2021年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷甲卷) 理科数学(含答案).pdf
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1、 2021 年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷) 理科数学 一、选择题 1.设集合0 |04Mx,1 |53Nxx,则MN( ) A.1 |03xx B.1 |43xx C. |45xx D. |05xx 答案: B 解析: 由图知,1 |43MNxx. 2.为了解某地农村经济情况, 对该地农户家庭年收入进行抽样调查, 将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图: 根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是( ) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5
2、万元 D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 答案: C 解析: A.低于4.5万元的比率估计为0.02 1 0.04 10.066% ,正确. B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.023) 10.110% ,正确. C.平均值为(3 0.0240.045 0.160.1470.28 0.290.1 100.1 11 0.04120.02130.02140.02)17.68 万元,不正确. D.4.5万到8.5万的比率为0.1 1 0.14 1 0.2 1 0.2 10.64 ,正确. 3.已知2(1)32izi,则z ( ) A.312i B.3
3、12i C.32i D.32i 答案: B 解析: 232322331(1)222iiiziii . 4.青少年视力是社会普遍关注的问题, 视力情况可借助视力表测量, 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5lgLV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(10101.259) ( ) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 答案: C 解析: 代入5lgLV,知lg4.950.1V ,故0.1101100.810V. 5.已知1F,2F是双曲线C的两个焦点,P为C上一点, 且1260F PF,12| 3|
4、PFPF,则C的离心率为( ) A.72 B.132 C.7 D.13 答案: A 解析: 记11|rPF,22|rPF,由123rr及122rra,得13ra,2ra,又由余弦定理知222121 2122cos4rrrrF PFc,得2274ac,从而72cea. 6.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G,该正方体截去三棱锥 A EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是( ) A. B. C. D. 答案: D 解析: 由题可得直观图,如下图. 故选 D. 7.等比数列na的公比为q, 前n项和为nS, 设甲:0q , 乙:nS是递增数列, 则 (
5、) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案: B 解析: 若1q ,则1nSna.10a ,则nS单调递增;10a ,则nS单调递减,甲 乙,又若nS单调递增,则1nnSS恒成立,1100nnaa q恒成立,10a ,0q ,甲乙.综上:甲乙,选 B. 8.2020 年 12 月 8 日, 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一右图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A,B,C满足
6、45AC B ,60ABC .由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100:由B点测得A点的仰角为45,则A,C两点到水平面ABC 的高度差AACC约为 ( )(31.732) A.346 B.373 C.446 D.473 答案: B 解析: 过 C 作BB的垂线交BB于点 M,过 B 作AA的垂线交AA于点 N, 由题意得100BM ,15BCM,45ABN,即100tan15CMB C. 所以 1002sin45tan152sin75sin75B CBNB A 50 2sin15, 所以 50 250 2273sin15624ANBN.得 A, C 两点到水平面ABC 的高度差AA
7、CC约为273 100373,故选 B。 9.若(0,)2a,costan22sin,则tan( ) A.1515 B.55 C.53 D.153 答案: A 解析: costan22sin. 2222tan2sincoscostan21tancossin2sin 222sin(2sin)cossin 22224sin2sincossin12sin 1sin4. 又(0,)2.如图,115tan1515. 10.将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( ) A.13 B.25 C.23 D.45 答案: C 解析: 把位置依次标为1到6. 总数:先排2个0,有2615C 种,再排
8、4个1,有一种,故共有15种. 满足题设的排法:先排4个1,有1种.其间有5个空,选2个空插入有2510C 种.故102153P . 满足题设排法的另一种解释:0的位置有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,6),共10种. 11.已知, ,A B C是半径为1的球O的球面上的三个点,且ACBC,1ACBC,则三棱锥OABC的体积为( ) A.212 B.312 C.24 D.34 答案: A 解析: 记O为, ,A B C所在圆面的圆心,则OOABC. 又2AB ,所以 2222221()22OOOAAO . 所以1
9、11221 1332212OABCABCVSOO .故选 A. 12.设函数( )f x的定义域为R,(1)f x 为奇函数,(2)f x 为偶函数,当1,2x时,2( )f xaxb.若(0)(3)6ff,则9( )2f( ) A.94 B.32 C.74 D.52 答案: D 解析: (1)f x 为奇函数,( )f x关于(1,0)中心对称,(1)0f. 因(2)f x 为偶函数,故( )f x关于2x 轴对称,周期为4. (0)(2)ff ,(3)(1)ff.即(1)(2)6ff,(2)6f . 046abab ,22ab . 故 91395( )( )( )( 22)22242fff
10、 . 故选 D. 二、填空题 13.曲线212xyx在点( 1, 3)处的切线方程为 . 答案: 52yx. 解析: 25( )(2)fxx,( 1)5f ,3( 1)31f . 切线:35(1)52yxyx. 14.已知向量(3,1)a ,(1,0)b ,cakb.若ac,则k . 答案: 103 解析: (3,1)ck,03(3)10a ck .所以103k . 15.已知1F,2F为椭圆22:1164xyC的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且12| |PQF F,则四边形12PFQF的面积为 . 答案: 8 解析: 如图,由12| |PQF F及椭圆对称性可知,四边形12P
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