2022年定积分及其应用 .pdf

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1、课题定积分及其应用重点定积分的概念与求法定积分的应用难点微积分基本定理定积分的应用一、课前检测1.计算exxx1d)12(_2e .2.已知0t, 若,(22)30txdx, 则t_?解析 :332|2)22(2020tttxxdxxtt或1t( 舍去 ), 故3t3.由曲线,2,1xyexy围成的封闭图形的面积为_.23e4.若a0 xdx =1，则实数a 的值是 _2； _.522sin xdx_26.将和式)21.2111(limnnnn表示为定积分 _解dxx1011；7.曲线2xy和曲线xy围成一个叶形图( 如图所示阴影部分), 其面积是 _. 解13二、知识梳理1定积分的概念一般地

2、，设函数( )f x在区间 , a b上连续，用分点0121iinaxxxxxxb-=LL将区间 , a b等分成n个小区间， 每个小区间长度为xD（baxn-D=） ，在每个小区间1,iixx-上任取一点()1,2,iinx=L，作和式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页11()()nnniiiibaSfxfnxx=-=D=邋如果xD无限接近于0（亦即n?）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数( )f x在区间 , a b上的 定积分 。记为：()baSfx dx=，其中-积分号 ，b积分上限 ，

3、a积分下限，( )f x被积函数 ，x积分变量 ， , a b积分区间，()fx dx被积式 。说明： （1）定积分( )baf x dx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n?时）记为()bafx dx，而不是nS（2）用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间,a b；近似代替：取点1,iiixxx-?；求和：1()niibafnx=-?；取极限：( )1()limnbinaibafx dxfnx=-=?（3）曲边图形面积：( )baSfx dx=；变速运动路程21( )ttSv t dt=；变力做功( )baWF r dr=2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间,a b上函数()fx

4、连续且恒有( )0fx3，那么定积分( )bafx dx表示由直线,(),0 xa xb aby=?和曲线()yfx=所围成的曲边梯形( 如图中的阴影部分) 的面积，这就是定积分( )bafx dx的几何意义。说明：一般情况下，定积分( )baf x dx的几何意义是介于x轴、函数( )f x的图形以及直线,xa xb=之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。分析：一般的，设被积函数( )yfx=，若( )yfx=在 , a b上可取负值。考察和式()()()12()infxxfxxf xxfxxD+D+D+DLL不妨设1(),(),()0iinf xfxfx+

5、L于是和式即为()()()121()()iinfxxfxxfxxf xxfxx-D+D+D-D+ -DLL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页( )baf x dx=阴影A的面积阴影B的面积 （即x轴上方面积减x轴下方的面积）思考： 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1：()bakdxk ba=-；性质 2：( )( )()bbaakfx dxkf x dx k=蝌为常数（定积分的线性性质） ；性质 3：1212( )( )(

6、)( )bbbaaafxfx dxfx dxfx dx?蝌?（定积分的线性性质） ；性质 4:( )( )( )()bcbaacf x dxf x dxf x dxacb=+蝌?其中（定积分对积分区间的可加性）(1) ( )( )baabfx dxf x dx= -蝌； (2) ( )0aaf x dx=；说明：推广：1212( )( )( )( )( )( )bbbbmmaaaafxfxfx dxfx dxfx dxfx北?北?蝌蝌LL推广 :121( )( )( )( )kbccbaaccfx dxf x dxfx dxf x dx=+蝌蝌L性质解释：PCNMBAabOyxy= 1yxOb

7、a三、范例分析例 1计算下列定积分。（ 1）34|x dx（2）1211edxx性质 1性质 4AMNBAMPCCPNBSSS=+曲边梯形曲边梯形曲边梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页解（1）34|x dx（2）1211edxx=0340()x dxxdx=12ln(1)|ex=20234011|22xx=ln(1 1)ln(21)e=252=1例 2求定积分2201xdx。解：2122223001111(1)(1)()03xdxxdxxdxxx+321()213xx。例 3计算定积分：.3239x dx= 。0

8、239x dx= .32329x dx= 解929439328例 4求由曲线22yx与3yx，0 x，2x所围成的平面图形的面积。2232123201:(23 )(32)1331(2) |(2 ) |32231xx dxxxdxxxxxxx1201解 由题意知阴影部分的面积是:S=例 5已知曲线1C方程为xexf)(, 过原点 O作曲线1C的切线2C(1) 求2C的方程 ; (2) 求曲线1C,2C及y轴围成的图形面积S; xy012xy012精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页(3) 试比较ne1与)(*Nnne的大

9、小 , 并说明理由解 :(1) 设2C切1C于),(00 xexp由xexf)(, 则xexf)(0 xek切而00 xekopkx切000 xxexe得10 xekep切), 1(切线2C方程为exy(2) 依题意得dxexeSx10)(121)21(102eexex(3) 构造函数exexFx)(eexFx)(令0)(xF得1x则)(xF在 (0,1) 为减函数 , 在(1,) 为增函数0)1()(FxF令nx101neen那neen1当1n时neen1当2n且Nn时neen1四、课外练习1.（1）26cos2xdx _ 解34（2）.dxxx)1(212_;解2ln372.设函数)0()

10、(2acaxxf. 若)()(010 xfdxxf，0 x01, 则x0的值为33 .3.已知( )f x为一次函数，且10( )2( )f xxf t dt，则( )f x_( )1f xx4.过 原 点 作 曲 线:xC ye的 切 线l， 则 曲 线C、 切 线l及y轴 所 围 成 封 闭 区 域 的 面 积 为_.解e（12e）5.利用定积分的几何意义，计算：dxx2124精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页解2332；解 ： 由 定 积 分 的 几 何 意 义 知 ， 所 求 积 分 是 图 中 阴 影 部

11、分 的 面积3121461S23326.已知函数( )ln(0)f xxx, 函数1( )( )(0)( )g xafxafx函数( )yg x在(1,1)a处的切线与35yx平行 , 求a的值 ; 在的条件下, 求直线132yx与函数( )yg x的图象所围成图形的面积.解 :( )lnf xx;,1( )fxx; 函数( )ayg xxx ,2( )1agxx, 由条件得(1)3g4a由1324yxyxx解得121224,45xxyy直线132yx与函数( )yg x的图象所围成图形的面积：4214(3)()2Sxxdxx=32ln 27.已知( )yf x是二次函数，方程( )0f x有两相等实根，且( )22fxx( ) 求( )f x的解析式( ）求函数( )yf x与函数241yxx所围成的图形的面积。解： （）设2( ).(0)f xaxbxc a240222bacaxbx得：1,2,1abc2( )21f xxx（）由题22213041yxxxxyxx或0223(41)(21)Sxxxxdx32032(3) |3xx 9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页