2022年完整word版,全等三角形辅助线系列之二--中点类辅助线作法大全 .pdf

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1、1 / 12全等三角形辅助线系列之二与中点有关的辅助线作法大全一、中线类辅助线作法1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点，试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系典型例题精讲【例 1】如图，已知在ABC 中，AD是 BC 边上的中线，E是AD上一点，延长BE交 AC 于F，AFEF，求证： ACBE 【解析】延长AD

2、到 G ，使 DGAD ，连结 BGBDCD ，BDGCDA ， ADGD ADCGDB，ACGB GEAF又AFEF，EAFAEFGBEDBEBG ， BEAC 【例 2】如图，在ABC 中，AD交 BC 于点D，点E是 BC 中点，EFAD交 CA 的延长线于点F，交EF于点 G ，若 BGCF ，求证：AD为ABC 的角平分线FEDCBAGFEDCBAFGEDCBAHAFGBEDC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页2 / 12【解析】延长FE到点H，使HEFE，连结BH在CEF 和BEH中CEBECEFBEH

3、FEHECEFBEHEFCEHB ， CFBHBGEHBBGE ，而BGEAGFAFGAGF又EFAD，AFGCAD，AGFBADCADBADAD为ABC 的角平分线【例 3】已知AD为ABC 的中线，ADB，ADC 的平分线分别交AB于E、交 AC 于F求证：BECFEF 【解析】延长FD到 N ，使 DNDF ，连结 BN 、 EN 易证BND CFD ， BNCF ，又ADB，ADC 的平分线分别交AB于E、交 AC 于F，90EDFEDN，利用 SAS证明EDN EDF， ENEF ，在EBN 中， BEBNEN ，BECFEF 【例 4】如图所示， 在ABC 中，D是 BC 的中点，

4、DM垂直于 DN ，如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABACFEABDCFENABDC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页3 / 12【解析】延长ND 至E，使 DEDN ，连接EB、EM、 MN 因为 DEDN ， DBDC ，BDECDN ，则BDECDN从而 BECN ，DBEC 而 DEDN ，90MDN，故 MEMN ，因此2222DMDNMNME，即222BMBEME，则90MBE，即90MBDDBE因为DBEC ，故90MBDC，则90BACAD为 RtABC 斜边 BC 上的中线，故1

5、2ADBC 由此可得22221144ADBCABAC【例 5】在 Rt ABC 中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边 CA 、 CB 上， 满足90DFE 若3AD，4BE，则线段DE的长度为 _【解析】如图、延长DF至点 G ，使得 DFFG ，联结 GB 、 GE 由AFFB，有ADFBGF3BGADADFBGFADGB180GBEACB90GBE225GEGBEB又 DFFG ， EFDG5DEGE【例 6】如图所示， 在ABC 中， ABAC ，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点， 连接 CE 、CD ，求证2CDEC 图 6GEFDBCA精选学习资料 - - - - - -

6、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页4 / 12【解析】解法一：如图所示，延长CE 到F，使 EFCE 容易证明EBFEAC，从而 BFAC ，而 ACABBD ，故BFBD注意到CBDBACACBBACABC ，CBFABCFBAABCCAB ，故CBFCBD ，而 BC 公用，故CBFCBD，因此2CDCFCE 解法二：如图所示，取CD 的中点 G ，连接 BG 因为 G 是 CD 的中点，B是AD的中点，故 BG 是DAC 的中位线，从而1122BGACABBE ，由 BGAC可得GBCACBABCEBC ，故BCEBCG，从而 ECGC ，2CD

7、CE 【例 7】已知： ABCD 是凸四边形，且ACBD E、F 分别是 AD、BC 的中点， EF 交 AC 于 M；EF交 BD 于 N， AC 和 BD 交于 G 点求证：GMNGNM 【解析】取AB 中点 H，连接 EH、FHAEED，AHBH，EHBD，12EHBD ，GNMHEFAHBH， BFCFFHAC，12FHACGMNHFE ACBD ，FHEHHEFHFE，GMNGNM【例 8】在ABC 中，90ACB，12ACBC ，以 BC 为底作等腰直角BCD ，E是 CD 的中点，求证：AEEB且AEBEHABCDEFMNGGNMFEDCBAHABCDEFMNGEDCBAFABC

8、ED精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页5 / 12【解析】过E作 EFBC交BD于F135ACEACBBCE45DFEDBC135EFB又EFBC，12EFBC ，12ACBCEFAC ， CEFB EFBACE，CEADBE又90DBEDEB90DEBCEA故90AEBAEEB且AEBE【例 9】如图所示，在ABC 中，D为AB的中点，分别延长CA 、 CB 到点E、F，使DEDF过E、F分别作直线CA 、CB 的垂线， 相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、 N 求证：（1）DEMFDN；（2）PAEPB

9、F【解析】（1）如图所示，根据题意可知DMBN且 DMBN=，DNAM且 DNAM=，所以AMDAPBDNB 而M、 N 分别是直角三角形AEP、BFP的斜边的中点，所以 EMAMDN ， FNBNDM ，又已知DEDF，从而DEMFDN（2）由（ 1）可知EMDDNF ，则由AMDDNB 可得AMEBNF 而AME、BNF 均为等腰三角形，所以PAEPBFPFEDCBAHGPFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页6 / 12【例 10】 已知，如图四边形ABCD 中， ADBC ，E、F分别是AB和 CD

10、 的中点，AD、EF、 BC 的延长线分别交于M、 N 两点求证：AMEBNE 【解析】连接AC，取AC中点H，连接FH、EHDFCF ， AHCH ，12FHAD，12FHAD ，同理，12EHBC ， EHBCADBC ，EHFH，HFEHEFFHAM， EHBCAMEHFE，HEFBNE ，AMEBNE【例 11】 已知：在ABC 中， BCAC ，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC ，连结DC 过AB、 DC 的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、 BC 分别相交于点M、 N （1）如图 1，当点D旋转到 BC 的延长线上时，点N 恰好与点F重合，取 AC 的中点H，连结H

11、E、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE (不需证明 )（2） 当点D旋转到图 2或图 3中的位置时，AMF与BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明【解析】图2：AMFENB ，图 3：180AMFENB证明：在图2 中，取 AC 的中点H，连结HE、HFF是 DC 的中点，H是 AC 的中点HFAD，12HFAD ，AMFHFE同理， HECB，12HECB ，ENBHEFADBC ，HFHE，HEFHFE，ENBAMF证明图 3 的过程与证明图2 过程相似ACDMFENBAH CDMFENBF图3图2图1FNMDCEBANMDCEBAHF(N)D

12、MCEBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页7 / 12【例 12】 如图所示，P是ABC 内的一点，PACPBC ，过P作 PMAC 于M， PLBC 于L，D为AB的中点，求证DMDL【解析】如图所示，取AP、PB的中点E、F，连接EM、ED、FD、FL，则有DEBP且12DEBP ，DFAP且12DFAP 因为AMP和BLP都是直角三角形，故12MEAP ，12LFBP ，从而EDFL，DFME又因为MEDMEPPED，DFLDFPPFL，而22MEPMAPLBPPFL，且PEDDFP，所以MEDDFL，从而

13、MEDDFL，故DMDL【例 13】 如右下图，在ABC 中，若2BC ， ADBC ，E为 BC 边的中点求证：2ABDE【解析】如右下图，则取AC边中点F，连结EF、DF由中位线可得，12EFAB 且BCEF DF为 RtADC 斜边上的中线，DFCF CDFC ，又DFEFDECEF ，即2CDFEC ，DFEEDF，12DEEFAB ，2ABDEHABECDMNFHABECDMNFEDCBAFABDEC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页8 / 12【例 14】 如图，ABC 中， ABAC ，90BAC，D

14、是 BC 中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与 AC交于F求证：BEAF， AECF 【解析】连结AD ABAC ，90BAC45BCD是 BC 中点45BAD且 ADBCEDDF90EDAADF90ADEEDBBDEADF在BDE与ADF中，ADBD，45DAFB，BDEADFBDEADFBEAF AECF 【例 15】 在ABCD 中，ADBC ，过点 D 作DEDF，且EDFABD，连接 EF、EC，N、P 分别为 EC、BC 的中点，连接NP.（1）如图 1，若点 E 在 DP 上， EF 与 DC 交于点 M，试探究线段NP 与线段 NM 的数量关系及 ABD 与 MNP 满足的

15、等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图 2，若点 M 在线段 EF 上，当点 M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论【解析】（1） NPMN ，180ABDMNP（2）点 M 是线段 EF 的中点 (或其它等价写法).证明：如图，分别连接BE、 CF. 四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC，ABDC，ADCB ，ABDBDC .ABCDEFFEDCBA图 1 A B C D P E F N M 图 2A B C D P E F N M1324PNAEFCDB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

16、- - - - -第 8 页，共 12 页9 / 12ADBC ，DBCDCB ， DBDCEDFABD，EDFBDC .BDCEDCEDFEDC 即BDECDF 又DEDF，由 得 BDE CDF EBFC ,12. N、P 分别为 EC、BC 的中点， NP EB，12NPEB 同理可得MN FC，12MNFC NPNM NPEB，4NPC，4ENPNCPNPCNCP MN FC，3231MNEFCE314180180MNPMNEENPNCPDBCDCBBDCABD180ABDMNP【例 16】 在 RtABC 中，90ACB，1tan2BAC点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），

17、连结 BD，F 为 BD 中点（1）若过点 D 作 DEAB 于 E，连结 CF、EF、CE，如图 1 设 CFkEF ，则 k = ；（2）若将图 1 中的 ADE 绕点 A 旋转，使得D、E、B 三点共线，点F 仍为 BD 中点，如图2所示求证：2BEDECF ；（3） 若6BC， 点 D 在边 AC 的三等分点处， 将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中点，求线段 CF 长度的最大值【解析】（1）1k；（2）如图 2，过点 C 作 CE 的垂线交BD 于点 G，设 BD 与 AC 的交点为 Q. BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图精选学习资料 - - - - -

18、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页10 / 12由题意，1tan2BAC，12BCDEACAE. D、E、B 三点共线，AEDB.BQCAQD ，90ACB，QBCEAQ 90ECAACG，90BCGACG，ECABCG BCGACE，12BCGBACAE，GBDE . F 是 BD 中点， F 是 EG 中点 .在 RtECG中，12CFEG ，2BEDEEGCF （3）情况 1：如图，当13ADAC 时，取 AB 的中点 M，连结 MF 和 CM，90ACB，1tan2BAC，且 6BC,12AC，6 5AB. M 为 AB 中点，3 5CM1

19、3ADAC ，4AD. M 为 AB 中点， F 为 BD 中点，122FMAD当且仅当 M、 F、C 三点共线且M 在线段 CF 上时 CF 最大，此时23 5CFCMFM.情况 2：如图，当23ADAC 时，取 AB 的中点 M，连结 MF 和 CM，类似于情况1，可知 CF 的最大值为43 5 综合情况1 与情况 2，可知当点D 在靠近点C 的三等分点时，线段CF 的长度取得最大值为43 5 .ADFCMBADMFCB2图BDEAFCGQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页11 / 12课后复习【作业 1】如

20、图，ABC中，ABAC，AD是中线求证：DACDAB【解析】延长AD到E，使ADDE，连结BE在ADC 和EDB中ADEDADCEDBDCDB ADCEDBACEB ，CADBEA在ABE中，AB AC ，ABEBAEBEAB，DACDAB 【作业 2】在 RtABC 中，90BAC，点D为 BC 的中点，点E、F分别为AB、 AC 上的点，且EDFD以线段BE、EF、 FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【解析】延长FD到点 G ，使 FDGD ，连结 EG 、 BG 在CDF 和BDG 中CDBDCDFBDGFDGD CDFBDGBGCF ，F

21、CDGBD90A90ABCACB90ABCGBD在EDF和EDG 中FEDCBAGFEDCBAFEDCBAGAEBDCF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页12 / 1290EDEDEDFEDGFDGD EDFEDGEFEG故以线段BE、EF、 FC 为边能构成一个直角三角形【作业 3】AD是ABC 的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC 于E求证：13AEAC 【解析】取EC 的中点 G ，连接 DG 易得 DGBE，F为AD的中点，所以AEEG ，从而可证得：13AEAC 【作业 4】如图，在五边形ABCD

22、E中，90ABCAED，BACEAD，F为CD的中点 求证：BFEF【解析】取AC 中点M，AD中点 N 连结MF、 NF 、MB、 NE ，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有12MFADNE ，12NFACMB ，MFAD，NFAC，DNFCADCMF ，BMAM，MBACAB 2BMCMBACABCAB 同理可证2DNEDAE BACEAD ，BMCEND BMCCMFFNDDNE ，即BMFENF ，MBFNFE，BFEFFADECBFADEGCBEDFCBANMEDFCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页