2022年对称变换和对称矩阵 .pdf

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1、7.5 对称变换和对称矩阵授课题目： 7.5 对称变换和对称矩阵教学目的： 1掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题 2掌握对称变换的特征根、特征向量的性质3对一个实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使T AT为对角形授课时数： 3 学时教学重点：对称变换的特征根、特征向量的性质; 对实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使T AT为对角形教学难点：定理7.5.4的证明教学过程：一、对称变换1、一个问题问题： 欧氏空间 V 中的线性变换应该满足什么条件，才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形？ V 满足：V,)(,），（2、对称变换的定义设是欧氏空间V 中的线性变换，如果V,都有

2、、)(,），（则称是 V 的一个对称变换例 1 以下3R的线性变换中 ,指出哪些是对称变换? 1123122331(,)(,)x xxxxxxxx21231323123(,)(,2,2);x xxxxxx xxx3123213(,)(,)x xxxxx3、对称变换与对称矩阵的关系Th1：n 维欧氏空间V 中的线性变换是对称变换的充分必要条件是：关于任意一个正交基的矩阵是实对称矩阵证：必要性：设是对称变换，关于 V 的标准正交基,21n的矩阵是A=)(),(RnijuAa即)()(),(21n,21nA 则knkkiia1)(ni1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

3、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 因是对称变换，,21n是标准正交基，所以ijknkkjijijijknkkijiaaaa11,)(,),(,因此， A 是对称矩阵充分性设关于 V 的标准正交基,21n的矩阵是A=)(ija是实对称矩阵，即)()(),(21n,21nA，A=A对任意V,，有nnxxx2211,21nnnyyy2211,21ny于是)(,21nA)(,21nAy其中 A，Ay分别是)(，)(关于标准正交基,21n的坐标列向量，因此AYAYYAYATTTTT)()

4、(,)(),(因 A=A故),(= )(,二、对称变换的基本性质1、特征根的性质Th2 实对称矩阵的特征根都是实数证明：设 A= )(ija是一个 n 阶实对称矩阵，是 A 在复数域内的任意一个特征根，nncccc21是 A 的属于特征根的特征向量，于是有，为了证且A0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 记nijcccaA21,),(A)(Rnu，AAA，在故两端取共轭转置，由复数共轭的性质及AA得AAAAATTTT

5、TTT)()(),()()(),(2121nTTnCCCACCC所A),(21nCCCnccc21=),(21nCCCnccc21又因为A即 Anccc21=nccc21所以11221212(,) =(,)nnnnccccC CCAC CCcc1212(,)nnccC CCc11221212(,)(,)nnnnccccC CCC CCcc即)()(1111nnnncccccccc100,nkkkc c因从而由消去律得，即为实数对称变换的特征多项式在C 内的根都是实根2、特征向量的性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6、 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - Th3：n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根向量彼此正交。证： 设是 n 维欧氏空间欧氏空间V 的一个对称变换，,是 V 的特征向量。则)(,)(则有),(,=,)(,因为0，所以三、主要结果1、主要定理Th4：设是 n 维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个标准基，使得关于这个基的矩阵是对角形式。证明：对 n 用数学家归纳法，n =1 时是明显的，因为关于任意单位向量的矩阵都是对角形式。设 n 1，并且假设对于n-1 维欧氏空间的对称变换来说定理成立，现在设n 维欧氏空间V的

7、一个对称变换，有特征根，令l是的一个特征根，1是V中属于l的一个特征向量，并且可设1是单位向量：111(),1l令)(1LW，W在之下不变WWVW也在之下不变，事实上，设W，对于任意W我们有( ),( )0所以( )W，在W上的限制W|是W的一个对称变换， 并且W|的特征根都是的特征根，因1dimnW。2、求使TUAU为对角形正交矩阵U 的步骤 . Th5：设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，那么存在一个n 阶正交矩阵U，使得TUAU是一个对角形。按下列步骤求出使TUAU（ A 是实对称矩阵）为对角形的正交矩阵U，（1）求实对称矩阵A 的全部特征根。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

8、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - （2）对每个不同和特征根l，求出齐次线性方程解（lIA）X=0的基础解系，并将其正交化、单位化，得到A 的属于特征根l的一组两两正交的单位特征向量。（3）以这些单位特征向量为列作成一个矩阵U，则 U 就是要求的正交阵，以U 的列为坐标写出对应的向量，它是的特征向量组成的标准正交基。例 3：设 A=0111101111011110求正交矩阵U，使TUAU为对角形矩阵。解：因为A 的特征多项式为3( )(1) (3)AfxxIAx

9、x，故 A 的特征根为1（三重）和 -3（单根）。当l=1 时， （1IA）X=0的基础解系为：1113TU AU把它正交化得：11(1 ,1,0,0)21221113132332112211(,1,0),22,1 1 1(,1),3 3 3再位化，得12311112（，0，0）（，0）226661112（-，）12121212当3时， （-3I-A ）0的基础解系为4（1，-1 ，-1 ，1）单位化得4111 1（，-，-，）222 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 以1234，为列作矩阵111122612111122612211026123100212U，则 U 是正交矩阵。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -