高考真题数学分项详解-专题08-导数在研究函数图像与性质中的综合应用（解析版）.pdf

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1、专题专题 0808 导数在研究函数图像与性质中的综合应用导数在研究函数图像与性质中的综合应用年份年份题号题号考点考点考查内容考查内容理 10导数与函数的单调性函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性，图像识别理 21导数与函数的最值函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的的最值，分类整合思想2012文 13导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线卷 1来源:学_科_网 Z_X_X_K理 16导数与函数的最值来源:学科网来源:学科网 ZXXK函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数求函数最值来

2、源:学科网 ZXXK卷 2理 10文 11导数与函数的极值常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性、极值、对称性卷 1文 9导数与函数的极值三角函数函数的图像与性质及利用导数研究初等函数的图像与性质卷 1文 21导数与函数的单调性导数与函数的极值利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，运算求解能力及应用意识2013卷 2文 21导数与函数的极值常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的极值、研究函数的切线问题及取值范围问题，分类整合思想卷 2文 11导数与函数的单调性已知函数单调性求参数范围卷 2理 8导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算法

3、则及利用导数的几何意义求曲线的切线2014卷 2理 21导数与函数的单调性本题利用到研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题及利用函数进行近似计算卷 1文 15导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线2015卷 2文 16导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的几何意义求曲线的切线、直线与二次函数的位置关系卷 1理 7文 9导数与函数的单调性利用导数判断函数的单调性、函数图像识别卷 1文 12导数与函数的单调性常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数解函数单调性问题卷 2理 16导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几

4、何意义求曲线的切线卷 2理 21导数与函数的最值常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、利用导数求最值与值域卷 3理 15导数的几何意义函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线卷 3理 21导数与函数的最值常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、利用导数求最值与值域2016卷 3文 16导数的几何意义函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线2017卷 2理 11导数与函数的极值函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算及利用导数研究函数的极值卷 1理 5文 6导数的几何意义函数的奇偶性、常见函数的导数

5、、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线2018卷 2理 13导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线卷 2文 3导数与函数的单调性利用导数判断函数的单调性、函数图像识别卷 2文 13导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线卷 3理 7文 9导数与函数的单调性利用导数判断函数的单调性、函数图像识别卷 3理 14导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线卷 1理 13文 13导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线卷 3理 6文 7导数的几何意义常见函数的导数、导数的

6、运算及利用导数的几何意义求曲线的切线卷 2文 10导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线2019卷 3文 20导数与函数的最值常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用导数求最值及分类整合思想理 6导数的几何意义利用导数的几何意义求曲线的切线卷 1文 15导数的几何意义利用导数的几何意义求曲线的切线理 10导数的几何意义导数的几何意义的应用，直线与圆的位置关系2020卷 3文 15导数的几何意义常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线大数据分析大数据分析* *预测高考预测高考考点考点出现频率出现频率20212021 年预测

7、年预测导数的几何意义16/32导数与函数的单调性7/32导数与函数的极值5/32导数与函数的最值5/322021 年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题十年试题分类十年试题分类* *探求规律探求规律考点考点 2626 导数的几何意义与常见函数的导数导数的几何意义与常见函数的导数1 （2020 全国理 6）函数的图像在点处的切线方程为（） 432f xxx 1,1fABCD21yx 21yx 23yx21yx【答案】B【思路导引】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式

8、方 yf x fx 1f 1f 程，化简即可【解析】，因此，所求切线的方 432f xxx 3246fxxx 11f 12f 程为，即，故选 B121yx 21yx 2（2020 全国理 10）若直线 与曲线和圆相切，则 的方程为（）lyx2215xylABCD21yx122yx112yx1122yx【答案】D【思路导引】可以根据圆的切线性质，结合排除法得出正确答案；也可以根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案l【解析】解法一：由与圆相切，故圆心0,0到直线的距离为圆半径55r ，符合条件的只有 A，D，将答案 A 的直线方程带入yx，得：210 xx ，无解；

9、将答案 AD 的直线方程带入yx，得：210 xx ，有一解1x 故选 D解法二：设直线 在曲线上的切点为，则，lyx00,xx00 x 函数的导数为，则直线 的斜率，yx12yx l012kx设直线 的方程为，即，l00012yxxxx0020 xx yx由于直线 与圆相切，则，l2215xy001145xx两边平方并整理得，解得，（舍） ，2005410 xx 01x 015x 则直线 的方程为，即，故选 Dl210 xy 1122yx3 （2019 全国理 6）已知曲线在点处的切线方程为y=2x+b，则elnxyaxx1ea（，）ABa=e，b=1e1ab ，CD，1e1ab，1ea1b

10、 【答案】D【解析】的导数为，又函数在点处的切线方程为elnxyax xeln1xyaxelnxyax x(1, e)a，可得，解得，又切点为，可得，即，故选 D2yxbe0 12a 1ea(1,1)12b1b 4 （2019 全国文 10）曲线y=2sinx+cosx在点(，1)处的切线方程为AB10 xy 2210 xy CD2210 xy 10 xy 【答案】C【解析】由y=2sinx+cosx，得，所以，所以曲线2cossinyxx 2cossin=-2xyy=2sinx+cosx在点处的切线方程为，即，故选 C(, 1)12()yx 2210 xy 5(2018 全国卷理 5)设函数

11、，若为奇函数，则曲线在点32( )(1)f xxaxax( )f x( )yf x处的切线方程为(0,0)ABCD2yx yx 2yxyx【答案】D【解析】因为函数为奇函数，所以，所以32( )(1)f xxaxax()( ) fxf x，所以，因为，所以，所3232()(1)()()(1) xaxaxxaxax22(1)0axRx1a以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为3( ) f xxx2( )31fxx(0)1f( )yf x(0,0)故选 Dyx6 （2014 全国卷 2 理 8） 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A0B1C2D3【

12、答案】D【解析】，且在点处的切线的斜率为 2，即，11yax (0,0)01|20 1xya3a 故选 D7(2016 年四川)设直线，分别是函数=图象上点，处的切线，与垂1l2l( )f xln ,01,ln ,1,xxx x1P2P1l2l直相交于点，且，分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是P1l2lyABPABA(0，1)B(0，2)C(0，+)D(1，+)【答案】A【解析】不妨设，由于，所以，111(,ln)P xx222(,ln)P xx12ll1211()1xx 则又切线：，121xx1l1111ln()yxxxx22221:ln()lyxxxx 于是，所以，联立，1(0,ln1

13、)Ax 1(0,1ln)Bx| 2AB 1112221ln()1ln()yxxxxyxxxx 解得，所以，因为，所以，所以的取值1121Pxxx1112212PABPSxxx 11x 1112xxPABS范围是，故选 A(0,1)8 （2016 年山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则( )yf x称具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是( )yf xABCDsinyxlnyxxye3yx【答案】A【解析】设函数的图象上两点，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切( )yf x11( ,)P x y22(,)Q xy线的斜率分别为，若函数具有 T 性质，则=

14、1对于 A 选项，11()kfx22()kfx12k k1()fx2()fx，显然=1 有无数组解，所以该函数具有 T 性质；对于 B 选项，( )cosfxx12k k12coscosxx，显然1( )(0)fxxx=1 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 C 选项，0，12k k1211xx( )xfxe显然=1 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 D 选项，0，显然=12k k12xxee2( )3fxx12k k=1 无解，故该函数不具有 T 性质故选 A221233xx9（2020 全国文 15）设函数，若，则 exf xxa e14f a 【答案】1【思路导引】由题意首先求得导

15、函数的解析式，然后得到关于实数 a 的方程，解方程即可确定实数 a 的值【解析】由函数的解析式可得：， 221xxxexaeexafxxaxa则：，据此可得：，整理可得：，解得： 12211111eaaefaa241aeea2210aa ，故答案为： 1a 110 （2020 全国文 15）曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为ln1yxx2【答案】2yx【思路导引】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，00(,)xy0|2xy0 x0y得到切线的点斜式方程，化简即可【解析】设切线的切点坐标为，001(,),ln1,1xyyxxyx00001|12,1,2x xyxy

16、x 切点坐标为，所求的切线方程为，即，故答案为：(1,2)22(1)yx2yx2yx11 （2019 全国理 13）曲线在点处的切线方程为_23()exyxx(0 )0，【答案】3yx【解析】因为，所以，所以当时，所以23exyxx（）23e31xyxx（）0 x 3y 在点处的切线斜率，又，所以切线方程为，即23exyxx（）0 0（，）3k 00y030yx3yx12 （2018 全国卷 3 理 14）曲线1 exyax在点01，处的切线的斜率为2，则a _【答案】3【解析】由题知，则，所以xeaaxy) 1(0)12fa 3a 13 （2018 全国卷 2 理 13）曲线2ln(1)yx

17、在点(0,0)处的切线方程为_【答案】2yx【解析】由题知，2201k，2yx12xy14 （2018 全国卷 2 文 13）曲线2lnyx在点(1, 0)处的切线方程为_【答案】22yx【解析】由 2lnyf xx，得 2fxx，则曲线2lnyx在点1,0处的切线的斜率为 12kf，则所求切线方程为021yx，即22yx15 （2017 全国卷 1 理 14）曲线在点（1，2）处的切线方程为_21yxx【答案】1yx【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切( )yf x21( )2fxxx(1)2 11f 21yxx(1,2)线方程为，即21 (1)yx 1yx16(2016 年全国理 16

18、)若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b 【答案】1 ln2【解析】设与和的切点分别为和ykxbln2yxln(1)yx11(,ln2)xx 22(,ln(1)xx 则切线分别为，1111ln2()yxxxx2221ln(1)()1yxxxx化简得，111ln1yxxx22221ln111xyxxxx依题意，解得，122122111ln1ln11xxxxxx 112x 从而1ln11ln2bx 17(2016 年全国理 15)已知为偶函数，当时，则曲线( )f x0 x ( )ln()3f xxx，在点处的切线方程是_( )yf x(1, 3)【答案】21yx

19、 【解析】由题意可得当时，则，则在点处的0 x ( )ln3f xxx1( )3fxx(1)2f (1, 3)切线方程为，即32(1)yx 21yx 18 （2016 年全国 III 文）已知为偶函数，当时，则曲线在点( )f x0 x1( )xf xex ( )yf x(1，2)处的切线方程式_【答案】2yx【解析】当时，则又为偶函数，所以，0 x 0 x 1()xfxex( )f x( )()xef xfxxe所以当时，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为，所以切线0 x 1( )1xfxe( )yf x(1)2f 方程为，即22(1)yx2yx19 （2015 全国 1 文 14）已知函

20、数的图像在点的处的切线过点， 31f xaxx 1,1f2,7则a 【答案】1【解析】，即切线斜率，又，切点为2( )31fxax(1)31fa31ka(1)2fa（1，） ，切线过（2，7） ，解得12a273112aaa 20 （2012 全国文 13）曲线在点（1，1）处的切线方程为_(3ln1)yxx【答案】430 xy【解析】，切线斜率为 4，则切线方程为：3ln4yx 430 xy21 （2015 卷 2 文 16）已知曲线lnyxx在点 1,1处的切线与曲线221yaxax相切，则a= 来源：Z+xx+kCom【答案】8【解析】由11yx 可得曲线lnyxx在点 1,1处的切线斜

21、率为 2，故切线方程为21yx，与221yaxax联立得220axax，显然0a ，所以由2808aaa 22 （2015 陕西）设曲线在点（0，1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的xye1(0)yxxPP坐标为 【解析】(1,1)【解析】因为xye，所以xye ，所以曲线xye在点0,1处的切线的斜率0101xkye，设的坐标为00,xy（00 x ） ，则001yx，因为1yx，所以21yx ，所以曲线1yx在点处的P切线的斜率02201x xkyx ，因为121kk ，所以2011x ，即201x ，解得01x ，因为00 x ，所以01x ，所以01y ，即的坐标是 1,1，所以答

22、案应填： 1,1P23 （2014 广东）曲线25 xey在点)3 , 0(处的切线方程为 【答案】53yx 【解析】，在点处的切线的斜率为，所以切线方程为，即55xye (0,3)535(0)yx 53yx 24 （2014江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy2(a，b为常数)过点)5, 2( P，且该曲线在点P处的切线与直线0327yx平行，则ba 的值是 【答案】3【解析】由题意可得又，过点)5, 2( P的切线的斜率，由542ba 2( )2bfxaxx7442ba 解得，所以1,2ab 3ab 25 （2014 安徽）若直线 与曲线满足下列两个条件：lC直线 在点处与曲线

23、相切；曲线在附近位于直线 的两侧，则称直线 在点处)(il00, yxPC)(iiCPllP“切过”曲线下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)C直线在点处“切过”曲线：0:yl0 , 0PC3yx直线在点处“切过”曲线：1:xl0 , 1PC2) 1( xy直线在点处“切过”曲线：xyl:0 , 0PCxysin直线在点处“切过”曲线：xyl:0 , 0PCxytan直线在点处“切过”曲线：1: xyl 0 , 1PCxyln【答案】【解析】对于，所以是曲线在点处的切线，画图可知曲203,|0 xyxy:0l y 3:C yx(0,0)P线在点附近位于直线 的两侧，正确；对于，因为，所以

24、3:C yx(0,0)Pl12(1),|0 xyxy不是曲线：在点处的切线，错误；对于，在点:1l x C2) 1( xy0 , 1P0cos ,|1xyx y处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线 的两侧，正确；对0 , 0Pxyl:Cxysin0 , 0Pl于，在点处的切线为，画图可知曲线：21cosyx 021|1cos 0 xy0 , 0Pxyl:C在点附近位于直线 的两侧，正确；对于，xytan0 , 0Pl1yx 1|1xy在点处的切线为，令，可得 0 , 1P1: xyl( )1 ln (0)h xxx x ，所以，故，11( )1xh xxx min( )(1)0h xh1

25、lnxx 可知曲线：在点附近位于直线 的下侧，错误Cxyln 0 , 1Pl26 （2013 江西）若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则=1yxR(1,2)【答案】2【解析】1yx ，则k，故切线方程yx过点解得2(1,2)27(2016 年北京)设函数( )a xf xxebx，曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程为(1)4yex，（I）求a，b的值；（II）求( )f x的单调区间【解析】 （I），( )ea xf xxbx( )ee(1)ea xa xa xfxxbxb曲线在点处的切线方程为( )yf x(2,(2)f(e1)4yx，(2)2(e1)4f(2)e1f 即2(

26、2)2e22(e1)4afb2(2)(12)ee1afb由解得：，2a eb （II）由（I）可知：，2( )eexf xxx2( )(1)eexfxx令，2( )(1)exg xx222( )e(1)e(2)exxxg xxx x,222,( )g x0( )g x极小值的最小值是( )g x2 2(2)(12)e1g 的最小值为( )fx(2)(2)ee10fg 即对恒成立( )0fxx R在上单调递增，无减区间( )f x, 28(2018 天津)已知函数，其中( )xf xa( )logag xx1a (1)求函数的单调区间；( )( )lnh xf xxa(2)若曲线在点处的切线与曲

27、线在点处的切线平行，证明( )yf x11( ,()xf x( )yg x22(, ()xg x；122lnln()lnaxg xa (3)证明当时，存在直线 ，使 是曲线的切线，也是曲线的切线1eeall( )yf x( )yg x【解析】(1)由已知，有( )lnxh xaxa( )lnlnxh xaaa令，解得( )0h x0 x 由，可知当变化时，的变化情况如下表：1a x( )h x( )h xx(,0)0(0,)( )h x0+( )h x极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为( )h x(,0)(0,)(2)证明：证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为由( )lnxfxaa(

28、 )yf x11( ,()xf x1lnxaa，可得曲线在点处的切线斜率为因为这两条切线平行，故有1( )lng xxa( )yg x22(, ()xg x21lnxa，即121lnlnxaaxa122(ln )1xx aa两边取以a为底的对数，得，所以21log2log ln0aaxxa122lnln()lnaxg xa (3)证明：证明：曲线在点处的切线：( )yf x11( ,)xx a1l111ln()xxyaaaxx曲线在点处的切线：( )yg x22(,log)axx2l2221log()lnayxxxxa要证明当时，存在直线 ，使 是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当1eea

29、ll( )yf x( )yg x时，存在，使得l1和l2重合1eea1(,)x 2(0,)x 即只需证明当时，方程组有解，1eea1112121lnln1lnloglnxxxaaaxaax aaxa由得，代入，得1221(ln )xxaa111112lnlnln0lnlnxxaax aaxaa因此，只需证明当时，关于的方程有实数解1eea1x设函数，12lnln( )lnlnlnxxau xaxaaxaa即要证明当时，函数存在零点1eea( )yu x，可知时，；时，单调递减，又2( )1 (ln )xu xaxa (,0)x ( )0u x(0,)x( )u x，(0)10u 21(ln )

30、21()10(ln )auaa 故存在唯一的，且，使得，即0 x00 x 0()0u x0201 (ln )0 xax a由此可得在上单调递增，在上单调递减( )u x0(,)x0(,)x 在处取得极大值( )u x0 xx0()u x因为，故，1eealn(ln )1a所以0000012lnln()lnlnlnxxau xax aaxaa02012lnln22lnln0(ln )lnlnaaxxaaa下面证明存在实数 ，使得t( )0u t 由(1)可得，1lnxaxa当时，1lnxa有12lnln( )(1ln )(1ln )lnlnau xxaxaxaa，2212lnln(ln )1ln

31、lnaaxxaa 所以存在实数 ，使得t( )0u t 因此，当时，存在，使得1eea1(,)x 1()0u x所以，当时，存在直线 ，使 是曲线的切线，也是曲线的切线1eeall( )yf x( )yg x考点考点 2727 导数与函数的单调性导数与函数的单调性1 【2018 全国卷 2 理 3】函数 2eexxf xx的图像大致为（）【答案】B【解析】0 x ， 2eexxfxf xx ， f x为奇函数，舍去 A， 11ee0f，舍去 D； 243eeee22 e2 exxxxxxxxxxfxxx，2x， 0fx，所以，舍去C，故选 B2 （2018 全国卷 3 理 7）函数422yxx

32、 的图像大致为（）【答案】D【解析】当时，可以排除 A、B 选项；又因为，则0 x 2y 322424 ()()22yxxx xx 的解集为，单调递增区间为，；的( )0fx22(,)(0,)22 U( )f x2(,)2 2(0,)2( )0fx解集为，单调递减区间为，结合图象，可知 D 选项正22(,0)(,)22U( )f x2(,0)22(,)2确3 （2016 卷 1 理 7） 函数|在2，2的图像大致为|22xexy【答案】D【解析】由题知该函数是偶函数，当时，所以，因为0 xxexxf22)(xexxf4)(，由零点存在性定理知，存在，使得，当时，04) 1 (, 1)0(eff

33、) 1 , 0(0 x0)(0 xf00 xx ，当时，所以在是减函数，在上是增函数，故选 D0)( xf10 xx0)( xf)(xf, 00 x 1 ,0 x4 （2016 全国 1 文 12）若函数1( )sin2sin3f xx-xax在, 单调递增，则a的取值范围是（A）1,1（B）11,3（C）1 1,3 3（D）11,3 【答案】C【解析】由题知，=)(xf xaxcos2cos321xaxcos) 1cos2(3212对恒成立，设，即对恒成035coscos342xaxRxxtcos03534)(2atttf 1 , 1t立，解得，故选 C031) 1 (031) 1(afaf

34、3131a5 （2014 全国卷 2，文 11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（） f xkxInx1,kABCD, 2 , 1 2,1,【答案】D【解析】，由已知得在恒成立，故，因为，所以1( )fxkx( )0fx 1,x1kx1x ，故的取值范围是，故选 D101xk1,6 （2012 全国理 10）已知函数=，则=的图像大致为( )f x1ln(1)xxy( )f x【答案】B【解析 1】定义域为（1，0）(0，+)，=( )fx2(1)(ln(1)xxxx在(1，0)是减函数，在（0，+）是增函数，结合选项，只有 B 符合，故选 B( )f x【解析 2】( )ln(1)( )

35、1xg xxxg xx ( )010,( )00( )(0)0g xxg xxg xg 7 （2014 全国卷 2 理 21）已知函数= f x2xxeex（）讨论的单调性； f x（）设，当时，求的最大值； 24g xfxbf x0 x 0g x b（）已知，估计 ln2 的近似值（精确到 0001）1.414221.4143【解析】（），当且仅当=0 时取等号，在上单调递增1( )20 xxfxeex( )f xR（）=， 24g xfxbf x224 ()(84)xxxxeeb eebx=( )g x22224 ()(84)xxxxeeb eeb2(2)(22)xxxxeeeeb 当2

36、时，0，当且仅当=0 时取等号，在上单调递增，当b( )g xx( )g x(,) 0 时，；x( )g x(0)g当2 时，若满足，即时，0，此时，bx222xxeeb20ln(12 )xbbb ( )g x在（0，）是减函数，当时，=0，( )g x2ln(12 )bbb 20ln(12 )xbbb ( )g x(0)g综上所述，的最大值为 2b（）由（）知，=，(ln2)g32 22(21)ln22bb当=2 时，=0，解得06928b(ln2)g34 26ln22ln28 2312当=时，=，b3 2142ln(12 )bbb ln2=0，06934，的近似值为 0693(ln2)g3

37、2 2(3 22)ln22ln218228ln28 （2014 山东）设函数，其中为常数1( )ln1xf xaxxa（）若，求曲线在点处的切线方程；0a ( )yf x(1,(1)f（）讨论函数的单调性( )f x【解析】 （）由题意知时，0a 1( ),(0,)1xf xxx此时，可得，又，22( )(1)fxx1(1)2f (1)0f所以曲线在处的切线方程为( )yf x(1,(1)f210 xy （）函数的定义域为，( )f x(0,)，2222(22)( )(1)(1)aaxaxafxxxx x当时，函数在上单调递增，0a ( )0fx( )f x(0,)当时，令，0a 2( )(2

38、2)g xaxaxa由于，22(22)44(21)aaa 当时，12a 0 ，函数在上单调递减，221(1)2( )0(1)xfxx x( )f x(0,)当时，函数在上单调递减，12a 0, ( )0g x ( )0fx( )f x(0,)当时，102a0 设是函数的两个零点，1212,()x xxx( )g x则，1(1)21aaxa2(1)21aaxa由，1121aaxa 221210aaaa 所以时，函数单调递减，1(0,)xx( )0,( )0g xfx( )f x时，函数单调递增，12( ,)xx x( )0,( )0g xfx( )f x时，函数单调递减，2(,)xx( )0,(

39、 )0g xfx( )f x综上可知，当时，函数在上单调递增；0a ( )f x(0,)当时，函数在上单调递减；12a ( )f x(0,)当时，在，上单调递减，在102a( )f x(1)21(0,)aaa(1)21(,)aaa上单调递增(1)21(1)21(,)aaaaaa考点考点 2828 导数与函数的极值导数与函数的极值1 （2017 全国卷 2 理 11）若是函数的极值点，则的极小值为2x 21( )(1)exf xxax( )f xABCD1132e35e【答案】A【解析】由题可得，因为，12121( )(2)e(1)e(2)1exxxfxxaxaxxaxa( 2)0f 所以，故，

40、令，解得或，1a 21( )(1)exf xxx21( )(2)exfxxx( )0fx2x 1x 所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为( )f x(, 2),(1,) ( 2,1)( )f x，故选 A1 1( )(1 1 1)e11f 2 （2013 全国卷 2 理 10）已知函数=，下列结论错误的是( )f x32xaxbxcA=0，0 xR0()f xB函数=的图像是中心对称图形y( )f xC若是的极小值点，则在区间（，）单调递减1x( )f x( )f x1xD若是的极值点，则=0，1x( )f x1()fx【答案】C【解析】对于选项 C：取，即，则，所3a 9b 0c

41、32( )39f xxxx2( )369fxxx以当或时，当时，所以在和内为3x 1x ( )0fx 31x ( )0fx ( )f x(, 3) (1,)增，内为减，则时为极小值点，但在区间不单调递减，显然错误，故选 C( 3,1)1x (,1)3 （2013 全国卷 1 文 9）函数=在的图像大致为( )f x(1 cos )sinxx, 【答案】C【解析】显然是奇函数，故排除 B，当时，0，故排除 A，( )f x0 x( )f x=，由0 解得，又( )fx22sincoscosxxx22coscos1xx( )fx1cos2x，同理，由0 解得，或，x3344x( )fx34x 34

42、x在，上是减函数，在，上是增函数，在，上是减函数，( )f x34343434当=时，取最小值=，最小值点靠近，故选x34( )f x3()4f122C4 （2011 福建）若，且函数在处有极值，则的最大值0a 0b 32( )422f xxaxbx1x ab等于A2B3C6D9【答案】D【解析】，由，即，得由，2( )1222fxxaxb(1)0f 12220ab6ab0a 0b 所以，当且仅当时取等号选 D2()92abab3ab5 （2011 浙江）设函数，若为函数的一个极值点，则下 2, ,f xaxbxc a b cR1x xf x e列图象不可能为的图象是 yf xABCD【答案】

43、D【解析】若为函数的一个极值点，则易知，选项 A，B 的函数为，1x ( )xf x eac2( )(1)f xa x，为函数的一个极值点满足条件；选 ( )( )( )(1)(3)xxxf x efxf x ea xxe1x ( )xf x e项 C 中，对称轴，且开口向下，也满足条件；选项02bxa 0,0ab( 1)20fabD 中，对称轴，且开口向上，与题图矛盾，故选02bxa 0,2aba( 1)20fabD6 （2015 重庆）设函数23( )()exxaxf xaR（）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；( )f x0 x a( )yf x(1,(1)f（）若

44、在上为减函数，求的取值范围( )f x3,)a【解析】 （）对求导得( )f x222(6)(3)3(6)( ),()xxxxxa exax exa xafxee因为在处取得极值，所以即( )f x0 x (0)0f0a 当时，=故从而在点（1，）处的切0a ( )f x22336,( ),xxxxxfxee33(1),(1),ffee( )f x(1)f线方程为化简得33(1),yxee30 xey（）由（）知23(6)( )xxa xafxe令，2( )3(6)g xxa xa 由解得，( )0g x 216366aax226366aax当时，即，故为减函数；1xx( )0g x ( )0

45、fx ( )f x当时，即，故为增函数；12xxx( )0g x ( )0fx ( )f x当时，即，故为减函数；2xx( )0g x ( )0fx ( )f x由在上为减函数，知解得( )f x3,226363,6aax9,2a 故的取值范围为a9,27 （2013 全国卷 1 文 21）已知函数=，曲线在点（0，）处切线( )f x2()4xeaxbxx( )yf x(0)f方程为44yx（）求，的值ab（）讨论的单调性，并求的极大值( )f x( )f x【解析】 （）=( )fx()24xeaxabx由已知得=4，=4，故，=8，从而=4，；(0)f(0)f 4b aba4b （）由（

46、）知，=，( )f x24(1)4xexxx=，( )fx4(2)24xexx14(2)()2xxe令=0得，=或=-2，( )fxxln2x当时，0，当（-2，）时，0，(, 2)( ln2,)x ( )fxxln2( )fx在（-，-2），（，+）单调递增，在（-2，）上单调递减( )f xln2ln2当=-2时，函数取得极大值，极大值为x( )f x2( 2)4(1)fe8 （2013 全国卷 2 文 21）已知函数2( )xf xx e（）求的极小值和极大值；( )f x（）当曲线的切线 的斜率为负数时，求 在轴上截距的取值范围( )yf xllx【解析】 （）=( )fx22xxxe

47、x e(2)xxex当0 或2 时，0，当 02 时，0，xx( )fxx( )fx在（-，0）单调递减，在（0，2）单调递增，在（2，+）单调递减( )f x当=0 时，取极小值 0，当=2 时，取极大值x( )f xx( )f x24e（）设切点（，） ，则=0 x0y0()fx000(2)xx ex由题知0 得，0 或2， 的方程为，0()fx0 x0 xl0020000(2)()xxyx ex exxx令=0，解得 在轴上截距=（0 或2）=ylxx0002xxx0 x0 x002232xx当2 时，=5，当且仅当即=0 xx002232xx0022(2)32xx00222xx0 x时

48、，取等号，22当0 时，设=，=0，0 x0()g x00212xx0()g x2021(2)x2002042(2)xxx在（，0）单调递增，=0，0()g x0()g x(0)g综上所述， 在轴上截距取值范围为(，0)(5，+)lx9(2018北京)设函数2( )(41)43xf xaxaxae(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；( )yf x(1,(1)fxa(2)若在处取得极小值，求的取值范围( )f x2x a【解析】(1)因为，2( )(41)43xf xaxaxae所以（）2( )2(41)(41)43xxfxaxaeaxaxaexR=2(21)2xaxaxe(1)(1)fa e

49、由题设知，即，解得(1)0f (1)0a e1a 此时(1)30fe所以的值为 1a(2)由(1)得2( )(21)2(1)(2)xxfxaxaxeaxxe若，则当时，；12a 1(,2)xa( )0fx当时，(2,)x( )0fx所以在处取得极小值( )0f x 2x 若，则当时，12a(0,2)x20 x11102axx 所以( )0fx所以 2 不是的极小值点( )f x综上可知，的取值范围是a1( ,)210 （2017 山东）已知函数，其中是自然 22cosf xxx cossin22xg xexxx2.71828e 对数的底数（）求曲线在点处的切线方程； yf x( ,( )f（）

50、令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值( )( )( )h xg xaf x()aR( )h x【解析】 （）由题意 22f又， 22sinfxxx所以， 2f因此曲线在点处的切线方程为 yf x , f，222yx即222yx（）由题意得，2( )(cossin22)(2cos )xh xexxxa xx因为 cossin22sincos222sinxxh xexxxexxaxx2sin2sinxexxa xx，2sinxeaxx令 sinm xxx则 1cos0m xx 所以在上单调递增 m xR因为(0)0,m所以当时，0 x ( )0,m x 当时，0 x 0m x (1)当