高考真题数学分项详解-专题24-空间向量与空间角的计算（解析版）.pdf

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1、专题专题 2424 空间向量与空间角的计算空间向量与空间角的计算年份年份题号题号考点考点考查内容考查内容2011理 18二面角的计算线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力2012理 19二面角的计算线面平行、线线垂直、线面垂直的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力卷2来源:学。科。网 Z。X。X。K来源:学科网 ZXXK理18来源:Z,xx,k.Com二面角的计算来源:学.科.网 Z.X.X.K线面平行的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力2013来源:Z,xx,k.Com来源:学_

2、科_网来源:学科网 ZXXK卷 1理 18空间线面角的计算空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，空间想象能力、逻辑推论证能力卷 2理 18二面角的计算线面平行的判定、二面角的计算、锥体的体积计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力卷 2理 11空间异面直线所成角的计算异面直线所成的角，空间想象能力和运算求解能力2014卷 1理 19二面角的计算空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、二面角的计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力2015卷 1理 18空间异面直线所成角的计算主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算异面直线所成角，逻辑推理能力与运算

3、求解能力卷 3理 19空间线面角的计算线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力和运算求解能力2016卷 2理 19解答题中的折叠问题与探索性问题二面角的计算折叠问题中线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力和运算求解能力卷 1理 18二面角的计算主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷 1理 11文 11空间异面直线所成角的计算面面平行的性质及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力卷 3理 16空间异面直线所成角的计算空间点、线、面位置关系及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力卷 3理 19二面角的计算主要以三

4、棱锥为载体面面垂直的判定与性质、简单几何体体积的计算、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷 2理 18二面角的计算空间线面角的计算主要以三棱锥为载体线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷 2理 10空间异面直线所成角的计算空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力2017卷 1理 18二面角的计算空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷 3文 19解答题中的折叠问题与探索性问题空间面面垂直的判定与性质、是否存在点是线面平行的问题，逻辑推理能力与空间想象能力卷 2文 9空间异面直线所成角的计算

5、空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力卷 1文 10空间线面角的计算长方体中线面角的计算与长方体体积计算，运算求解能力卷 3理 19二面角的计算空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角与空间几何体体积的最大值，逻辑推理能力与运算求解能力2018卷 2理 20空间线面角的计算主要以三棱锥为载体线面垂直的判定与性质、利用空间向二面角的计算量计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷 2理 9空间异面直线所成角的计算空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力卷 1理 18解答题中的折叠问题与探索性问题空间线面角的计算折叠问题中空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算线

6、面角及逻辑推理能力与运算求解能力卷 3理 19解答题中的折叠问题与探索性问题二面角的计算折叠问题中的共面问题的判定、空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角及逻辑推理能力与运算求解能力卷 2理 17二面角的计算空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力2019卷 1理 18二面角的计算空间线面平行的判定及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力理 16空间角的计算空间角的计算，利用余弦定理解三角形卷 1理 18二面角的计算空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力、运算求解能力卷 2理 20空间位置关系判定、空间角

7、的计算间线面平行与垂直的证明，线面角的计算2020卷 3理 19二面角、点与平面位置关系点在平面的证明，利用空间向量法求二面角大数据分析大数据分析* *预测高考预测高考考点考点出现频率出现频率20212021 年预测年预测考点 82 空间异面直线所成角的计算7/28考点 83 空间线面角的计算7/28考点 84 二面角的计算14/28考点 85 解答题中的折叠问题与探索性问题4/282021 高考仍将重点考查异面直线角、线面角、二面角，解答题第一小题重点考查线线、线面、面面垂直的判定与性质，理科第二小题重点考查利用向量计算线面角或二面角，难度为中档题，小题可能考查异面直线角，难度为中档十年试题

8、分类十年试题分类* *探求规律探求规律考点考点 8282 空间异面直线所成角的计算空间异面直线所成角的计算1 （2018新课标，理 9）在长方体中，则异面直线与1111ABCDABC D1ABBC13AA 1AD所成角的余弦值为 1DB()ABCD15565522【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在长方体DDAxDCy1DDz中，1111ABCDABC D，0，0，0，1，1ABBC13AA (1A0)1(0D3)(0D0)1(1B3)1( 1AD ，0，1，设异面直线与所成角为，则，3)1(1DB 3)1AD1DB1111|25cos5| |2 5AD DBA

9、DDB 异面直线与所成角的余弦值为，故选1AD1DB55C2 （2018新课标，文 9）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成1111ABCDABC DE1CCAECD角的正切值为 ()ABCD22325272【答案】C【解析】连接 BE，因为 AB/CD，所以EAB 是异面直线与所成角，设正方体棱长为 2，则AECDAB=BC=2CE=2，在 RtBCE 中，在中，5122222CEBCBEABERt，异面直线与所成角的正切值为，故选25tanABBEEABAECD52C3. （2017新课标，理 10）已知直三棱柱中，则111ABCABC120ABC2AB 11BCCC异面直线与所成角的

10、余弦值为 1AB1BC()ABCD3215510533【答案】C【解析】如图所示，设、分别为，和的中点，则、夹角为和夹角MNPAB1BB11BC1AB1BCMNNP或其补角（因异面直线所成角为，可知，(0,)211522MNAB，作中点，则为直角三角形，在中，由余11222NPBCBCQPQM1PQ 12MQACABC弦定理得，2222cosACABBCAB BCABC14122 1 ()2 7，在中，在中，由余弦定理得7AC72MQMQP22112MPMQPQPMN，又异面直线所成角的范围是，2222225211()()()10222cos2552222MNNPPMMNPMN NP (02与

11、所成角的余弦值为1AB1BC1054 （2016新课标，理 11 文 11）平面过正方体的顶点，平面，平1111ABCDABC DA/ /11CB D面，平面，则、所成角的正弦值为 ABCDm11ABB Anmn()ABCD32223313【答案】A【解析】如图：平面，平面，平面，可知：，/ /11CB DABCDm11ABABn1/ /nCD，是正三角形、所成角就是，则、所成角的正弦值为，故11/ /mB D11CB Dmn1160CD Bmn32选A5 （2014 新课标，理 11）直三棱柱 ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1

12、，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（）ABCD11025301022【答案】C【解析】如图所示，取的中点，连结、，分别是，的中点，BCPNPAPMN11AB11AC四边形为平行四边形，所求角的余弦值等于的余弦值，不妨NMBPBMPNANP令，则，12BCCACC5ANAP6NPMB，故选 C222222|( 5)( 6)( 5)30cos2 | |10256ANNPAPANPANNP6 （2020 全国理 16）如图，在三棱锥的平面展开图中，PABC，则_1,3 ,30ACABADABACABADCAEcosFCB【答案】14【思路导引】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算

13、出、，可ACECECFBCBD得出，然后在中利用余弦定理可求得的值BFBCFcosFCB【解析】，由勾股定理得，ABAC3AB 1AC 222BCABAC同理得，在中，6BD 6BFBDACE1AC 3AEAD30CAE由余弦定理得，22232cos301 32 1312CEACAEAC AE 1CFCE在中，BCF2BC 6BF 1CF 由余弦定理得，故答案为：2221461cos22 1 24CFBCBFFCBCF BC 147 （2017新课标，理 16），为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所abABCAC在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：abABAC

14、当直线与成角时，与成角；ABa60ABb30当直线与成角时，与成角；ABa60ABb60直线与所成角的最小值为；ABa45直线与所成角的最小值为；ABa60其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】由题意知，、三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为abAC1，故，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆| 1AC |2AB ABACABC心，1 为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，CCDxCByCAz(1D0，0，直线的方向单位向量，1，直线的方向单位向量，0，0)(0A1)a(0a 0)| 1a b(1b ，

15、设点在运动过程中的坐标中的坐标，其中为与的夹角，0)| 1b B(cosBsin0)B CCD，在运动过程中的向量，设与所成夹角02 )AB(cosAB sin1)|2AB ABa为，则，02|( cos , sin ,1) (0,1,0)|2cos|sin| 02| |aAB22，正确，错误设与所成夹角为，42ABb02，当与夹角为时，即，|( cos ,sin ,1) (1,0,0)|2cos|cos|2| | |AB bABbbAB ABa603，2|sin|2cos2cos3222cossin121cos|cos|22023，此时与的夹角为，正确，错误ABb608 （2015 浙江）如

16、图，三棱锥中，点分别ABCD3ABACBDCD2ADBC,M N是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是,AD BC,AN CM【答案】78【解析】如图连接，取的中点，连接，则NDNDE,ME CE/ /MEAN则异面直线，所成的角为，由题意可知，ANCMEMC1CN 2 2AN 又，2ME 2 2CM 2 2DN 2NE 3CE 则2228237cos282 2 22CMEMCECMECMEM9 （2015 四川）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段ABCDADPQM上，分别为的中点设异面直线与所成的角为，则的最大值为PQ,E F,AB BCEMAFcos_【答案】25

17、【解析】为轴，为轴，为轴建立坐标系，设正方形边长为ABxADyAQz2令，22cos,55mm22( )(0,2 )525mf mmm222(2) 105252 525( )525mmmmfmm，即0,2 ,( )0mfmmax2( )(0)5f mfmax2cos510 （2015新课标，理 18）如图，四边形为菱形，是平面同一侧的ABCD120ABCEFABCD两点，平面，平面，BE ABCDDF ABCD2BEDFAEEC（）证明：平面平面AEC AFC（）求直线与直线所成角的余弦值AECF【解析】 （）连接，设，连接、，在菱形中，不妨设，BDBDACGEGEFFGABCD1BG 由，1

18、20ABC可得，3AGGC平面，BE ABCD2ABBC可知，又，AEECAEEC所以，且，3EG EGAC在直角中，可得，故，EBG2BE 22DF 在直角三角形中，可得，FDG62FG 在直角梯形中，由，可得，BDFE2BD 2BE 22FD 2223 22( 2)22EF 从而，则，222EGFGEFEGFG（或由，2tantan212EB FDEGBFGDBG DG可得，则90EGBFGD )EGFG，可得平面，ACFGGEG AFC由平面，所以平面平面；EG AECAEC AFC（）如图，以为坐标原点，分别以，为轴，轴，为单位长度，GGBGCxy|GB建立空间直角坐标系，由（）可得，

19、0，Gxyz(0A30)(1E2)，0，( 1F 2)2(0C30)即有，(1AE 32)( 1CF 32)2故，cosAE 13133| |962AE CFCFAECF 则有直线与直线所成角的余弦值为AECF33考点考点 8383 空间线面角的计算空间线面角的计算1（2020 山东 4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球（球心记为） ，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点OAOA处的水平面是指过点且与垂直的平面在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点AAOAA处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（）A4

20、0AABCD20405090【答案】B【思路导引】画出截面图，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角AA【解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线； 是点处的水平面的截线，依题意CDlA可知；是晷针所在直线是晷面的截线，依题意可知、OAlABm/m CDABm由于，所以，40 ,/AOCm CD40OAGAOC 由于，90OAGGAEBAEGAE 所以，也即晷针与点处的水平面所成角为，故选：B40BAEOAG A40BAE2 （2018新课标，文 10）在长方体中，与平面所成的角为1111ABCDABC D2ABBC1AC11BBC C，则该长方体的体积为 30()A8BC

21、D6 28 28 3【答案】C【解析】长方体中，与平面所成的角为，1111ABCDABC D2ABBC1AC11BBC C30即，可得，可得，所以该长方体的体积为：130AC B12 3tan30ABBC 221(2 3)22 2BB ，故选222 28 2 C3 （2014 浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的ABCAA距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观ABPCMPA察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角） 若，PAPABC15ABm25ACm则的最大值30BCMtanMCABPABCD30530104 395 3

22、9【答案】D【解析】作，垂足为，设，则，由余弦定理，PHBCHPHx3CHx2625340 3AHx，211tantan(0)62540 33PHPAHAHxxx故当时，取得最大值，最大值为，故选 D14 3125xtan5 394 （2014 四川）如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，1111ABCDABC DOBDP1CC直线与平面所成的角为，则的取值范围是OP1ABDsinOA1ABB1CC1D1DABCD3,136,136 2 2,332 2,13【答案】B【解析】直线与平面所成的角为的取值范围是，由于OP1ABD1112AOAC OA ，所以的取值范围是16sin3AOA1

23、1632 26sin23333C OAsin12sin6,135（2020 全国理 20）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，111ABCABC11BBC C分别为的中点，为上一点过和的平面交于，交于,MN11,BC BCPAM11BCPABEACF（1）证明：/，且平面平面；1AAMN1A AMN 11EBC F（2）设为的中心，若，且，求直线与平面所成角的正O111CBAFCEBAO11平面ABAO EB1AMNA1弦值【答案】 （1）证明见解析；（2）1010【思路导引】（1）由分别为，的中点，根据条件可得，可证，要证平,M NBC11BC1/MN CC11/ /AABB1MN

24、 AA/面平面，只需证明平面即可；11EBC F1A AMNEF 1A AMN（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，NPONPAEP11BC1BQEP由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案BC1A AMNQPN1B E1A AMN【解析】（1）分别为，的中点，,M NBC11BC1/MN BB又11/ /AABB1/MN AA在中，为中点，则ABCMBCBCAM又侧面为矩形，11BBC C1BCBB1/MN BBMNBC由，平面MNAMM,MN AM 1A AMN平面BC1A AMN又，且平面，平面，11/BCBC11BC ABCBC ABC平面11/BCAB

25、C又平面，且平面平面11BC 11EBC F11EBC F ABCEF11/ /BCEF/EF BC又平面BC 1A AMN平面EF 1A AMN平面EF 11EBC F平面平面11EBC F1A AMN（2）连接NP平面，平面平面，/AO11EBC FAONP11EBC FNP/AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面，1A NMAABCAM1A NMA1111ABCAN，/ON AP故：四边形是平行四边形ONPA设边长是()，可得：，ABC6m0m ONAP6NPAOABm为的中心，且边长为，故：O111A BC111A BC6m16 sin6033ONm 3ONAPm，解得：，

26、/EF BCAPEPAMBM333 3EPEPm在截取，故，且，四边形是平行四边形，11BC1BQEPm2QNm1BQEP1/BQ EP1BQPE1/B E PQ由（1）平面，故为与平面所成角11BC 1A AMNQPN1B E1A AMN在，根据勾股定理可得：，RtQPN2222262 10PQQNPNmmm，直线与平面所成角的正弦值：210sin102 10QNmQPNPQm1B E1A AMN10106 （2018新课标，理 20）如图，在三棱锥中，PABC2 2ABBC4PAPBPCAC为的中点OAC（1）证明：平面；PO ABC（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值MB

27、CMPAC30PCPAM【解析】 （1）证明：连接，BO，是的中点，2 2ABBCOAC，且，BOAC2BO 又，4PAPCPBAC，POAC2 3PO 则，222PBPOBO则，POOB，OBACO平面；POABC（2）建立以坐标原点，分别为，轴的空间直角坐标系如图：OOBOCOPxyz，0，2，0，(0A20)(0P2 3)(0C0)(2B0)，2，( 2BC 0)设，( 2BMBC 20)01则，( 2AMBMBA 20)( 2 20)(22220)则平面的法向量为，0，PAC(1m 0)设平面的法向量为，MPA(nxy) z则，(0PA 22 3)则，22 30n PAyz (22 )

28、(22)0n AMxy 令，则，1z 3y (1) 31x即，(1) 3(1n31)二面角为，MPAC30，3cos30|2m nm n 即，2(1) 33121(3)13 11 解得或（舍 ，133)则平面的法向量，MPA(2 3n 31)，2，(0PC 2 3)与平面所成角的正弦值，PCPAMsin|cosPC 2 32 34 33| |1641616n7 （2016新课标，理 19）如图，四棱锥中，底面，PABCDPA ABCD/ /ADBC，为线段上一点，为的中点3ABADAC4PABCMAD2AMMDNPC（1）证明：平面；/ /MNPAB（2）求直线与平面所成角的正弦值ANPMN【

29、解析】 （1）证明：法一、如图，取中点，连接，PBGAGNG为的中点，NPC，且，/ /NGBC12NGBC又，且，223AMAD4BC / /ADBC，且，/ /AMBC12AMBC则，且，/ /NGAMNGAM四边形为平行四边形，则，AMNG/ /NMAG平面，平面，AG PABNM PAB平面；/ /MNPAB法二、在中，过作，垂足为，连接，PACNNEACEME在中，由已知，得，ABC3ABAC4BC 2224332cos2433ACB ，/ /ADBC，则，2cos3EAM5sin3EAM在中，EAM，223AMAD1322AEAC由余弦定理得：，2293232cos4224232E

30、MAEAMAE AMEAM ，2233( )( )4122cos339222AEM而在中，ABC2223341cos23 39BAC ，即，coscosAEMBACAEMBAC ，则平面/ /ABEM/ /EMPAB由底面，得，又，PA ABCDPAACNEAC，则平面/ /NEPA/ /NEPAB，NEEME平面平面，则平面；/ /NEMPAB/ /MNPAB（2）解：在中，由，得AMC2AM 3AC 2cos3MAC22222cos9423253CMACAMAC AMMAC ，则，222AMMCACAMMC底面，平面，PA ABCDPAPAD平面平面，且平面平面，ABCD PADABCDP

31、ADAD平面，则平面平面CMPADPNM PAD在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角PADAAFPMPMFNFANFANPMN在中，由是的中点，得，Rt PACNPC22115222ANPCPAPC在中，由，得，Rt PAMPA AMPM AF22424 5542PA AMAFPM4 58 55sin5252AFANFAN直线与平面所成角的正弦值为ANPMN8 5258 （2013 新课标，理 18）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明 ABA1C；（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1

32、C1C 所成角的正弦值【解析】 （）取AB中点E，连结CE，1AB1AEAB=，=，是正三角形，1AA1BAA0601BAAAB，CA=CB，CEAB，=E，AB面，1AE1CEAE1CEAAB；6分1AC（）由（）知 ECAB，AB，1EA又面 ABC面，面 ABC面=AB，EC面，EC，11ABB A11ABB A11ABB A1EAEA，EC，两两相互垂直，以 E 为坐标原点，的方向为轴正方向，|为单位长度，建立如图所1EAEA xEA 示空间直角坐标系，Oxyz有题设知 A(1，0，0)，(0，0)，C(0，0，)，B(1，0，0)，则=（1，0，），=1A33BC 31BB=(1，0

33、，)，=(0，)，9 分1AA31AC33设=是平面的法向量，n( , , )x y z11CBBC则，即，可取=（，1，-1），100BCBB nn3030 xzxyn3=，1cos, ACn11|ACACn|n|105直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为12 分1059 （2018 浙江）如图，已知多面体，均垂直于平面，111ABCABC1A A1B B1C CABC，120ABC14A A 11C C 12ABBCB BC1B1A1CBA(1)证明：平面；1AB111ABC(2)求直线与平面所成的角的正弦值1AC1ABB【解析】(1)由，得2AB 14AA 12BB 1A

34、AAB1BBAB，1112 2ABAB所以2221111ABABAA故111ABAB由，得，2BC 12BB 11CC 1BBBC1CCBC115BC 由，得，2ABBC120ABC2 3AC 由，得，所以，故1CCAC113AC 2221111ABBCAC111ABBC因此平面1AB111ABC(2)如图，过点作，交直线于点，连结1C111C DAB11ABDADDABCA1B1C1由平面得平面平面，1AB111ABC111ABC1ABB由得平面，111C DAB1C D1ABB所以是与平面所成的角1C AD1AC1ABB由，115BC 112 2AB 1121AC 得，1116cos7C

35、AB1111sin7C AB所以，故13C D 11139sin13C DC ADAC因此，直线与平面所成的角的正弦值是1AC1ABB3913方法二方法二(1)如图，以的中点为原点，分别以射线，为，轴的正半轴，建立空间直角坐ACOOBOCxy标系OxyzOzyxC1B1A1CBA由题意知各点坐标如下：，(0,3,0)A(1,0,0)B1(0,3,4)A1(1,0,2)B1(0, 3,1)C因此，1(1, 3,2)AB 11(1, 3, 2)AB 11(0,2 3, 3)AC 由得1110ABAB 111ABAB由得1110ABAC 111ABAC所以平面1AB111ABC(2)设直线与平面所成

36、的角为1AC1ABB由(1)可知，1(0,2 3,1)AC (1, 3,0)AB 1(0,0,2)BB 设平面的法向量1ABB= ()x,y,zn由，即，可取100ABBB nn3020 xyz(3,1,0) n所以111|39sin|cos,|13| |ACACAC nnn因此，直线与平面所成的角的正弦值是1AC1ABB391310 （2017 浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，PABCDPADAD，为的中点BCADCDAD22PCADDCCBEPD（）证明：平面；CEPAB（）求直线与平面所成角的正弦值CEPBCEDCBAP【解析】 （）如图，设PA中点为F，连结EF，F

37、BFHMNQEDCBAP因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且，12EFAD又因为BCAD，所以12BCADEFBC且EF=BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF，因此CE平面PAB（）分别取BC，AD的中点为M，N连结PN交EF于点Q，连结MQ因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQCE由为等腰直角三角形得PADPNAD由DCAD，N是AD的中点得BNAD所以AD平面PBN，由BCAD得BC平面PBN，那么，平面PBC平面PBN过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MHMH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面P

38、BC所成的角设CD=1在中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，PCD22在PBN中，由PN=BN=1，PB=得，314QH 在中，MQ=，Rt MQH14QH 2所以，2sin8QMH所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是2811 （2014 天津）如图四棱锥的底面是平行四边形，PABCDABCD2BABD，分别是棱，的中点2AD 5PAPDEFADPC（）证明：平面；EFPAB（）若二面角为60，PADB（）证明：平面平面PBCABCD（）求直线与平面所成角的正弦值EFPBCPCDABEF【解析】 （）证明：如图取 PB 中点 M，连接 MF，AM因为 F 为 PC 中点，故 MF/

39、BC 且 MF=BC由已知有 BC/AD，BC=AD又由于 E 为 AD 中点，12因而 MF/AE 且 MF=AE，故四边形 AMFE 为平行四边形，所以 EF/AM，又 AM平面 PAB，而 EF平面 PAB，所以 EF/平面 PAB（） （i）证明：连接 PE，BE因为 PA=PD，BA=BD，而 E 为 AD 中点，故 PEAD，BEAD，所以PEB 为二面角 P-AD-B 的平面角在三角形 PAD 中，由，可解得 PE=22,5ADPAPD在三角形 ABD 中，由，可解得 BE=12BABD在三角形 PEB 中，PE=2，BE=1，60PEB由余弦定理，可解得 PB=，从而，即 BE

40、PB，390PBE又 BC/AD，BEAD，从而 BEBC，因此 BE平面 PBC又 BE平面 ABCD，所以平面 PBC平面 ABCD（ii）连接 BF，由（i）知 BE平面 PBC所以EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角，由 PB=，PA=，AB=得ABP 为直角，而 MB=PB=，可得 AM=，3521232112故 EF=，又 BE=1，故在直角三角形 EBF 中，1122 11sin.11BEEFBEF所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为2 111112 （2013 浙江）如图，在四棱锥中，面，PABCDPAABCD2ABBC，为线段上的点7ADCD3PA 12

41、0ABCGPCPCDABG（）证明：面；BDAPC（）若是的中点，求与所成的角的正切值；GPCDGAPC（）若满足面，求的值GPCBGDPGGC【解析】 （）设点O为AC，BD的交点，由ABBC，ADCD，得BD是线段AC的中垂线所以O为AC的中点，BDAC又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD所以BD平面APC（）连结OG由(1)可知OD平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以OGD是DG与平面APC所成的角由题意得OGPA1232在ABC中，AC，222cosABBCAB BCABC2 3所以OCAC123在直角OCD中，OD222CDOC在直角OGD中，tanO

42、GD4 33ODOG所以DG与平面APC所成的角的正切值为4 33（）连结OG因为PC平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG在直角PAC中，得PC15所以GC2 155AC OCPC从而PG，3 155所以32PGGC13 （2019 浙江 19）如图，已知三棱柱111ABCABC，平面11A ACC 平面ABC，90ABC，1130 ,BACA AACAC E F分别是AC，A1B1的中点（1）证明：EFBC；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值【解析】方法一：（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，

43、平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F所以BC平面A1EF因此EFBC（）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=23，EG=3由于O为A1G的中点，故11522AGEOOG，所以2223cos25EOOGEGEOGEO

44、OG因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35方法二：（）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz不妨设AC=4，则A1（0，0，23），B（3，1，0），1( 3,3,2 3)B，3 3(,2 3)22F，C(0，2，0)因此，3 3(,2 3)22EF ，(3,1,0)BC 由0EF BC 得EFBC（）设直线EF与平面A1BC所成角为，由（）可得(3,1,0)BC

45、，1(0,2, 2 3)AC ，设平面A1BC的法向量为( , , )x y zn，由100BCAC nn，得3030 xyyz，取(1, 3,1)n，故4sincos,5EFEFEF nnn因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为3514(2018 天津)如图，且，且，且ADBC2ADBCADCDEGADEGADCDFG，平面，2CDFGDGABCD2DADCDG(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；MCFNEGMNCDE(2)求二面角的正弦值；EBCF(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长PDGBPADGE60DPNABCDEFGM【解析】依题意，可以建立以为原点，分别

46、以，的方向为轴，轴，轴的正方向的DDA DCDGxyz空间直角坐标系（如图），可得，(0,0,0)D(2,0,0)A(1,2,0)B(0,2,0)C(2,0,2)E(0,1,2)F，(0,0,2)G3(0,1)2M(1,0,2)NzyxMGFEDCBAN(1)证明：依题意，设为平面的法向量，则(0,2,0)DC (2,0,2)DE 0( , , )x y znCDE即不妨令，可得0000DCDE，nn20220yxz，1z 0(1,0, 1)n又，可得，3(1,1)2MN 00MN n又因为直线平面，所以平面MNCDEMNCDE(2)依题意，可得，( 1,0,0)BC (12 2)BE ，(0

47、, 1,2)CF 设为平面的法向量，则即( , , )x y znBCE00BCBE ，nn0220 xxyz ，不妨令，可得1z (0,1,1)n设为平面的法向量，则即( , , )x y zmBCF00BCBF ，mm020 xyz ，不妨令，可得1z (0,2,1)m因此有，于是3 10cos,|10m nm nmn10sin,10m n所以，二面角的正弦值为EBCF1010(3)设线段的长为()，则点的坐标为，可得DPh0.2hP(0,0, )h( 12)BPh ，易知，为平面的一个法向量，故(0,2,0)DC ADGE，22cos5BP DCBP DCBP DCh 由题意，可得，解得

48、223sin6025h30,23h 所以线段的长为DP3315 （2018 江苏）如图，在正三棱柱中，点，分别为，的中111ABCABC12ABAAPQ11ABBC点ABCQPA1C1B1(1)求异面直线与所成角的余弦值；BP1AC(2)求直线与平面所成角的正弦值1CC1AQC【解析】如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，则，111ABCABCAC11ACO1OOBOC，以为基底，建立空间直角坐标系1OOOC1OOOB1,OB OC OO Oxyz因为，12ABAA所以1110, 1,0 ,3,0,0 ,0,1,0 ,0, 1,()()()()(2 ,3,0,2 ,0,1,2)()ABCABC

49、O1OzyxABCQPA1C1B1(1)因为为的中点，所以，P11AB31(,2)22P从而，131(,2)(0,2,222),BPAC 故111| 14|3 10|cos,|20| |52 2BP ACBP ACBPAC 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为3 1020(2)因为Q为BC的中点，所以，3 1(,0)22Q因此，3 3(,0)22AQ 11(0,2,2),(0,0,2)ACCC 设n n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，则即10,0,AQAC nn330,22220.xyyz不妨取，设直线CC1与平面AQC1所成角为，( 3, 1,1)n则，所以直线CC1与平面

50、AQC1所成角的正弦值为111|25sin|cos|,| |552CCCCCC| nnn5516 （2017 天津）如图，在三棱锥中，底面，点，分别PABCPAABC90BACDEN为棱，的中点，是线段的中点，PAPCBCMAD4PAAC2AB （）求证：平面；MNBDE（）求二面角的正弦值；CEMN（）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长HPANHBE721AH【解析】如图，以为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标AAB ACAP 系依题意可得，(0,0,0)A(2,0,0)B(0,4,0)C(0,0,4)(0,0,2)D(0,2,2)E(0,0,1)