高考真题数学分项详解-专题28--抛物线（解析版）.pdf

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1、专题专题 2828 抛物线抛物线年份年份题号题号考点考点考查内容考查内容理 20抛物线来源:Zxxk.Com来源:学科网直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用来源:Zxxk.Com来源:学科网 ZXXK2011来源:学_科_网文 9抛物线直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用理 20圆，抛物线圆的方程，抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系2012文 20圆，抛物线圆的方程，抛物线的定义、标准方程及其几何性质卷1文 8抛物线抛物线的定义及几何性质理 11圆，抛物线圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式2013卷2文 10抛物线抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系

2、理 10抛物线抛物线的定义、标准方程卷1文 10抛物线抛物线的定义、标准方程理 10抛物线抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算2014卷2文 10抛物线抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算2015卷1理 20抛物线直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法理 10圆，抛物线圆的几何性质，抛物线的标准方程及其几何性质，直线与抛物线的位置关系2016卷1文 20抛物线直线与抛物线的位置关系卷2文 5抛物线抛物线的几何性质，反比例函数的性质卷3文理 20抛物线抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系，轨迹方程求法理 10抛物线抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系卷1文 20

3、抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系理 16抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系2017卷2文 12抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系，点到直线距离公式理 8抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系卷1文 20抛物线直线与抛物线的位置关系卷2理 19 文 20抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法2018卷3理 16抛物线抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系理 19抛物线抛物线的定义，直线与抛物线位置关系，卷1文 21直线与圆，直线与抛物线直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题卷2

4、理 8 文 9椭圆与抛物线抛物线与椭圆的几何性质卷3文 21圆、抛物线抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程，直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题2019卷3理 21圆、抛物线抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程，直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题卷1理 4抛物线抛物线的定义及标准方程理 19椭圆、抛物线椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义卷2文 19椭圆、抛物线椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义2020卷3理文 7抛物线直线与抛物线的位置关系，抛物线的几何性质大数据分析大数据分析* *预测高考预测高考考点出

5、现频率2021 年预测考点 95 抛物线的定义及标准方程37 次考 14次考点 96 抛物线的几何性质37 次考 19次考点 97 直线与抛物线的位置关系37 次考 22次命题角度：（1）抛物线的定义及应用；（2）抛物线的标准方程与几何性质；（3）直线与抛物线的位置关系核心素养：数学运算、运算推理、直观想象十年试题分类十年试题分类* *探求规律探求规律考点考点 9595 抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程1 （2016 全国 II 文）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k0）与C交于点P，PFx轴，则kxk=（）（A）（B）1（C）（D）21232【答案】D【解析】因为抛物

6、线的焦点，所以，F24yx(1,0)F又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选 D(0)kykxCPPFx21k2k 2 （2012 山东文理）已知双曲线1C：22221(0,0)xyabab的离心率为 2若抛物线22:2(0)Cxpy p的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为（）A28 33xyB216 33xyC28xyD216xy【答案】D【解析】双曲线1C：22221(0,0)xyabab的离心率为 2，所以23 .cbaa又渐近线方程为0,bxay所以双曲线1C的渐近线方程为30.xy而抛物22:2(0)Cxpy p的焦点坐标为(0,),2p所以有22|228( 3

7、)1pp故选 D考点考点 9696 抛物线的几何性质抛物线的几何性质3 【2020 全国理 4】已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到A2:20C ypx pAC12轴的距离为，则（）y9p ABCD2369【答案】C【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得，故选122ApAFx1292p6p C4 （2020北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为 是抛物线上异于的一点，过作OFlPOP于，则线段的垂直平分线（）PQlQFQA经过点B经过点OPC平行于直线D垂直于直线OPOP【答案】B【解析】如图所示，因为线段的垂直平分线上的点

8、到的距离相等，又点在抛物线上，根据定FQ,F QP义可知，所以线段的垂直平分线经过点PQPFFQP5【2020 天津 7】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直C22221(0,0)xyabab24yx(0, )b线为 若的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线的方程为（）lCllCABCD22144xy2214yx 2214xy221xy【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线 的方程为，即直线的斜率为，1,0l1yxbb又双曲线的渐近线的方程为，所以，因为，解得byxa bba 1bba 0,0ab1,1ab故选D6 【2019 全国文】若抛物线 y2=2px（p

9、0）的焦点是椭圆的一个焦点，则 p=2213xyppA2B3C4D8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，22(0)ypx p(,0)2p2231xypp23()2ppp解得，故选 D8p 7(2016 全国 I 理)以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点已知CCABCDE=，=，则的焦点到准线的距离为|AB4 2|DE2 5CA2B4C6D8B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为，由，22(0)ypx p| 4 2AB ，可取，设为坐标原点，| 2 5DE 4(,2 2)Ap(, 5)2pD O由，得，得，所以选 B| |OAOD2216854pp4p 8 【

10、2016 四川文科】抛物线的焦点坐标是()24yx(A)(0，2)(B)(0，1)(C)(2，0)(D)(1，0)【答案】D【解析】由题意，的焦点坐标为，故选 D24yx(1,0)9(2016 四川理)设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段OPF22(0)ypx pM上的点，且=2，则直线的斜率的最大值为PFPMMFOMABCD1332322C【解析】设（不妨设） ，则，22, 2,PptptM xy0t 22, 22pFPptpt ，13FMFP 22,2362,3pppxtpty22,332,3ppxtpty，故选 C2211212121222OMtktttmax2()2OMk

11、10 （2015 陕西文）已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为22ypx0p ( 1,1)A(1，0)B(1，0)C(0，1)D(0，1)【答案】B【解析】因为抛物线的准线方程为，焦点坐标为，故选 B12px 2p (1,0)11（2013 新课标 1 文理）O为坐标原点，F为抛物线2:4 2C yx的焦点，P为C上一点，若| 4 2PF ，则POF的面积为A2B2 2C2 3D4【答案】C【解析】，由抛物线的定义可得点的坐标，2OF P3 2, 2 6POF的面积为1122 62 322POF y12 （2015 陕西理）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则= 22(0)yp

12、x p221xyp【答案】【解析】的准线方程为，又，所以必经过双曲线2 222ypx2px 0p 2px 的左焦点，所以，221xy(2,0)22p 2 2p 13 （2014 湖南文理）如图，正方形ABCDDEFG和正方形的边长分别为, ()a b ab，原点O为AD的中点，抛物线22(0)ypx p经过,bC Fa两点，则 【答案】【解析】由正方形的定义可知 BC=CD，结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的焦点，所以12，D，将点 F 的坐标代入抛物线的方程得，|ADpa(,0)2p(, )2pFb b222 ()22pbpbaab变形得，22( )10bbaa 解得或（舍去） ，所以12

13、ba 12ba 12ba 14 （2013 北京文理）若抛物线22ypx的焦点坐标为(1,0)，则p ，准线方程为 【答案】2，【解析】；准线1x 1,22pp12px 15 （2012 陕西文理）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1米后，水面宽 米【答案】62【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点 O 的坐标为（0，0） ，设抛物线的方程为，l与抛物线的交点为 A、B，根据题意知 A（2，2） ，B（2，2） ，则有222a，22xpy 21a，抛物线的解析式为221xy，水位下降 1 米，则 y=3，此时有6x或6x，此时水面宽为62米考点考点

14、9797 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系16（2020 全国文 7 理 5）设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，O2x 2:20C ypx p,D E若，则的焦点坐标为（）ODOECABCD1, 041, 021, 02, 0【答案】B【解析】解法一：直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的2x 22(0)ypx p,C DODOE对称性可以确定，代入抛物线方程，求得，其焦点坐标4DOxCOx (2,2)C44p1p 为，故选 B1( ,0)2解法二：将代入得由ODOE得，即2x)0(22ppxypy21OEODkk，得，抛物线的焦点坐标为，故选B12222pp1pxyC2:2)0

15、 ,21(F17 （2018 全国理 8）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于xyC4:2F2, 032C两点，则（）,MNFM FN A5B6C7D8【答案】D【解析】根据题意，过点且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立2, 023223yx，消元整理得：，解得，又222 ,34yxyx2680yy1, 2 ,4, 4MN，从而可以求得，故选 D1, 0 ,0, 2 ,3, 4FFMFN 8FM FN 18 （2017 新课标理）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线FC24yxF1l2l与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（）1lCAB2lCDE|ABDEA16B

16、14C12D10【答案】A【解析】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，由题意1lx1l1k2l2k有，设，121kk 11( ,)A x y22(,)B xy33(,)D xy44(,)E xy此时直线方程为，1l1(1)yk x取方程，得，214(1)yxyk x2222111240k xk xxk21122124kxxk 212124kk同理得22342224kxxk由抛物线定义可知1234|2ABDExxxxp221222222212121224244416482816kkkkkkk k当且仅当（或）时，取得等号121kk 119（2017 全国文）过抛物线的焦点，

17、且斜率为的直线交于点（在的轴2:4C yxF3CMMx上方），为的准线，点在 上且，则到直线的距离为lCNlMNlMNFAB52 2CD2 33 3【答案】C【解析】由题知，与抛物线联立得，解得，:3(1)MF yx24yx231030 xx121,33xx所以，因为，所以，因为，所以(3,2 3)MMNl( 1,2 3)N (1,0)F:3(1)NF yx 所以到直线的距离为故选 CMNF22|3(3 1)2 3 |2 3( 3)120 （2015 浙江理）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，24yxF, ,A B C其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是,A B

18、CyBCFACFABCD11BFAF2211BFAF11BFAF2211BFAF【答案】A【解析】如图，11AFBFxxACBCSSABACFBCF，故选 A21 （2015 四川文理）设直线 与抛物线相交于两点，与圆相切于l24yx,A B222(5)(0)xyrr点，且为线段的中点若这样的直线 恰有 4 条，则的取值范围是MMABlrABCD1 3，1 4，2 3，2 4，【答案】D【解析】当直线 的斜率不存在时，这样的直线 恰好有 2 条，即，所以；所ll5xr05r以当直线 的斜率存在时，这样的直线 有 2 条即可设，ll11( ,)A x y22(,)B xy，则又，00(,)M x

19、y12012022xxxyyy21122244yxyx两式相减得，121212()()4()yyyyxx121212042AByykxxyyy设圆心为，则，因为直线 与圆相切，(5,0)C005CMykxl所以，解得，于是，又，000215yyx 03x 2204yr2r 2004yx即，所以，又，所以，故选 D2412r 04r05r2r 24r22 （2014 新课标 1 文理）已知抛物线：的焦点为，准线为 ，是 上一点，是直线C28yxFlPlQ与的一个交点，若，则=PFC4FPFQ |QFABC3D27252【答案】C【解析】过点作交 于点，因为，所以，又焦点QQQl lQ4PFFQ

20、|:| 3:4PQPF 到准线 的距离为 4，所以故选 CFl| | 3QFQQ23 （2014 新课标 2 文理）设为抛物线 C：的焦点，过且倾斜角为 30的直线交于两F23yxFC,A B点，为坐标原点，则的面积为OOABABCD3 349 38633294【答案】D【解析】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为32p 3( ,0)4FAB33k AB，代入抛物线方程，整理得33()34yx23yx22190216xx设，则，由物线的定义可得弦长1122( ,), (,)A x yB xy12212xx，结合图象可得到直线的距离，12|12ABxxpOAB3sin3028pd 所以

21、的面积OAB19|24SAB d24 （2014 辽宁文理）已知点在抛物线 C：的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相( 2,3)A 22ypx切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（）ABCD1223344325 （2013 江西文理）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点2,0A2:4C xyFFAC，与其准线相交于点，则=MN|:|FMMNA2：B1：2C1：D1：355【答案】C【解析】依题意可得 AF 所在直线方程为12xy代入 x2=4y 得352y，又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）1：5 26 （2011 新课标文理）已知直线 过抛物线

22、 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， 与 C 交于，两点，llAB，为 C 的准线上一点，则的面积为| 12AB PABPA18B24C36D48【答案】C【解析】设抛物线的方程为，易知，即，22ypx| 212ABp6p 点在准线上，到的距离为，所以面积为 36，故选 CPPAB6p ABP27 （2020 山东）斜率为的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则3=_AB【答案】163【解析】抛物线的方程为，抛物线的焦点 F 坐标为，24yx(1,0)F又直线 AB 过焦点 F 且斜率为，直线 AB 的方程为：，33(1)yx代入抛物线方程消去 y 并化简得，

23、231030 xx解法一：解得，所以121,33xx212116|1|1 3 |3|33ABkxx 解法二：，设，则，10036640 1122( ,), (,)A x yB xy12103xx过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示,A B1x ,C D12| | |11ABAFBFACBDxx 1216+2=3xx28【2020 山东 13】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则32:4C yxCAB_AB 【答案】163【解析】由题抛物线，可知其焦点为，准线为，如图所示作，2:4C yx(1,0)F:1l x AAl，直线准线交于点，由，倾斜角，BBlABH3ABk6030A H

24、A由抛物线定义知：，| |AAAF | |BBBF 又，为中点，|2|AHAAFAH| 2MF | |4HFAF，1| |2BBBFHB 3|4BF 4|3BF 416| | 433ABAFBF29【2019 北京文】设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_【答案】22(1)4xy【解析】抛物线 y2=4x 中，2p=4，p=2，焦点 F（1，0） ，准线 l 的方程为 x=1，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x1)2+y2=22，即为22(1)4xy30 【2018 全国 3 理 16】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交

25、于，1 1M ,24Cyx：CkCA两点若，则_B90AMB k 【答案】2【解析】设，则，1122,A xyB xy21122244,yxyx22121244yyxx1212124yykxxyy取中点，分别过点作准线的垂线，垂足分别为AB00(,)M xyA ,B1x ,AB，90AMB111222MMABAFBFAABB为中点，平行于轴MABMMx，故答案为 201211,2,2,1 ,yyyMk31 【2018 北京文】已知直线 l 过点（1，0）且垂直于轴，若 l 被抛物线截得的线段长为 4，24yax则抛物线的焦点坐标为_【答案】1,0【解析】由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得

26、，由1,2P1,2P24yax1a 24yx抛物线方程可得：，焦点坐标为24,2,12ppp1,032 （2017 新课标理）已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于FC28yxMCFMy点若为的中点，则NMFN|FN 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作xF与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直MBlBNAlA2x 2,4ANFF角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有ANFF32ANFFBM3MFMB，3MNMF故336FNFMNMOFBAFNMyx33 【2019 全国理】已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为

27、F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；（2）若3APPB ，求|AB|【答案】 （1）；（2）3728yx4 133【解析】设直线11223:,2l yxt A x yB xy（1）由题设得，故，由题设可得3,04F123|2AFBFxx1252xx由，可得，则2323yxtyx22912(1)40 xtxt1212(1)9txx 从而，得所以 的方程为12(1)592t 78t l3728yx（2）由可得3APPB 123yy 由，可得所以从而，故2323yxtyx2220yyt122yy2232yy211,

28、3yy 代入的方程得，故C1213,3xx4 13|3AB 34 【2018 全国 I 文 20】 （本小题满分 12 分）设抛物线，点，过点的直线 与交于两点2:2C yx2, 0 ,2, 0AB AlC,MN（1）当 与轴垂直时，求直线的方程；lxBM（2）证明：ABMABN 【解析】 【基本解法 1】 （1）当轴时，直线带入抛物线方程得：xl 2:xl解得点或，或，2yM2, 2M2,2212202BMk212202BMk所以直线得方程为：或BM112122yxx112122yxx （2）当斜率不存在时，关于轴对称，MN,xABMABN 当斜率存在时，可设直线方程为，)2(:xkyl22

29、2222 ,(42)402 ,yk xk xkxkyx设点则：，),(),(2211yxNyxM4,24212221xxkkxx，0)2)(2(822221212211xxxxkxyxykkNBMBNBMBkkABNABM35（2018 全国 II 文 20 理 19）（本小题满分 12 分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线 与交于，两点2:4C yxFF0k k lCAB8AB （1）求 的方程；l（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程ABC【解析】 （1）由题意得， 的方程为(1,0)Fl(1)(0)yk xk设，由得1221( ,), (,)AyxyxB21 ,4 ,yk xyx222

30、2(24)0k xkxk，故216160k 122224kxkx 12224411kABAFxFxBk由题设知，解得（舍去） ，因此 的方程为22448kk1k 1k l1yx（2）由（1）得的中点坐标为，的垂直平分线方程为，即AB(3,2)AB2(3)yx 5yx 设所求圆的圆心坐标为，则解得或00(,)xy00220005,(1)(1)16.2yxyxx 003,2xy0011,6.xy 因此所求圆的方程为或223216xy22116144xy36 （2017 新课标文）设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为 4ABC24xy AB(1)求直线的斜率；AB(2)设为曲线上一点，在处的切线与直

31、线平行，且，求直线的方程MCCMABAMBMAB【解析】 （1）设，则，x1+x2=4，11( ,)A x y22(,)B xy12xx2114xy 2224xy 于是直线的斜率AB12121214yyxxkxx（2）由，得24xy 2xy 设，由题设知，解得，于是33(,)M xy312x32x (2,1)M设直线的方程为，故线段的中点为，AByxmAB(2,2)Nm| |1|MNm将代入得yxm24xy 2440 xxm当，即时，从而16(1)0m 1m 1,2221xm12|= 2 | 4 2(1)ABxxm由题设知，即，解得，所以直线AB的方程为| 2|ABMN4 2(1)2(1)mm

32、7m 7yx37 （2017 新课标理）已知抛物线：，过点的直线 交与，两点，圆是以线C22yx(2,0)lCABM段为直径的圆AB(1)证明：坐标原点在圆上；OM(2)设圆过点，求直线 与圆的方程M(4, 2)PlM【解析】 （1）设， ：A x ,y11B x ,y22l2xym由可得，则222xmyyxymy2240y y 124又，故=4yx211=2yx222=2y yx x2121 2=4因此的斜率与的斜率之积为，所以OAOByyxx1212-4=-14OAOB故坐标原点在圆上OM（2）由（1）可得，yym12+ =2x xm yym 21212+ =+4=24故圆心的坐标为，圆的

33、半径Mmm2+2，Mrmm2222由于圆过点，因此，M(4, 2)P0AP BP 故 121244 +2+2 = 0 xxyy即x xxxy yyy1 21212124+2200由（1）可得，y y12=-4x x1 2=4所以，解得或2mm 210m 1m 12当时，直线 的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为1m l20 xyM(3,1)M10Mxy223110当时，直线 的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆12m l240 xyM91( ,)42M854的方程为M229185()()4216xy38 （2017 北京理）已知抛物线：过点过点作直线 与抛物线交于不同的两C22yp

34、x(1,1)P1(0, )2lC点，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，其中为原点MNMxOPONABO（）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；C（）求证：为线段的中点ABM【解析】 （）由抛物线 C：过点，得所以抛物线的方程为22ypx(1,1)P12p C2yx抛物线的焦点坐标为，准线方程为C1( ,0)414x （）当直线的斜率不存在或斜率为 0 时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线的MNMN斜率存在且不为 0设为点，过的直线方程为（） ，设，显然，均1(0, )2QQMN12ykx0k 11( ,)M x y22(,)N xy1x2x不为 0由，得考虑，由题意，所以21

35、2ykxyx224(44)10k xkx 221(1)41 24kkk 0 12k 则，1221kxxk12214x xk由题意可得，横坐标相等且同为，AB1x因为点 P 的坐标为，所以直线 OP 的方程为，点 A 的坐标为(1,1)yx11( ,)x x直线 ON 的方程为，点 B 的坐标为22yyxx2112( ,)y xxx若要证明为的中点，只需证，即证，ABM2ABMyyy121122x yyxx即证，1221122x yx yx x将代入上式，11221212ykxykx即证，21121211()()222kxxkxxx x即证12121(22)()02kx xxx将代入得，化简有恒

36、成立，2211(22)042kkkk2211022kkkk所以恒成立2ABMyyy故 A 为线段 BM 的中点39 （2015 浙江文）如图，已知抛物线：，圆：，过点作不1C214yx2C22(1)1xy( ,0) ( 0)P tt过原点的直线，分别与抛物线和圆相切，为切点OPAPB1C2C,A B（）求点的坐标；,A B（）求的面积PAB注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点【解析】 （）由题意可知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为PAPAyk xt所以消去整理得：214yk xtyxy2440 xkxkt因为直线与抛物线相切，

37、所以，解得PA216160kktkt所以，即点设圆的圆心为，2xt2(2 ,)At t2C(0,1)D点的坐标为，由题意知，点关于直线对称，B00(,)xy,B OPD故有，解得2002222,11ttxytt即点22222(,)11ttBtt00001220yxtx ty （）由（）知，21APtt，直线的方程为20txyt，AP所以点到直线的距离为221tdtBPA所以PAB的面积为3122tSAP d40 （2015 福建文）已知点为抛物线（）的焦点，点在抛物线上，且F:22ypx0p 2,mA3F （）求抛物线的方程；（）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必1

38、,0G FFG与直线相切G【解析】解法一：（）由抛物线的定义得| 22pAF 因为，即232p，解得2p ，| 3AF 所以抛物线的方程为24yx（）因为点2,mA在抛物线:24yx上，所以2 2m ，由抛物线的对称性，不妨设2,2 2A由2,2 2A，F 1,0可得直线FA的方程为2 21yx由22 214yxyx，得22520 xx，xyAGBFO解得2x 或12x ，从而1,22又G1,0，所以 G2 202 2213kA ， G202 21312k ，所以GG0kkA，从而，这表明点到直线的距离相等，故以为圆心且与AGFBGF F,GA GBF直线相切的圆必与直线相切GAGB解法二：（

39、）同解法一（）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为rFGA因为点在抛物线：24yx上，(2,)AmExyAGBFO所以2 2m ，由抛物线的对称性，不妨设2,2 2A由2,2 2A，F 1,0可得直线FA的方程为2 21yx由22 214yxyx，得22520 xx，解得2x 或12x ，从而1( ,2)2B又，故直线GA的方程为2 232 20 xy，( 1,0)G 从而2 22 24 28917r又直线的方程为2 232 20 xy，所以点到直线的距离2 22 24 28917drGBFGB这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切FGAGB41 （2014 陕西文理）如图，曲线由上半椭

40、圆和部分抛物线C22122:1(0,0)yxCabyab连接而成，的公共点为，其中的离心率为22:1(0)Cyxy 12,C C,A B1C32（）求的值；, a b（）过点的直线 与分别交于（均异于点） ，若，求直线 的方程Bl12,C C,P Q,A BAPAQl【解析】 （）在，方程中，令，可得 b=1，且得是上半椭圆的左右顶点，1C2C0y ( 1,0),(1,0)AB1C设的半焦距为，由及，解得，所以，1Cc32ca2221acb2a 2a 1b （）由（）知，上半椭圆的方程为，1C221(0)4yxy易知，直线 与轴不重合也不垂直，设其方程为lx(1)(0)yk xk代入的方程中，

41、整理得：（*）1C2222(4)240kxk xk设点的坐标，由韦达定理得P(,)PPxy2224PBkxxk又，得，从而求得(1,0)B2244Pkxk284Pkyk所以点的坐标为P22248(,)44kkkk同理由得点的坐标为，2(1)(0)1(0)yk xkyxy Q2(1,2 )kkk 22( ,4)4kAPkk ，(1,2)AQkk ，即，APAQ0AP AQ 2224(2)04kkkk，解得，经检验，符合题意，故直线 的方程为0k 4(2)0kk 83k 83k l8(1)3yx 42 （2012 新课标文理）设抛物线：的焦点为，准线为 ，为上一点，已知以C)0(22ppyxFlA

42、C为圆心，为半径的圆交 于、点FFAFlBD（）若，的面积为，求的值及圆的方程；oBFD90ABD24pF（）若、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到ABFmnmnC、距离的比值mn【解析】 （）由对称性知：是等腰直角，斜边，BFD2BDp点到准线 的距离，Al2dFAFBp14 24 222ABDSBDdp圆的方程为F22(1)8xy（）由对称性设，则，2000(,)(0)2xA xxp(0,)2pF点关于点对称得：，,A BF22220000(,)3222xxpBxppxppp 得：，直线，3( 3 ,)2pAp3322:30223ppppm yxxyp切点，22332233xxxpyyyxppp3(,)36p pP直线，333:()306336ppn yxxyp坐标原点到距离的比值为,m n33:326pp