2 的特例。定理 3 若函数 y=f （x） 的图像同时关于点 A（a，c）和点 B（b，c）成中心对称（ab） ，则 y=f（x）是周期函数，且 2|a-b|是其一个周期。若函数 y=f（x）的图像同时关于直线 x=a 和直线 x=b 成轴对称（ab） ，则 y=f（x）是周期函数，且 2|a-b|是其一个周期。若函数 y=f（x

4、）的图像既关于点 A （a，c）成中心对称又关于直线 x=b 成轴对称 （ab） ， 则 y=f （x）是周期函数，且 4|a-b|是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理 4 函数 y=f（x）与 y=2b-f （2a-x ）的图像关于点 A （a，b）成中心对称。证明：设点 P（x0，y0）是 y=f（x）图像上任一点，则 y0=f（x0） 。点 P（x0，y0）关于点 A （a，b）的对称点为 P （2a-x0 ， 2b-y0） ， 此点坐标满足 y=2b-f（2a-x ） ，显然点 P （2a-x0 ，2b-y0）在 y=2b-f （2a-x ）的图像上。同理可证：y=2b-f （2

5、a-x ）图像上关于点 A（a，b）对称的点也在 y=f（x）的图像上。推论 函数 y=f（x）与y=-f （-x）的图像关于原点成中心对称。定理 5 函数 y=f（x）与 y=f（2a-x ）的图像关于直线 x=a 成轴对称。证明 设点 P（x0，y0）是y=f（x）图像上任意一点，则y0=f（x0） 。点P（x0，y0）关于直线x=a 的对称点为 P （2a-x0 ，y0） ，显然点P （2a-x0 ，y0）在y=f（2a-x ）的图像上。同理可证：y=f（2a-x ）图像上关于直线 x=a 对称的点也在 y=f（x）图像上。推论 函数 y=f（x）与 y=f（-x）的图像关于直线y 轴对

6、称。定理 6 函数 y=f（x）与 a-x=f （a-y ）的图像关于直线 x+y=a 成轴对称。函数 y=f（x）与 x-a=f （y+a）的图像关于直线x-y=a成轴对称。推论 函数 y=f（x）的图像与 x=f（y）的图像关于直线 x=y 成轴对称。三、函数对称性应用举例例 1 定义在 R 上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f （5-x）=f （5+x） ，则f （x）一定是（ ）A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数解：因为f （10+x）为偶函数，所以f （10+x）= f（10-x） 。所以 f

7、（x） 有两条对称轴 x=5 与 x=10， 因此 f （x）是以 10 为其一个周期的周期函数， 所以 x=0 即 y 轴也是 f（x）的对称轴，因此 f（x）还是一个偶函数。故选（A ） 。例 2 设定义域为 R 的函数 y=f（x） 、y=g（x）都有反函数，并且 f（x-1）和 g-1（x-2）的函数图像关于直线 y=x 对称，若g（5）=2002，那么f （4）=（ ）A.2002 B.2003 C.2004 D.2005解：因为 y=f（x-1）和 y=g-1（x-2）的函数图像关于直线 y=x 对称， 所以 y=g-1 （x-2） 的反函数是 y=f（x-1） ，而 y=g-1（

8、x-2）的反函数是 y=2+g（x） ，所以=f （x-1） =2+ g （x） ， 所以有 f （5-1） =2+g（5） =2004故 f（4）=2004，应选（C） 。例 3 设 f （x） 是定义在 R 上的偶函数， 且 f （1+x）=f（1-x） ，当-1x0 时，f（x）=- ，则 f（8.6 ）=_解： 因为 f （x） 是定义在 R 上的偶函数， 所以 x=0是 y=f（x）的对称轴；又因为 f（1+x）=f（1-x）所以 x=1 也是 y=f（x）的对称轴。故 y=f（x）是以 2 为周期的周期函数，所以 f（8.6 ）=f（8+0.6）=f（0.6 ）=f（-0.6 ）=0.3例 4 设 f （x） 是定义在 R 上的奇函数， 且 y=f （x）的图像关于直线 x= 对称，则：f （1） +f （2） +f （3） +f （4） +f （5） =_解：函数 y=f（x）的图像既关于原点对称，又关于直线 x= 对称，所以周期是 2，又 f（0）=0，图像关于 x= 对称，所以 f （1）=0，所以 f （1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0