2022年微专题：构造函数法解选填压轴题 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载微专题：构造函数法解选填压轴题高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法 是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。几种导数的常见构造：1对于xgxf，构造xgxfxh若遇到0aaxf，则可构axxfxh2对于0 xgxf，构造xgxfxh3对于( )( )0fxf

2、 x，构造xfexhx4对于( )( )fxf x或( )( )0fxf x，构造( )( )xf xh xe5对于0 xfxxf，构造xxfxh6对于0 xfxxf，构造xxfxh一、构造函数法比较大小例1已知函数( )yf x的图象关于y 轴对称 , 且当(,0),( )( )0 xfxxfx成立，0.20.22(2)af，log3(log3)bf，33log 9(log 9)cf, 则, ,a b c的大小关系是 ( ) .Aabc.B acb.C cba.D bac【解析】因为函数( )yf x关于y轴对称 , 所以函数( )yxf x为奇函数 . 因为( )( )( )xf xfxx

3、fx, 所以当(,0)x时,( )( )( )0 xfxf xxfx, 函数( )yxf x单调递减 , 当(0,)x时, 函数( )yxfx单调递减 . 因为0.2122,0131og,3192og, 所以0.23013219ogog, 所以bac, 选 D. 变式 : 已知定义域为R的奇函数( )fx的导函数为( )fx，当0 x时，( )( )0f xfxx，若111(),2( 2),ln(ln 2)222afbfcf，则下列关于, ,a b c的大小关系正确的是（D ）.Aabc.B acb.C cba.D bac例 2已知( )f x为R上的可导函数，且xR，均有( )( )f xf

4、x，则有A2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fefB2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fef名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载C2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fefD2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fef【解析】构造函数( )( ),xf xg xe则2( )()( )( )( )

5、( )()xxxxfx eef xfxf xgxee，因为,xR均有( )( )f xfx ，并且0 xe，所以( )0gx，故函数( )( )xf xg xe在 R 上单调递减，所以( 2016)(0)(2016)(0)gggg，即20162016( 2016)(2016)(0)(0)ffffee，也就是20162016( 2016)(0)(2016)(0)efffef，故选 D变式 : 已知函数( )f x为定义在R上的可导函数，且( )( )f xfx对于任意xR恒成立，e为自然对数的底数，则（C ）2016. (1)(0)(2016)(0)A fe ffef、2016. (1)(0)(

6、2016)(0)B fe ffef、2016. (1)(0)(2016)(0)C fe ffef、2016. (1)(0)(2016)(0)D fe ffef、例 3在数列na中，1()n 1,()nnanN则数列na中的最大项为( )A2B33C55D不存在【解析】由已知12a，323a，4342a，545a易得12234,.aaaaa. 猜想当2n时，na是递减数列又由11nnan知ln(1)ln1nnan，令ln( )xf xx，则221ln1ln( )xxxxfxxx当3x时，ln1x，则1ln0 x，即( )0fx( )f x在3,内为单调递减函数，2n时，lnna是递减数列，即na

7、是递减数列又12aa，数列na中的最大项为323a故选 B练习1已知函数)(xfy对任意的)22(，x满足( ) cos( ) sin0fxxfxx, 则（）A)4(2)0(ff B. )3(2)0(ff C. )4()3(2ff D. )4()3(2ff提示：构造函数( )( )cosf xg xx，选 D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载二、构造函数法解恒成立问题例 1若函数y=)(xf在R上

8、可导且满足不等式( )( )0 xfxf x恒成立， 对任意正数a、b，若ab，则必有（）A( )( )af bbf aB( )( )bf aaf bC( )( )af abf bD( )( )bf baf a【解析】由已知( )( )0 xfxf x构造函数)()(xxfxF，则( )Fx( )( )0 xfxf x， 从而)(xF在R上为增函数。ab( )( )F aF b即( )( )af abf b，故选 C。例 2已知)(xf是定义在（ 0，+）上的非负可导函数，且满足)()(xfxf x0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）A( )( )af bbf aB( )( )bf aaf

9、 bC( )( )af abf bD( )( )bf baf a【解析】xxfxF)()(，0)()()(2xxfxxfxF，故xxfxF)()(在（ 0，+）上是减函数，由ba，有bbfaaf)()(，即( )( )af bbf a。故选 A。变 式1. 设( )( )f xg x、是R上 的 可 导 函 数 ，( )( )fxg x、分 别 为( )( )f xg x、的 导 函 数 ， 且 满 足( )( )( )( )0fx g xf x gx，则当axb时，有（C ）.( ) ( )( ) ( )A f x g bf b g x.()()()(B fx g afa g x. ( )

10、( )( ) ( )C f x g xf b g b.()()()(D fx g xfb g a变式 2. 设函数bxaxgxfbaxgxf则当且上均可导在),()(,)(),(时，有（ C ）A)()(xgxfB)()(xgxfC)()()()(afxgagxf D)()()()(bfxgbgxf例 3设函数( )f x在 R 上的导函数为( )fx，且22( )( )f xxfxx，下面不等式恒成立的是（）A0)(xfB0)(xfCxxf)(Dxxf)(【解析】由已知，首先令0 x得0)(xf，排除 B，D令2( )( )g xx f x，则( )2 ( )( )g xxf xxfx，当0

11、 x时，有2( )2( )( )( )0gxf xxfxxg xx，所以函数( )g x单调递增，所以当0 x时，( )(0)0g xg，从而0)(xf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当0 x时，有2( )2( )( )( )0gxf xxfxxg xx，所以函数( )g x单调递减，所以当0 x时，( )(0)0g xg，从而0)(xf综上0)(xf故选 A例 4 如果22(1)(1)1xxy

12、y，那么下面的不等式恒成立的是（）A0 xyB0 xyC0 xyD0 xy【解析】构造函数2( )lg(1)()f xxxxR，易证( )f x在 R 上是奇函数且单调递增22(1)(1)1xxyy2()()l g (1 )fxfyxx+2lg(1)yy=22lg(1)(1)xxyy=lg1 = 0 ()()fxfy即：( )()f xfy又( )f x是增函数xy即0 xy。故选 B练习 1. 已知yxyx)5. 0(log)() 5. 0(log31313131，则实数yx,的关系是（ D ）A.0yx B. 0yx C. 0yx D.0 xy【解析】构造函数133( )(log2)xf

13、xx，( )f x是增函数，又( )()fxfy，0 xy，故选 D练习 2. 已知函数)(xfy是R上的可导函数，当0 x时，有0)()(xxfxf, 则函数xxxfxF1)()(的零点个数是 ( B ) A.0 B.1 C. 2 D.3【解析】由xxxfxF1)()(，得1( )xfxx，构造函数g( )( )xxfx，则g ( )( )( )xf xx f x， 当0 x时，有0)()(xxfxf, 当0 x时，( )( )0 xfxf xx即当0 x时，g ( )( )( )0 xf xx f x，此时函数g( )x单调递增，此时g( )g(0)0 x，当0 x时，g ( )( )(

14、)0 xf xx f x，此时函数g( )x单调递减，此时g( )g(0)0 x，作出函数g( )x和函数1yx的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数xxxfxF1)()(的零点个数为1 个故选 B三、构造函数法解不等式例 1. 函数 f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，( )2fx，则 f(x)2x4 的解集为 () A(1,1) B(1， )C(， 1) D(， ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - -

15、- - - - 学习好资料欢迎下载【解析】构造函数G(x)f(x)2x4，所以( )( )2G xfx，由于对任意xR，( )2fx，所以( )( )2G xfx0 恒成立，所以G(x)f(x)2x4 是 R 上的增函数，又由于 G(1)f(1)2(1)40，所以 G(x)f(x) 2x40，即 f(x)2x 4的解集为 ( 1， )，故选 B.变式 1. 已知函数)(Rxxf满足1)1(f，且21)( xf，则212)(xxf的解集为（）A. 11xxB. 1xxC. 11xxx或D. 1xx【解析】 构造新函数1( )( )()22xF xfx, 则11(1)(1)()1 1022Ff，1

16、( )( )2Fxfx，对任意xR，有1( )( )02Fxfx，即函数( )F x在 R上单调递减，所以( )0F x的解集为(1,)，即212)(xxf的解集为(1,)，选 D. 变式2.定义在R上的函数( )f x，其导函数( )fx满足( )1fx，且23f，则关于x的不等式1fxx的解集为(,2)变式 3.已知函数( )f x为定义在R上的可导函数， 且( )( )f xfx对于任意xR恒成立， 且(1)fe，则( )1xf xe的解集为(,1)变式 4.函数)(xf的定义域是R，2)0(f，对任意Rx，( )( )1f xfx，则不等式1)(xxexfe的解集为（ A ）A. 0

17、xx B. 0 xx C. 1x-1xx或 D. 101xxx或例 2 设( )f x是定义在R 上的奇函数，且(2)0f，当0 x时，有2( )( )0 xfxf xx恒成立，则不等式2( )0 x f x的解集是解：因为当x0 时，有2( )( )0 xfxf xx恒成立，即 ( )f xx 0 恒成立，所以( )f xx在(0,)内单调递减因为(2)0f，所以在（ 0，2）内恒有( )0f x；在(2,)内恒有( )0f x又因为( )f x是定义在R 上的奇函数，所以在(,2)内恒有( )0f x；在( 2,0)内恒有( )0f x又不等式2( )0 x f x的解集，即不等式( )0

18、f x的解集所以答案为(, 2)（ 0，2） 变式 1. 已知定义在)0 ,(上的可导函数，其导函数为( )fx，且有22 ( )( )f xxfxx，则不等式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载0)2(4)2014()2014(2fxfx的解集为（C）A)2012,( B. )02012(， C. )2016,( D. )02016(，变式 2. 函数( )f x的定义域为R，( 2)2016f，

19、对任意 xR，都有( )2fxx成立，则不等式2( )2012f xx的解集为（C） A. ( 2,2) B. ( 2,) C. (, 2) D. (,)变式3. 设)(xfy是定义在R上的函数，其导函数为( )fx，若( )( )1f xfx，(0)2017f, 则不等式( )2016xxf x ee的解集为（ D ）A. (2016,) B. (,0)(2016,) C. ),0()0,( D. ),0(变 式4.函 数)(xf是 定 义 在R上 的 偶 函 数 ,0)2(f, 且0 x时 ,( )( )0f xxfx, 则 不 等 式0)(xxf的解集是 _ 2,02,)_（提示：构造的

20、( )( )g xxfx为奇函数，(0)0f）例 4设( )( )fxg x、是R上的可导函数，( ) ( )( )( )0fx g xf x g x，( 3)0g， 则不等式( ) ( )0f x g x的解集为( 3,)变式 1设( )( )f xg x、分别是定义在R上的奇函数、 偶函数， 当0 x时，( ) ( )( )( )0fx g xf x gx，( 3)0g，则不等式( ) ( )0fx g x的解集为(,3 )( 0 , 3. 变式 2已知R上的函数( )( )fxg x、满足( )( )xf xag x，且 ( ) ( )( ) ( )f x g xf x g x，若( 1

21、 )( 1 )5( 1 )( 1 )2ffgg，则关于x的不等式log1ax的解集为1( 0)2，.变式 3. 设奇函数)(xf定义在),0()0,(上，其导函数为( )fx，且02f，当x0时，sincos0fxxfxx，则关于x的不等式fx2sin6fx的解集为 _(,0)(,)66. （提示：构造的( )( )sinf xg xx为偶函数）四、构造函数法求值例 1设( )f x是R上的可导函数，且( )( )fxf x，(0)1f，21(2)fe.则(1)f的值为. 提示：由( )( )fxf x得( )( )0fxf x，所以( )( )0 xxe fxe f x，即( )0 xe f

22、x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载设函数( )( )xF xe fx，则 此时有1(2)(0)1FF，故( )( )1xF xe f x，1(1)fe变式 已知( )f x的导函数为( )fx，当0 x时，2( )( )f xxfx，且(1)1f，若存在xR，使2( )f xx，则x的值为1 .（提示：构造2( )( )f xg xx）例 2已知定义在R上的函数( )( )f xg x、满足(

23、 )( )xf xag x，且( ) ( )( )( )fx g xf x gx，(1)( 1)5(1)( 1)2ffgg，若有穷数列*( )()( )f nnNg n的前n项和等于3132，则n等于5 . 解：( )( )( )( )fx g xf x gx，2( )( )g()( )g ( )0( )( )f xfxxf xxg xgx，即函数( )( )xf xag x单调递减， 0a1又(1)( 1)5(1)( 1)2ffgg，即152aa解得12a或 a=2（舍去）( )1()( )2xfxg x，即(n)1( )(n)2nfg，数列1() 2n是首项为112a，公比12q的等比数列

24、，11( )2nnS，由1311( )232nnS，解得 n=5。变式 1已知)(xf,)(xg都是定义在 R上的函数，0)(xg，( )( )( )( )fxg xf x g x， 且)()(xgaxfx（0a，且1a） 。25)1()1()1 ()1(gfgf，若数列)()(ngnf的前n项和大于62，则n的最小值为（ A ） A 8 B 7 C 6 D 5 变式2已知( )f x、( )g x都是定义在R 上的函数，( )( )( )( )0fx g xf x gx，( )( )xf x g xa，5(1) (1)( 1) ( 1)2fgfg在区间 3,0上随机取一个数x，( )( )f

25、x g x的值介于4 到 8 之间的概率是（）A13B38C12D23解：由题意，( ) ( )( )( )0fx g xfx gx，( ) ( )f x g x0，函数( ) ( )f x g x在 R 上是减函数，( ) ( )xf x g xa，0a1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载5(1) (1)( 1) ( 1)2fgfg 152aa12a( ) ( )f x g x的值介于4 到

26、8， 3, 2x在区间 3,0上随机取一个数x，( ) ( )f x g x的值介于 4 到 8 之间的概率是13P，故选 A【模型总结】关系式为“加”型（1）( )( )0fxf x构造( )( )( )xxe f xefxf x（2）( )( )0 xfxf x构造( )( )( )xf xxfxf x（3）( )( )0 xfxnf x构造11( )( )( )( )( )nnnnx f xx fxnxf xxxfxnf x（注意对x的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）( )( )0fxf x构造2( )( )( )( )( )()xxxxxf xfx ef x efxf xeee（2

27、）( )( )0 xfxfx构造2( )( )( )f xxfxf xxx（3）( )( )0 xfxnf x构造121( )( )( )( )( )()nnnnnf xx fxnxf xxfxnfxxxx（注意对x的符号进行讨论）构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -