2022年向量空间练习收集 .pdf

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1、向量空间练习一、填空题1、 已知关于基,321的坐标为（ 1，0，2） ，由基,321到基,321的过渡矩阵为012001423，则关于基,321的坐标2、 线性方程组123450 xxxxx的一个基础解系中含有个向量3、 设12,.,t是0AX的基础解系，0是AX的特解，则它的一般解为4、数域 F 上全体反对称矩阵作成向量空间|n nTAFAA，则 T 的维数为 _ 5、0AX中共有1n个方程、2n个未知量， A 的秩为3n，则它的基础解系所含解的个数为6、两个有限维线性空间1V、2V同构的充分必要条件是7、在3F中，若1(1,1,0)t，2(1,2,0)，23(0,0,1)t线性相关，则t

2、8、如果11dimVm，22dimVm，123dim()VVm，则12dim()VV_9、复数域C作为实数域R上的向量空间，则Cdim_它的一个基为 _ 10、设基12,n到基12,n的过渡矩阵是A，而基12,n到基12,n的过渡矩阵是B，则12,n到12,n的过渡矩阵是 _ 11、若1212dim()dimdimVVVV，则12VV_二、判断题1、321321,xxxRxxxxWi且是向量空间3R的一个子空间2、数域F上的每一个向量空间都有基和维数3、若向量组12,s（1s）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合4、若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同5、若向量组12,s（1

3、s）线性相关，则每个向量都是其余向量的线性组合6、若12,s与12,t都线性无关，则12,s,12,t也线性无关7、n维向量空间V中任何n个线性无关的向量都是V的一组基8、对n维向量空间V中任何非零向量，在V中一定存在1n个向量121,n，使得1121,n作成V的一组基9、把复数域C 看成实数域R上的向量空间，它与2R是同构的10、向量空间V中，基12,n到基12,n的过渡矩阵是可逆的 11 、向量空间V的任意名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - -

4、 - - - - - - - 两个子空间的交12VV与并12VV都是V的子空间12、集合,0n nWA APA作成n nP的子空间 13 、n维向量空间V中任何1n个向量都线性相关14、两个等价的向量组一个线性无关，则另一个也线性无关三、选择题1、设 3 阶矩阵A的行向量为线性无关的，下述结论中正确的是（）(A) A的列向量线性无关(B) A的列向量线性相关(C) A的秩为 2 (D) A的行列式为零。2、 以下集合是Rn的子空间的是 ( )A1,0,0,ZnixxxB121,0,Rnniiix xxxxC121,1,Rnniiix xxxxD12,Znixxxx3、 （1）n维向量空间V的任

5、意n个线性无关的向量都可构成V的基（2）设n，21,是向量空间V中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则n，21,是V的基（3） 设,21n，是向量空间V的基，如果21n，与,21n，等价，则21n，也是V的基（4）n维向量空间V的任意1n个向量线性相关。以上说法中正确的有（）个。（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个4、F3的两个子空间V1=(x1,x2,x3)|2x1-x2+x3=0, V2=(x1,x2,x3)|x1+x3=0, 则子空间 V1V2的维数（） 。A一维B二维C三维D零维四、计算题1、令2 Fx是由域F上所有次数小于3的多项式构成的向量空间 （1） 证明

6、21xx，21x，2122xx是2 Fx的一个基 （2） 求从基21xx，21x，2122xx到基 1，x，2x的过渡矩阵（3）求2532xx在基21xx，21x，2122xx下的坐标2、已知1231,1,1 ,1,2,4 ,1,3,9是3F的一组基，求（1）1,1,3在基123,下的坐标 ; （2）在基112123123,2下的坐标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3、求极大无关组，并用其线性表示其他向量1234

7、6,4,1,1,2 ,1,0,2,3,41,4,9,16,22 ,7,1,0,1,34、设1000,0100,0010,00014321是22F的一组基，而2231,2121,1121,25324321是另一组基， 求由4321,到4321,的过渡矩阵，并求向量2945在基4321,下的坐标5 、 已 知3维 向 量 空 间V的 一 组 基321,， 设311，212，3213（1）证明321,也是V的一组基；（2）求由基321,到基321,的过渡矩阵；（3）求向量32132在基321,下的坐标6、121,2,1,0 , 1,1,1,1, 12, 1,0,1, 21, 1,3,7. 设由12,

8、生成的子空间为1V, 由12,生成的子空间为2V. 求12VV和12VV的基与维数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 7、设R表示实数域，,a bR是实常数，证明（1）3( , , )0Wx y zRxaybz是3R的一个子空间（2）求W的一组基与维数五、计算题1、设向量组12,r线性无关，而12,r线性相关，但不能由12,r线性表出，证明：可以由12,r线性表出2、设A、B是两个固定的n阶矩阵，证明,n nWX

9、XFAXXB是n nF的一个子空间3、设A是一个固定的n阶矩阵，证明：（1）,n nWX AXXA XF是n nF的一个子空间；（2）当A为对角矩阵时，写出W的维数及一组基4、设 nP x表示数域P上次数小于n的多项式及零多项式作成的向量空间，aP（ 1）验证1( )( )0,( ) nVfxf afxP x是 nP x的一个子空间；（2）求1V的一组基及维数5、设在向量组r,21中，01并且每一i都不能表成它的前1i个向量121,i的线性组合，证明r,21线性无关6、 设是非齐次线性方程组AX的一个解，12,r是其导出组0AX的一个基础解系 证明：12,r线性无关名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -